7年全国卷高考文科数学试题汇编十四个专题汇总高三数学复习冲刺

7年全国卷高考文科数学试题汇编十四个专题汇总高三数学复习冲刺

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A.{1,4}　　 B.{2,3}　　 C.{9,16}　　 D.{1,2} 　　xxx2【2013高考题5】已知命题p：?x?R,2?3；命题q：?x?R,3?1?x,则下列命题中为　　真命题的是( ) 　　∧q　　B.?p∧q　　∧?q　　 D.?p∧?q 　　2A?{x|x?x?2?0},B?{x|?1?x?1},则 【2012高考题1】1.已知集合　　 B　　A　　?B　　 ?? 　　第1页，共115页 　　【2011高考题1】已知集合　　M??0,1,2,3,4?N??1,3,5?P?M,,　　N,则P的子集共有 . 　　个　　 个　　 个　　 个 　　　　第2页，共115页 　　1.集合与常用逻辑用语 一、选择题 　　【2017高考题1】已知集合　　AA??xx?2?B??x3?2x?0?,,则 　　A.　　3B?{x|x?}2　　B. Ax?3AB?{x|x?}B??　　D. A3B?{x|x?}2,故选A. 　　B?R 　　解：3?2x?0得　　3A2,所以　　x5?A??1,3,5,7?B??x2剟【2016高考题1】设集合,,则AB? 　　1,35,71,73,5A.??　　B.??　　 C.??　　D.?? 解析：把问题切换成离散集运算,　　A??1,3,5,7?2,3,4,5??BAB??3,5?,?,所以.故选B. 　　【2015高考题1】已知集合A＝{x|x＝3n＋2, n∈N},B＝{6,8,10,12,14},则集合A∩B中的　　元素个数为(　　) D 　　　　　　　　解： A∩B＝{8,14},故选D. 　　【2014高考题1】已知集合M?{x|?1?x?3},N?{x|?2?x?1},则MB? 　　A. (?2,1)　　B. (?1,1)　　C. (1,3)　　 D. (?2,3) 　　解：取M, N中共同的元素的集合是(-1,1),故选B 　　【2013高考题1】已知集合A＝{1,2,3,4},B＝{x|x＝n2,n∈A},则A∩B＝( ). A.{1,4}　　 B.{2,3}　　 C.{9,16}　　 D.{1,2} 　　答案：A 解析：∵B＝{x|x＝n2,n∈A}＝{1,4,9,16},∴A∩B＝{1,4}. 　　【2013高考题5】已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R,x3＝1－x2,则下列命题中为真命题的是( ). 　　∧q　　B.?p∧q　　∧?q　　 D.?p∧?q 　　解析：选B,20＝30知,p为假命题.令h(x)＝x3－1＋x2,∵h(0)＝－1＜0,h(1)＝1＞0,∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解. ∴?x∈R,x3＝1－x2,即命题q为真命题.此可知只有?p∧q为真命题.. 　　2A?{x|x?x?2?0},B?{x|?1?x?1},则 【2012高考题1】1.已知集合　　 B　　A　　?B　　 ?? 【解析】因为A?{x|?1?x?2},B?{x|?1?x?1},所以B A,故选择B. 【2011高考题1】已知集合　　M??0,1,2,3,4?N??1,3,5?P?M,,　　N,则P的子集共有 . 　　个　　 个　　 个　　 个 【解析】因为　　M??0,1,2,3,4?N??1,3,5?M,,所以　　N??1,3?. 　　第3页，共115页 　　所以M 　　N的子集共有22?4个. 故选B. 　　专题二 函数及其性质 　　一、选择题 　　【2017高考题8】函数　　y?sin2x1?cosx的部分图像大致为 　　　　【2017高考题9】已知函数　　f?x??lnx?ln?2?x?,则 　　f?x?在?0,2?单调递增　　　　B.　　f?x?在?0,2?单调递减 　　y?f?x?的图像关于直线x?1对称　　D.　　y?f?x?1,0的图像关于点??对称 　　【2016高考题8】若a?b?0,0?c?1,则 　　?logbc　　?logcb　　?b　　?c 　　2y?2x?e在??2,2?的图像大致为 【2016高考题9】函数　　xy1-2O2xy1-2O2x-2y1O2xy1-2O2x 　　A.　　 B.　　 C.　　　　D. 　　?2x?1?2,x?1f(x)????log2(x?1),x?1 ,且f(a)＝-3,则f(6-a)＝(　　 ) 【2015,10】已知函数　　7531???　　　　　　 ?