1957年全国高考数学试题及其解析

1957年全国高考数学试题及其解析

‎1957年全国高考数学副题及其解析 试卷上不必抄题,但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等.‎ 一、甲、方程3x2-5x+(k+1)=0若有实数根,k的值应当怎样？‎ 乙、设a、b、c为△ABC的三边,已知a2=b2+bc+C2,求a边的对角A.‎ 丁、设P为一个60°的二面角的平分面上任意一点,求证从P到二面角的棱的距离等于从P到二面角的一个面的距离的两倍.‎ 戊、已知一个直圆锥的高为1.2尺,其侧面积为底面积的2倍,问此底面积为若干平方尺.‎ ‎ （答案要一位小数）‎ 三、如图,已知AD,BC为梯形ABCD的一底,∠ABC=90°,∠ABD=α,‎ ‎∠AED=β,∠BDC=γ, BE=a.求证: ‎ 四、一圆周被AB弦分为优劣两弧,C为优弧的中点,D为劣弧上任一点.又E为劣弧AD的中点,F为劣弧DB的中点.若于CD弦上任取一点P,PA与CE交于Q，PB与CF交于R,则QR与AB平行,试证明之.‎ 五、在已知边长为a的正六边形的每边上依次取 1∶2的内分点,并顺序连结分点作成内接正六边形.又对这个新的正六边形,用同样方法再作内接正六边形.这样继续作了n次之后,则得n个新的正六边形,其边长依次设为x1,x2,……,xn.‎ ‎(1)求边长x1,x2,……,xn ;‎ ‎(3)求这n个新正六边形面积的和. ‎ ‎ ‎ ‎1957年副题答案解析 一、甲、由题意知Δ=25-12(k+1)≥0,‎ ‎ ∴ 13≥12k,‎ ‎ ‎ 乙、由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,‎ 又由题设知 a2=b2+c2+bc,‎ ‎∴ -2bccosA=bc,‎ ‎∴ A=120°.‎ 丙、‎ 作法:作线段AB=a,延长AB至C,令BC=b.‎ ‎ 以AC为直径作半圆.‎ ‎ 作BD⊥AC,与半圆交于D.‎ ‎ 在DA连线上取DE=c.‎ ‎ 过E作EF⊥BD,与DC连线交于F,则DF为求作的x.‎ 注意:考生仅作出一图即可.‎ 丁、证:如图,设π是二面角的一个面,P是平分面上一点.过P作棱AB的垂直平面与AB交于C点,与平面π交于一条直线CD.过P作PD⊥CD于D.则线段PC是P至AB的距离,PD是P至π的距离.‎ 戊、解:设底半径=r,‎ ‎ 直圆锥底面积=πr2.‎ ‎        由①分解因式得 x=y+5,x=y-3.‎ 于是原方程组分为下列两个方程组:‎ ‎ ‎ 解方程组(i) ,得两组解:‎ 解方程组(ii),得另两组解:‎ 三、证明:在△BDE中,由正弦定理知 四、证明:连结CA、CB,则CA=CB.‎ ‎∵ E为AD弧的中点,F为DB弧的中点,‎ ‎∴ ∠ACE=∠ECD,∠BCF=∠FCB.‎ 在△CAP与△CPB中,‎ PQ∶QA=CP∶CA,PR∶RB=CP∶CB,‎ ‎∴PQ∶QA=PR∶RB,‎ ‎∴QR∥AB 由余弦定理及题设得:‎ 用同样方法可求得:‎ 根据等比级数求前n项的公式得:‎ ‎∴这n个新正六边形面积的和为:‎