高考天津卷文科数学原题解析

高考天津卷文科数学原题解析

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 文　数 本卷满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎　参考公式:‎ ‎·如果事件A,B互斥,那么　　　　　　　　　　　　·如果事件A,B相互独立,那么 ‎　P(A∪B)=P(A)+P(B). 　 P(AB)=P(A)P(B).‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh. ·圆锥的体积公式V=‎1‎‎3‎Sh.‎ ‎　其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高. 　其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆锥的高.‎ 第Ⅰ卷(选择题,共40分)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=(　　)‎ A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}‎ ‎2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是‎1‎‎2‎,甲获胜的概率是‎1‎‎3‎,则甲不输的概率为(　　)‎ A.‎5‎‎6‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ ‎4.已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的焦距为2‎5‎,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎-y2=1 B.x2-y‎2‎‎4‎=1 C.‎3‎x‎2‎‎20‎-‎3‎y‎2‎‎5‎=1 D.‎3‎x‎2‎‎5‎-‎3‎y‎2‎‎20‎=1‎ ‎5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-‎2‎),则a的取值范围是(　　)‎ A.‎-∞,‎‎1‎‎2‎ B.‎-∞,‎‎1‎‎2‎∪‎3‎‎2‎‎,+∞‎ C.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎‎,+∞‎ ‎7.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连结DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(　　)‎ A.-‎5‎‎8‎ B.‎1‎‎8‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎11‎‎8‎ ‎8.已知函数f(x)=sin2ωx‎2‎+‎1‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎8‎ B.‎0,‎‎1‎‎4‎∪‎5‎‎8‎‎,1‎ C.‎0,‎‎5‎‎8‎ D.‎0,‎‎1‎‎8‎∪‎‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为　　　　. ‎ ‎10.已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为　　　　. ‎ ‎11.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为　　　　. ‎ ‎12.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,‎5‎)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为‎4‎‎5‎‎5‎,则圆C的方程为　　　　　　. ‎ ‎13.如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为　　　　. ‎ ‎14.已知函数f(x)=x‎2‎‎+(4a-3)x+3a,x<0,‎loga(x+1)+1,x≥0‎(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x‎3‎恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　. ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=‎3‎bsin A.‎ ‎(Ⅰ)求B;‎ ‎(Ⅱ)若cos A=‎1‎‎3‎,求sin C的值.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ ‎　　　原料 肥料　　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=‎6‎,DE=3,∠BAD=60°,G为BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:FG∥平面BED;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;‎ ‎(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且‎1‎a‎1‎-‎1‎a‎2‎=‎2‎a‎3‎,S6=63.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nbn‎2‎}的前2n项和.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a>‎3‎)的右焦点为F,右顶点为A.已知‎1‎‎|OF|‎+‎1‎‎|OA|‎=‎3e‎|FA|‎,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;‎ ‎(Ⅲ)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于‎···‎‎1‎‎4‎.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 一、选择题 ‎1.A　由题意可得B={1,3,5},∴A∩B={1,3},故选A.‎ 易错警示　不能列举出集合B中的所有元素是造成失分的主要原因.‎ ‎2.A　设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎=‎5‎‎6‎,故选A.‎ ‎3.B　由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.‎ 该几何体的侧视图为选项B.故选B.‎ ‎4.A　由题意可得ba‎=‎1‎‎2‎,‎a‎2‎‎+b‎2‎=5,‎a>0,b>0,‎解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x‎2‎‎4‎-y2=1,故选A.‎ 易错警示　容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的主要原因.‎ ‎5.C　令x=1,y=-2,满足x>y,但不满足x>|y|;又x>|y|≥y,∴x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.‎ ‎6.C　∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-‎2‎)=f(‎2‎),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f(‎2‎).故有2|a-1|<‎2‎,即|a-1|<‎1‎‎2‎,解得‎1‎‎2‎f(‎2‎)转化为2|a-1|<‎2‎,解该不等式即可.‎ ‎7.B　建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 则B‎-‎1‎‎2‎,0‎,C‎1‎‎2‎‎,0‎,A‎0,‎‎3‎‎2‎,所以BC=(1,0).