【2015高考题12】设函数y＝f(x)的图像与y＝2x＋a的图像关于直线y＝-x对称,且f(-2)＋f(-4)＝1,则a＝(　　) C 　　A.-1　　　　　　【2014高考题5】5.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 　　f(x)g(x)(x)g(x)是偶函数　　B. 是奇函数 　　第4页，共115页 　　C.　　f(x)g(x)是奇函数　　D. 　　f(x)g(x)是奇函数 　　　　【2013高考题9】函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π,π]的图像大致为( ) 　　　　　　??x2?2x,x?0,?ln(x?1),x?0.【2013高考题12】已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ). 　　A.(－∞,0]　　 B.(－∞,1]　　C.[－2,1]　　 D.[－2,0] 【2012高考题11】11.当　　0?x?1x2时,4?logax,则a的取值范围是 　　22A.　　B.　　C.　　D. 　　【2011高考题3】下列函数中,既是偶函数又在?0,???单调递增的函数是 　　32?|x|y?|x|?1y??x?1y?xy?2 A.　　 B.　　C.　　D. 　　【2011高考题10】在下列区间中,函数　　f?x??ex?4x?3的零点所在的区间为. 　　?1??1??11??13??,00,,???????,?4442?　　B.??　　C. ??　　 D. ?24?　　A.?2y?f(x)x?[?1,1]f(x)?x2【2011高考题12】已知函数的周期为,当时函数,那么函数　　y?f(x)的图像与函数y?lgx的图像的交点共有. 　　 个　　 个　　 个　　 个 二、填空题 　　【2015高考题14】已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7),则a＝　　　　. 　　?ex?1,x?1?f(x)??1?x3,x?1?【2014高考题15】设函数,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是_____. 　　(x?1)2?sinxf(x)?x2?1【2012高考题16】16.设函数的最大值为M,最小值为m,则　　第5页，共115页 　　 　　　　　　M?m?_______. 　　　　2.函数及其性质 一、选择题 　　【2017高考题8】函数　　y?sin2x1?cosx的部分图像大致为 　　　　y?sin2x1?cosx为奇函数,故排除B；当x??时,y?0,排除D；当x?1【解法】选C题意知,函数　　y?时,　　sin2?01?cos2,排除A.. 　　【2017高考题9】已知函数　　f?x??lnx?ln?2?x?,则 　　f?x?在?0,2?单调递增　　　　B.　　f?x?在?0,2?单调递减 　　y?f?x?的图像关于直线x?1对称　　D.　　y?f?x?1,0的图像关于点??对称 　　【解析】函数的定义域为(0,2),f(x)?lnx?ln(2?x)?lnx(2?x), 　　22t(x)?x(2?x)??x?2x??(x?1)?2,f(t)为增函数,当x?(0,1)时,t(x)为增函数, 设　　?f(x)为增函数,当x?(1,2)时,t(x)为减函数,?f(x)为减函数.排除A,B, 　　因为t(x)是二次函数,图像关于直线x?1对称,故t(x)?t(2?x), 　　y?f?x?所以f(x)?f(2?x),的图像关于直线x?1对称,故选 C； 　　f?(x)?112?2x??x2?xx(2?x),当x?(0,1)时,f?(x)?0,f(x)为增函数. 　　当x?(1,2)时,f?(x)?0,f(x)为减函数,故排除A,B. 故选 C； 【2016高考题8】若a?b?0,0?c?1,则 　　第6页，共115页 　　?logbc　　?logcb　　?b　　?c 　　解析 0?c?1可知y?logcx是减函数,又a?b?0,所以logca?logcb.故选B. 　　评注 作为选择题,本题也可以用特殊值代入验证,如取a?4,b?2,　　logac?lgclgclogbc?lga,lgb,因为0?c?1,所以lgc?0. 　　c?12,可快速得到答案. 　　另外,对于A,　　又a?b?0,所以lga?lgb,但正负性无法确定,所以A无法判断. 对于C,D,可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误. 　　2y?2x?e在??2,2?的图像大致为 【2016高考题9】函数　　xy1-2O2xy1-2O2x-2y1O2xy1-2O2x　　　　A.　　　　　　