第8讲 分层演练直击高考
1．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是 ( )
A．(0，1) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选C．易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，
f(4)＝－log24＝－2＝－<0，
故f(x)的零点所在的区间是(3，4)．
2．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C．
3．已知实数a>1，0
1，00，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C．因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以00时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]，
即a∈[－1，0)，故选D.
6．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
解析：依题意得解得
令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，
该方程等价于①或②
解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，
因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.
答案：3
7．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________．
解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，
则f(x)在R上是增函数．
当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，
f(1)·f(2)<0，
即(5－k)(10－k)<0，
解得5时，
须使即
解得a≥1，
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．(数形结合法)因为a>0，所以a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
所以y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
2．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选C．在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象(图略)，
由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜logx0，即f(x0)＜0.
3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．a＞b＞c D．c＞a＞b
解析：选B．f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B．
4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝，则函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为________．
解析：由题意知，当x＜0时，f(x)＝，作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令＝，解得x3＝，所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为.
答案：
5．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0
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