‎ 易知DE=‎1‎‎2‎AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF=‎1‎‎4‎AC=‎1‎‎4‎,‎ 所以点F的坐标为‎1‎‎8‎‎,-‎‎3‎‎8‎,‎ 所以AF=‎1‎‎8‎‎,-‎‎5‎‎3‎‎8‎,‎ 所以AF·BC=‎1‎‎8‎‎,-‎‎5‎‎3‎‎8‎·(1,0)=‎1‎‎8‎.故选B.‎ 疑难突破　利用公式a·b=|a||b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.‎ ‎8.D　f(x)=‎1-cosωx‎2‎+‎1‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎(sin ωx-cos ωx)=‎2‎‎2‎sinωx-‎π‎4‎,∵x∈(π,2π),ω>0,∴ωx-π‎4‎∈ωπ-π‎4‎,2ωπ-‎π‎4‎,∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,∴有以下两种情况:‎ ‎①ωπ-π‎4‎,2ωπ-‎π‎4‎⊆(2kπ,2kπ+π),k∈Z,‎ 则有ωπ-π‎4‎≥2kπ,‎‎2ωπ-π‎4‎≤2kπ+π,‎k∈Z,‎ 得ω∈‎2k+‎1‎‎4‎,k+‎‎5‎‎8‎,k∈Z,‎ 当k=0时,ω∈‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎;‎ ‎②ωπ-π‎4‎,2ωπ-‎π‎4‎⊆(2kπ+π,2kπ+2π),k∈Z,‎ 则有ωπ-π‎4‎≥2kπ+π,‎‎2ωπ-π‎4‎≤2kπ+2π,‎k∈Z,‎ 得ω∈‎2k+‎5‎‎4‎,k+‎‎9‎‎8‎,k∈Z,当k=-1时,ω∈‎-‎3‎‎4‎,‎‎1‎‎8‎,又ω>0,∴ω∈‎0,‎‎1‎‎8‎.‎ 综上,ω∈‎0,‎‎1‎‎8‎∪‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎,故选D.‎ 疑难突破　将函数化简为f(x)=‎2‎‎2‎sinωx-‎π‎4‎,将ωx-π‎4‎看作一个整体,借助函数y=sin x的图象得出f(x)在(π,2π)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解.‎ 二、填空题 ‎9.答案　1‎ 解析　∵z=‎2‎‎1+i=1-i,∴z的实部为1.‎ ‎10.答案　3‎ 解析　∵f '(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f '(0)=3.‎ ‎11.答案　4‎ 解析　由程序框图可知,‎ S=8,n=2;‎ S=2,n=3;‎ S=4,n=4,此时退出循环,输出S=4.‎ 易错警示　审题不清是失分的主要原因.‎ ‎12.答案　(x-2)2+y2=9‎ 解析　设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),‎ 由题意可得‎|2a|‎‎5‎‎=‎4‎‎5‎‎5‎,‎‎(-a‎)‎‎2‎+(‎5‎‎)‎‎2‎=r‎2‎,‎解得a=2,‎r‎2‎‎=9,‎所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.‎ 方法总结　待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解.‎ ‎13.答案　‎‎2‎‎3‎‎3‎ 解析　连结AC,BC.由同弧所对的圆周角相等知∠DBA=∠ACE,又易知∠DBA=∠DEB=∠AEC,故而有∠AEC=∠ACE,所以AC=AE.∵BE=2AE=2,∴AC=AE=1,AB=3.易知△ACB为直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AB=3,‎ 则cos A=‎1‎‎3‎.在△ACE中,由余弦定理易得CE=‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎-2×1×1×‎‎1‎‎3‎=‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎14.答案　‎‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ 解析　∵函数f(x)在R上单调递减,∴‎-‎4a-3‎‎2‎≥0,‎‎00时,令f '(x)=0,解得x=‎3a‎3‎,或x=-‎3a‎3‎.‎ 当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎-∞,-‎‎3a‎3‎ ‎-‎‎3a‎3‎ ‎-‎3a‎3‎,‎‎3a‎3‎ ‎3a‎3‎ ‎3a‎3‎‎,+∞‎ f '(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为‎-‎3a‎3‎,‎‎3a‎3‎,单调递增区间为‎-∞,-‎‎3a‎3‎,‎3a‎3‎‎,+∞‎.‎ ‎(Ⅱ)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(Ⅰ)知a>0,且x0≠0.由题意,得f '(x0)=3x‎0‎‎2‎-a=0,即x‎0‎‎2‎=a‎3‎,进而f(x0)=x‎0‎‎3‎-ax0-b=-‎2a‎3‎x0-b.‎ 又f(-2x0)=-8x‎0‎‎3‎+2ax0-b=-‎8a‎3‎x0+2ax0-b=-‎2a‎3‎x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数x1满足 f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.‎ 所以x1+2x0=0.‎ ‎(Ⅲ)证明:设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:‎ ‎(1)当a≥3时,-‎3a‎3‎≤-1<1≤‎3a‎3‎,由(Ⅰ)知, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1), f(-1)],‎ 因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=‎a-1+b,b≥0,‎a-1-b,b<0.‎ 所以M=a-1+|b|≥2.‎ ‎(2)当‎3‎‎4‎≤a<3时,-‎2‎‎3a‎3‎≤-1<-‎3a‎3‎<‎3a‎3‎<1≤‎2‎‎3a‎3‎,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)≥f ‎-‎‎2‎‎3a‎3‎=f ‎3a‎3‎, f(1)≤f ‎2‎‎3a‎3‎=f ‎-‎‎3a‎3‎,‎ 所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为f‎3a‎3‎, f‎-‎‎3a‎3‎,‎ 因此M=maxf‎3a‎3‎,‎f‎-‎‎3a‎3‎ ‎=max‎-‎2a‎9‎‎3a-b‎,‎‎2a‎9‎‎3a‎-b ‎=max‎2a‎9‎‎3a‎+b‎,‎‎2a‎9‎‎3a‎-b ‎=‎2a‎9‎‎3a+|b|≥‎2‎‎9‎×‎3‎‎4‎×‎3×‎‎3‎‎4‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎(3)当0f ‎2‎‎3a‎3‎=f ‎-‎‎3a‎3‎,‎ 所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1), f(1)],‎ 因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}‎ ‎=max{|1-a+b|,|1-a-b|}‎ ‎=1-a+|b|>‎1‎‎4‎.‎ 综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于‎1‎‎4‎.‎ 思路分析　(Ⅰ)求含参数的函数f(x)的单调区间,需要进行分类讨论;(Ⅱ)由第(Ⅰ)问可知a>0,要证x1+2x0=0,只需证出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得结论;(Ⅲ)求g(x)在[-1,1]上的最大值,对a分情况讨论即可.‎