B.　　　　 C.　　D. 　　解析 ：选D. 设　　f?x??2x2?ex,　　f?2??8?e2??0,1?,可排除A,B；又时,,,所以??在??上不是单调函数,排除C.故选D. 　　?2x?1?2,x?1f(x)????log2(x?1),x?1 ,且f(a)＝-3,则f(6-a)＝(　　 ) 【2015,10】已知函数　　753??　　　　　　　　　　 ? ?解：∵f(a)＝-3,∴当a≤1时,f(a)＝2a-1-2＝-3,则2a-1＝-1,无解.当a>1时,f(a)＝-log2(a7＋1) ＝-3,则a＋1＝8,解得a＝7,∴f(6-a)＝f(-1)＝ 2-2-2＝4,故选A. 　　?【2015高考题12】设函数y＝f(x)的图像与y＝2x＋a的图像关于直线y＝-x对称,且f(-2)＋f(-4)＝1,则a＝(　　) C 　　A.-1　　　　　　解：设f(-2)＝m,f(-4)＝n,则m＋n＝1,依题点(-2,m)与点(-4,n)关于直线y＝-x对称点为(-m,2)与点(-n,4)在函数y＝2x＋a的图像上,∴2＝2-m＋a,4＝2-n＋a,∴-m＋a＝1,-n＋a＝2,∴2a＝3＋m＋n＝4,∴a＝2,故选C 　　第7页，共115页 　　【2014高考题5】5.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 　　f(x)g(x)(x)g(x)是偶函数　　B. 是奇函数 C.　　f(x)g(x)是奇函数　　D. 　　f(x)g(x)是奇函数 　　解：设F(x)＝f(x)|g(x)|,依题可得F(-x)＝-F(x),∴ F(x)为奇函数,故选C 　　【2013高考题9】函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π,π]的图像大致为( ) 　　　　?π??0,?　　解析：选C. f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数.可排除B.当x∈?2?时,f(x)＞0,　　排除A. 　　当x∈(0,π)时,f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.令f′(x)＝0,得　　x?2π3. 　　x?2π3,可排除D. 　　故极值点为　　??x2?2x,x?0,?ln(x?1),x?0.【2013高考题12】已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ). 　　A.(－∞,0]　　 B.(－∞,1]　　C.[－2,1]　　 D.[－2,0] 解析：选D.可画出|f(x)|的图象如图所示. 　　　　当a＞0时,y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C； 当a≤0时,若x＞0,则|f(x)|≥ax恒成立. 　　第8页，共115页 　　?y?ax,?22y?x?2x,得x2－(a＋2)x＝0.∵Δ＝若x≤0,则以y＝ax与y＝|－x＋2x|相切为界限,?(a＋2)2＝0,∴a＝－2.∴a∈‎ ‎[－2,0]. 【2012高考题11】11.当　　0?x?1x2时,4?logax,则a的取值范围是 　　22A.　　B.　　C.　　D. 　　【解析】显然要使不等式成立,必有0?a?1. 　　在同一坐标系中画出y?4与y?logax的图象. 　　0?x?1x2时,4?logax, 　　x 若　　　　?0?a?1?0?a?1?0?a?1??????211122log?2log?logaa??a?1aaa???222. 解得2当且仅当?,　　?,即?,故选择B. 　　【2011高考题3】下列函数中,既是偶函数又在?0,???单调递增的函数是 　　32?|x|y?|x|?1y??x?1y?xy?2 A.　　 B.　　C.　　D. 　　【解析】四个选项中的偶函数只有B,C,D,故排除,当x?(0,??)时,三个函数分别为　　1x?xy?2?()y?x?1单调递增,y??x2?1单调递减,2单调递减.故选B. 　　【2011高考题10】在下列区间中,函数　　f?x??ex?4x?3的零点所在的区间为. 　　?1??1??11??13??,00,,???????,? A.?4?　　B.?4?　　C. ?42?　　 D. ?24? ?1?f???【解析】因为?4??1??11?f???0?,?2??,函数零点存在性定理,可知函数零点处于区间?42?内.故　　选择C. 　　2【2011高考题12】已知函数y?f(x)的周期为2,当x?[?1,1]时函数f(x)?x,那么函数　　y?f(x)的图像与函数y?lgx的图像的交点共有. 　　 个　　 个　　 个　　 个 【解析】 考查数形结合思想,在同一直角坐标系中作出两个函数的图像,如下图.容易判断出　　第9页，共115页 　　两函数图像的交点个数为10个. 故选A. 　　y 　　y?1 　　10x ?1 o 1 二、填空题 【2015高考题14】已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7),则a＝　　　　. 解：∵f ‘(x)＝3ax2＋1,∴切线斜率为f ‘(1)＝3a＋1,又切点为(1, a＋2),且切线过点(2,7),∴7-(a＋2)＝3a＋1,解得a＝1. 　　?ex?1,x?1?f(x)??1?x3,x?1?【2014高考题15】设函数,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是_____. 　　解：(-∞,8],当x　　故1≤x≤8,综上可得x≤8. 　　(x?1)2?sinxf(x)?x2?1【2012高考题16】16.设函数的最大值为M,最小值为m,则M?m?_______. 　　13(x?1)2?sinxx2?1?2x?sinx2xsinx?1??f(x)??x2?1x2?1. x2?1x2?1【解析】2. g(x)?2xsinx?x2?1x2?1,则f(x)?g(x)?1,因为g(x)为奇函数,所以g(x)max?g(x)min?0.‎ ‎ 　　令　　所以M?m?[g(x)max?1]?[g(x)min?1]?g(x)max?g(x)min?2?2. 　　专题三 导数及其应用 　　3.导数及其应用 一、选择题 　　1f(x)?x?sin2x?asinx??,???3【2016高考题12】若函数在?上单调递增,则a的取值范围　　是 　　1??1??11???1,?,?1,???????1,1?3?? A.?　　 B.?3?　　 C.?33?　　 D.?32f(x)?ax?3x?1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0?0,则a的【2014高考题12】已知函数　　取值范围是 　　A.(2,??)　　B.(1,??)　　C.(??,?2)　　 D.(??,?1) 　　第10页，共115页 　　 　　　　　　二、填空题 　　【2017高考题14】曲线　　y?x2?1x在?1,2?处的切线方程为　　 . 　　【2012高考题13】13.曲线y?x(3lnx?1)在点处的切线方程为_________. 三、解答题 　　【2017高考题21】已知函数　　f?x??ex?ex?a??a2x.‎ ‎ 　　讨论f(x)的单调性；若f(x)?0,求a的取值范围.　　　　【2016高考题21】已知函数讨论 　　f?x?f?x???x?2?ex?a?x?1?2. 　　的单调性；若　　f?x?有两个零点,求a的取值范围. 　　第11页，共115页 　　【2015高考题21】设函数　　f?x??e2x?alnx. 　　f?x??2a?aln2a. 　　讨论　　 　　f?x?的导函数　　f??x?零点的个数;求证：当a?0时,　　【2014高考题21】设函数的切线斜率为0. 　　f(x)?alnx?(1?a)2x?bx(a?1),曲线y?f(x)在点(1, f(1))处2(Ⅰ)求b;　　(Ⅱ)若存在x0≥1,使得　　f(x0)?aa?1,求a的取值范围. 　　　　 　　【2013高考题20】已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x,曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. 　　(1)求a,b的值；(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 　　第12页，共115页 　　　　xf(x)?e?ax?2. 【2012高考题21】21.设函数　　求f(x)的单调区间； 　　若a?1,k为整数,且当x?0时,(x?k)f’(x)?x?1?0,求k的最大值. ‎ ‎ 　　　　　　【2011高考题21】已知函数　　f(x)?alnxb?x?1x,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　x?2y?3?0. 　　f(x)?lnxx?1. 　　求a,b的值；证明：当x?0,且x?1时, 　　3.导数及其应用 一、选择题 　　1f(x)?x?sin2x?asinx??,???3【2016高考题12】若函数在?上单调递增,则a的取值范围　　是 　　1??1??11???1,?,?1,????????1,1??3333?????? A.　　 B.　　 C.　　 D.　　2f??x??1?cos2x?acosx…03 解析：选C .问题转化为对x?R恒成立, 1?2452cos2x?1??acosx…0acosx?cos2x?…0?333,即恒成立. 　　第13页，共115页 　　故　　45?t2?at?…03对t???1,1?恒成立. 令cosx?t,得345g?t???t2?at?33,开口向下的二次函数g?t?的最小值的可能值为端点值, 解法一：构造　　1?g?1??a…0????3?11?g?1??1?a…0?剟a3?3.故选C. 故只需保证?,解得31?5?1?5?a…?4t??4t???y?3t3t0?t?1????在t?0解法二：①当时,不等式恒成立；②‎ 当时,恒成立,1?5?111?5?14t??4?5??a?4t???a…?????t?33,故3?t?0?t?1上单调递增,所以3?3；③当?1?t?0时,1?5?1?5?1114t?4t?…?4?5???a?????y?3t3,所以3. 3t?1?t?0??3??恒成立.在上单调递增,11?剟a3.故选C. 综上可得,332f(x)?ax?3x?1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0?0,则a的【2014高考题12】已知函数　　取值范围是 　　A.(2,??)　　B.(1,??)　　C.(??,?2)　　 D.(??,?1) 　　2解：依题a≠0,f ‘(x)＝3ax2-6x,令f ‘(x)＝0,解得x＝0或x＝a, 　　22当a>0时,在(-∞, 0)与(a,＋∞)上,f ‘(x)>0,f(x)是增函数.在(0,a) 上,f ‘(x)　　是减函数.且f(0)＝1>0,f(x)有小于零的零点,不符合题意.‎ ‎ 　　22当a0,f(x)是增2f()?0函数.要使f(x)有唯一的零点x0,且x0>0,只要a,即a2>4,所以a　　a?3111?3t?xx有唯一的正零根,令x,则问　　另解：依题a≠0,f(x)存在唯一的正零点,等价于　　题又等价于a＝-t3＋3t有唯一的正零根,即y＝a与y＝-t3＋3t有唯一的交点且交点在在y轴　　右侧,记g(t)＝-t3＋3t,g ‘(t)＝-3t2＋3,g ‘(t)＝0,解得t＝±1,在(-∞,-1)与(1,＋∞)　　第14页，共115页 　　上,g ‘(t)0,g(t)是增函数.要使a＝-t3＋3t有唯一的正零根,只要a　　【2017高考题14】曲线　　y?x2?1x在?1,2?处的切线方程为　　 . 　　1x2,故切线的斜率k?y?|x?1?1,所以切线方程为y?2?x?1,即　　【解】y?x?1.求导得　　y?x?1. 　　y??2x?【2012高考题13】13.曲线y?x(3lnx?1)在点处的切线方程为_________. 【解析】4x?y?3?0.已知y’?3lnx?4,根据导数的几何意义知切线斜率k?y’|x?1?4, 因此切线方程为y?1?4(x?1),即4x?y?3?0. 三、解答题 　　【2017高考题21】已知函数　　f?x??ex?ex?a??a2x. 　　讨论f(x)的单调性；若f(x)?0,求a的取值范围. 【解析】　　f??x??2?ex??aex?a2??2ex?a??ex?a?2 　　xxf?x?0①当a?0时,2e?a?0,令??,即e?a?0,解得x?lna, 　　　　　　令所以当a?0,②当a?0时,　　f??x??0x,即e?a?0,解得x?lna,‎ ‎ 　　f?x?在?lna,???2上递增,在?, 　　??,lna?上递减. 　　f??x??2?ex??0f?x?在R上递增. 　　x?a?ax?lne?????xx?fx?0???2?, 2??2e?a?0?③当a?0时,e?a?0,令　　令　　f??x??0?2ex?a?0?ex???a?ax?ln????2?, 2???a????a??ln?,????,ln?????????fx?2??上递减. ?上递增,在?所以当a?0时,??在??2? 综上所述：当a?0,当a?0时, 　　f?x?在???,lna?上递减,在?lna,???上递增； 　　f?x?在R上递增； 　　第15页，共115页 　　 　　　　　　???a???a????,ln?ln?,???????2??f?x??2????a?0????上递增. 当时,在上递减,在　　f?x?min?f?lna??elna?elna?a??a2lna??a2lna?0a>0得当时,, 　　?lna?0,得0?a?1.当a?0时,　　f?x?minf?x???ex2??0满足条件. 　　当a?0时,　　?a??a????ln????2?a???a??ln??2??2??f?ln?????e?a??aln????e??2???2????? 　　?　　　　　　32?a?a?a2ln????04?2?, ‎ ‎　　3?a?3a33ln??????e4?a??2e4,又因为a?0,所以?2e4?a?0. ??2?4?23??4??2e,1??. 综上所述,a的取值范围是?【2016高考题21】已知函数讨论　　f?x?f?x???x?2?ex?a?x?1?2. 　　的单调性；若　　f?x?有两个零点,求a的取值范围. 　　. 　　解析：题意　　xf??x???x?1?ex?2a?x?1?=?x?1??e?2a?0,即a…0时,ex?2a?0恒成立.令f??x??0,则x?1, ①当2a…所以　　f?x?的单调增区间为　　?1,???.同理可得f?x?的单调减区间为???,1?. 　　f??x??0,则x?1或　　②当2a?0,即a?0时,令　　ln??2a?. 　　当所以　　ln??2a??1,即　　a??e2时,令f??x??0,则x?1或x?ln??2a?, 　　f?x?的单调增区间为　　???,1?和?ln??2a?,???.同理f?x?的单调减区间为?1,ln??2a??； 　　e2时, 　　当　　ln??2a??1,即　　a??x1f??x?…0f??x??0当x?1时,x?1?0,e?2a?e?e?0,所以.同理x?1时,. 　　故　　f?x?的单调增区间为　　???,???； ‎ ‎　　e??a?0ln??2a??1f??x??0x?ln??2a?x?12当,即时.令,则或, 　　第16页，共115页 　　所以　　f?x?的单调增区间为　　???,ln??2a??和?1,???,同理f?x?的单调减区间为?ln??2a?,1?. 　　综上所述,当　　a??e2时,f?x?的单调增区间为???,1?和?ln??2a?,???,单调减区间为　　?1,ln??2a??； 　　当　　a??e2时,f?x?的单调增区间为???,???； 　　e??a?0???,ln??2a??和?1,???,单调减区间为?ln??2a?,1?； fx当2时,??的单调增区间为　　0时,当a…f?x?的单调增区间为　　?1,???,单调减区间为???,1?. 　　f?1???e?0,如中讨论,下面先研究　　解法一：易见三种情况. ①当　　a??e2时,f?x?单调性可知,f?ln??2a???f?1??0,故不满足题意； e2时,f?x?在???,???上单调递增,显然不满足题意； 　　②当　　a??e??a?0f?x?f?1??f?ln??2a??③当2时,的单调性,可知, 　　f?ln??2a????ln??2a??2???2a??a?ln??2a??1??a??ln??2a??2???a?0,故不满足题意；且 0,‎ ‎ 下面研究a…22当a?0时,当a?0时,　　f?x???x?2?ex,令　　f?x??0,则x?2,因此　　f?x?只有1个零点,故舍去； 　　f?1???e?0f?2??a?0f?x??1,???,,所以在上有1个零点； 　　?a3a??a??a?a?a?f?ln???ln?2??a?ln?1??a?ln2?ln??0222???2??2?2?2?, 　　2aln?0当0?a?1时,2,而所以　　f?x?在　　???,1?上有1个零点； 　　f??2????4?e?2?9a?9a?4?02e, 　　当a?1时,?2?0,而所以　　f?x?在　　???,1?上有1个零点； 　　第17页，共115页 　　可见当a?0时　　f?x?有两个零点.所以所求a的取值范围为?0,???. 　　解法二：显然x?1不是　　f?x?的零点, 　　当x?1时,　　f?x??0xe2a?,得　　2?x?x?1?2ex?x?1?. 　　g?x??设　　2?x?x?1??x?1?,则问题转化为直线y?a与g?x?图像有两个交点, 　　2?ex?x?1???x?2??1???g??x??4gx?x?1?对??求导得, 　　所以　　g?x?在???,1?1,???单调递增,在?单调递减. 　　①‎ 当a?0时,若若　　x????,1?g?x??0gx,,直线y?a与??图像没有交点, 　　x??1,???g?x?gx,单调递减,直线y?a与??图像不可能有两个交点, 　　故a?0不满足条件； 　　?13?1??x1?min?1?,?g?x1??…a2a2???x1?1??? ,则②若a?0时,取, 　　而　　g?2??0?a,结合　　g?x?1,???在?单调递减, 　　g?x?图像有一个交点, 　　可知在区间?x1,2?上直线y?a与　　?2???x2?min?1?,0?x??23a????a, 取,　　g?x2?厖则结合　　22?x2?1?ag?x3??2?2x3?22?ax3x3,, 单调递增,可知在区间?g?x?在???,1?x3x2?上直线y?a与　　g?x?图像有一个交点, 　　综上所述,a?0时直线y?a与 　　【2015高考题21】设函数　　g?x?图像有两个交点,函数　　f?x?有两个零点. 　　f?x??e2x?alnx. 　　f?x?…2a?aln2a. 　　讨论　　f?x?的导函数　　f??x?零点的个数;求证：当a?0时,　　第18页，共115页 　　解：(Ⅰ) f’(x)＝2e 2x?ax, x>0　　…2分 　　(1)若a≤0时,f ‘(x)>0在(0,＋∞)恒成立,所以f ‎ ‘(x)没有零点； …3分 　　(2)若a>0时,f ‘(x)单调递增.当x ?0, f ‘(x) ?-∞；当x ?＋ ∞,f ‘(x) ?＋∞, 所以f ‘(x) 存在一个零点.　　…6分 　　(Ⅱ) 设f ‘(x)的唯一零点为k,(Ⅰ)知(0, k)上,f ‘(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)取最小值f(k).　　…8分 ?2aa2k?ln?lnk所以f(x)≥f(k)＝ e2k-alnk,又f ‘(k)＝ 2e2kk＝0,所以e2k＝2k,aa所以f(k)＝2k?a(ln2a?2k)?a2k?2ka?alna2?2a?alna2, 所以f(x)≥　　2a?aln2a.　　 …12分 　　2x21. 解析 　　f?x??e?alnx?x?0?2x,　　f??x??2e?ax. 　　显然当a?0时,f??x??0恒成立,f??x?无零点. 当a?0时,取　　g?x??f??x??2e2x?ag??x??4e2xax,则?x2?0,即f??x?单调递增. 　　令　　g?x??f??x??2e2x?ax?0,即　　2e2x?ax. a画出y?2e2x与y?x的图像,如图所示. 　　图可知,　　f??x?必有零点,所以导函数　　f??x?存在唯一零点. 　　第19页，共115页 　　, 　　yy=2e2xy=axOx 　　可知f??x?有唯一零点,设零点为x0,‎ ‎ 　　图可知,当x??0,x0?时,　　f??x??0,即　　f?x?单调递减； 　　当　　x??x0,???时,　　f??x??0,即　　f?x?单调递增. 　　所以　　f?x?在x?x处取得极小值,即f?x?x00min?f?x0??e2?alnx0. 　　f??x0??2e2x0?ax?0e2x0?a又　　0,解得　　2x0.① ①两边分别取自然对数,得2xlnx0?lna?ln2x0,即　　0?lna2?2x0. 　　f?xa2x?a???lna2?2x?aa0??0所以　　???2x?2ax0?aln…002 2a?alna2a12?2a?alnx?2axa0. 　　【2014高考题21】设函数f(x)?alnx?(1?a)2x2?bx(a?1),曲线y?f(x)在点(1,的切线斜率为0. 　　(Ⅰ)求b;　　(Ⅱ)若存在x0≥1,使得　　f(x0)?aa?1,求a的取值范围. 　　f?(x)?a解：(Ⅰ) 　　x?(1?a)x?b(x>0),依题f ‘(1)＝0,解得b＝1, …3分 　　第20页，共115页 　　(1))处 ‎ f 　　 　　　　　　(1?a)x2?x?a(x?1)[(1?a)x?a](1?a)2f(x)?alnx?x?xf?(x)??2xx(Ⅱ)(Ⅰ)知,, 　　x?a1?a。　　 …4分 　　因为a≠1,所以f ‘(x )＝0有两根：x＝1或　　a?(1)若　　1a?12,则1?a,在(1,＋∞)上,f ‘(x)>0,f (x)单调递增. 　　f(x0)?aa1?aaf(1)??1?a?1,的充要条件为1?a,即21?a, 　　所以存在x0≥1,使得　　解得?2?1?a?2?1。　　　　　　…6分 　　1aa?a?1?1(2)若2,则1?a,在 (1, 1?a)上,f ‘(x) 0,f (x)单调递增. 　　f(x0)?aaaf()?a?1,的充要条件为1?a1?a, 　　所以存在x0≥1,使得　　而　　aaa2aaf()?aln???1?a1?a2?1?a?1?a1?af(1)?,所以不合题意.　　…9分 　　(3) 若a>1,则　　1?a?1?aa?1??22a?1。存在x0≥1,符合条件。…11分 　　综上,a的取值范围为：(?2?1,2?1)?(1,??)。　　…12分 　　　　【2013高考题20】已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x,曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎ 　　(1)求a,b的值；(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 　　解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4,已知得f(0)＝4,f′(0)＝4,故b＝4,a＋b＝8. 从而a＝4,b＝4. 　　?x1??e??x2x2?. (2)(1)知,f(x)＝4e(x＋1)－x－4x,f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·?令f′(x)＝0得,x＝－ln 2或x＝－2. 　　从而当x∈(－∞,－2)∪(－ln 2,＋∞)时,f′(x)＞0；当x∈(－2,－ln 2)时,f′(x)＜0. 故f(x)在(－∞,－2),(－ln 2,＋∞)上单调递增,在(－2,－ln 2)上单调递减. 当x＝－2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(－2)＝4(1－e－2). 　　xf(x)?e?ax?2. 【2012高考题21】21.设函数　　第21页，共115页 　　求f(x)的单调区间； 　　若a?1,k为整数,且当x?0时,(x?k)f’(x)?x?1?0,求k的最大值. 　　xf(x)f’(x)?e?a. 【解析】函数的定义域为,且　　当a?0时,f’(x)?0,f(x)在上是增函数； 　　xf’(x)?e?a?0,得x?lna. a?0当时,令　　xf’(x)?e?a?0,得x?lna,所以f(x)在(lna,??)上是增函数, ‎ 令　　x令f’(x)?e?a?0,得x?lna,所以f(x)在(??,lna)上是减函数, xxf’(x)?e?1. f(x)?e?x?2a?1若,则,　　x(x?k)f’(x)?x?1?(x?k)(e?1)?x?1, 所以　　故当x?0时,(x?k)f’(x)?x?1?0等价于 　　xex?1x(ex?1)?x?1x?1k?x??x?e?1ex?1ex?1, k?x?1?xex?1.　　 ① 　　即当x?0时,　　?xex?1ex(ex?x?2)x?1g’(x)?x?1?g(x)?x?x2x2(e?1)(e?1)e?1令,则. 　　x2(0,??)h(1)?e?3?0h(x)?e?x?2h(2)?e?4?0,所以h(x)知,函数在单调递增,而,　　在(0,??)存在唯一的零点. 　　故g’(x)在(0,??)存在唯一的零点.设此零点为?,则??(1,2). 当x?(0,?)时,g’(x)?0；当x?(?,??)时,g’(x)?0. 所以g(x)在(0,??)的最小值为g(?). 　　?又g’(?)?0,可得e???2,所以　　g(?)???1e?1??????1?(2,3), 　　于①式等价于k?g(?)???1?(2,3),故整数k的最大值为2. 　　【2011高考题21】已知函数　　f(x)?alnxb?x?1x,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　第22页，共115页 　　x?2y?3?0. 　　f(x)?lnxx?1.‎ ‎ 　　求a,b的值；证明：当x?0,且x?1时,　　【解析】　　xf??x???2x?1??a??x?1?lnx????bx21,于直线x?2y?3?0的斜率为2, 　　??f?1??1??1f??1????1,12且过点??,故??b?1??a1?b???2,解得a?1,b?1. ,即?2 知　　f?x??lnx1?x?1x,所以　　lnx1?x2?1?f?x???2lnx??2?x?11?x?x?. 　　2222x?x?1??x2?12x?1???h?x??2lnx?h?x?????x?0??xx2. xx2考虑函数,则　　所以当x?1时,　　h??x??01h?x??02h?1??0x??0,1?h?x??0.而,故当时,,可得1?x； 　　1h?x??02x??1,???h?x??01?x当时,,可得. 　　f?x??lnxlnx?0f?x??x?1x?1. ,即　　从而当x?0,且x?1时,4.三角函数、解三角形 　　一、选择题 　　专题四 三角函数、解三角形 　　【2017高考题11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB?sinA(sinC?cosC)?0,a＝2,c＝2,则C＝( ) 　　π 　　π 　　π 　　π 　　cosA?23,　　　　【2016高考题4】△‎ ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a?5,c?2,则b? 　　A. 2　　　　　　第23页，共115页 　　‎