2011高考数学一轮复习阶段性测试题圆锥曲线

2011高考数学一轮复习阶段性测试题圆锥曲线

阶段性测试题七(圆锥曲线)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)‎ ‎1．(2010·广东中山)两个数1和9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线＋＝1的离心率为 (　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D.或 ‎[答案]　D ‎[解析]　由条件知，a＝5，b＝±3，当b＝3时，曲线＋＝1的离心率e＝＝；当b＝－3时，曲线－＝1的离心率e＝＝.‎ ‎2．(2010·山东济南)设F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P在双曲线上，若·＝0，||·||＝2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为 (　　)‎ A. B. C．2 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由条件知，|PF1|2＋|PF2|2＝|F‎1F2|2，根据双曲线定义得：4a2＝(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝|F‎1F2|2－4ac＝4c2－4ac，‎ ‎∴a2＋ac－c2＝0，∴1＋e－e2＝0，‎ ‎∵e>1，∴e＝.‎ ‎3．(文)(08·全国Ⅱ)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 (　　)‎ A. B. C．1＋ D．1＋ ‎[答案]　B ‎[解析]　如图，△ABC中，∠ABC＝120°，不妨设AB＝2，则BC＝2，AC＝2，‎ 因为双曲线以A、B为焦点且过点C，所以有‎2c＝AB＝2,‎2a＝AC－BC＝2－2，‎ 所以离心率e＝＝＝.‎ ‎(理)过双曲线M：x2－＝1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　双曲线M的渐近线方程y＝±bx，直线l方程为y＝x＋1，两式联立消去y得x1＝，x2＝.‎ 由|AB|＝|BC|知x1－x2＝x2＋1，‎ ‎∴b＝3，∴c2＝a2＋b2＝10，∴e＝＝.‎ ‎4．设θ是三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程＋＝1所表示的曲线为 ‎(　　)‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知sinθ·cosθ＝－，且θ∈(0，π)，从而sinθ>0，cosθ<0，故选C.‎ ‎5．(文)一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为 (　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎[答案]　A ‎[解析]　如图，折痕所在直线CD是线段AQ的中垂线，‎ ‎∴|PO|＋|PQ|＝|PO|＋|PA|＝|OA|>|OQ|(∵Q在⊙O内)‎ ‎∴P点轨迹是以O、Q为焦点，长轴长为|OA|的椭圆．‎ ‎[点评]　椭圆的定义是考查椭圆概念的重要命题方向．‎ ‎(理)如图所示，从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为 (　　)‎ A．|MO|－|MT|>b－a B．|MO|－|MT|＝b－a C．|MO|－|MT||F‎1F2|＝2，故P点在椭圆＋＝1上，故P为抛物线与椭圆的交点，∵抛物线顶点为椭圆中心，∴交点有两个．‎ ‎7．(2010·山东济南)设F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，c＝，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过F2，∴|F‎1F2|＝|PF2|，设直线x＝与x轴交于Q点，则易知|PF2|≥|QF2|，即|F‎1F2|≥|QF2|，∴‎2c≥－c，‎ ‎∵c＝>0，∴‎3c2≥a2，即e2≥，‎ ‎∴e≥，∴≤e<1.‎ ‎8．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于 (　　)‎ A．3 B．4 C．6 D．8 ‎[答案]　C ‎[解析]　如图所示，作FM⊥AB于M，则由∠AFM＝30°知 AM＝AF＝AB，‎ 又BM＝EF＝2，‎ ‎∴AM＝2，‎ ‎∴AB＝AF＝4，∴BE＝MF＝2，则直角梯形ABEF的面积S＝×(4＋2)×2＝6.‎ ‎9．(文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l经过定点M(m,0)(00，b>0)的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为‎2c，则△PF‎1F2的内切圆圆心的横坐标为 (　　)‎ A．－a B．a C．－c D．c ‎[答案]　B ‎[解析]　设圆与x轴的切点为H，由于圆内切于三角形，则|PF1|－|PF2|＝‎2a＝|F1H|－|F2H|，同时|F1H|＋|F2H|＝‎2c，容易得到xH＝a，即圆心的横坐标为a.‎ ‎10．(文)已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 (　　)‎ A. B. C．2 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　据抛物线的定义可知d1等于点P到焦点的距离，又抛物线与已知直线无交点，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d1＋d2有最小值，故(d1＋d2)min＝.‎ ‎(理)(09·全国Ⅰ)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 (　　)‎ A. B．2‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 由消y得，x2－x＋1＝0，‎ 由题意知，Δ＝2－4＝0.‎ ‎∴b2＝4a2.‎ 又c2＝a2＋b2，‎ ‎∴c2＝a2＋4a2＝‎5a2，‎ ‎∴＝.‎ ‎11．(文)设A(x1，y1)，B，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆＋＝1上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x1＋x2＝‎8”‎的 (　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知，a＝5，b＝3，c＝4，e＝，F(4,0)，由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列⇔＋＝2×⇔x1＋x2＝8.故选A.‎ ‎(理)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) (　　)‎ A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上 C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能 ‎[答案]　A ‎[解析]　由已知得e＝＝，c＝，x1＋x2＝－，x1x2＝－，‎ ‎∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝<＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．‎ ‎12．(文)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是 (　　)‎ A. B．2‎ C．1＋ D．2＋ ‎[答案]　B ‎[解析]　将x＝－c代入双曲线方程得A.‎ 由△ABE是直角三角形得＝a＋c，∴a2＋ac＝b2＝c2－a2，整理得c2－ac－‎2a2＝0.‎ ‎∴e2－e－2＝0，∵e>1，∴e＝2(－1舍去)．‎ ‎(理)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：＋＝1，过点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是 (　　)‎ A．20 B．18‎ C．16 D．8－2 ‎[答案]　D ‎[解析]　如图所示，若沿着路径①A→M→B→N→A运动，‎ 由定义点路程为4a＝16；若沿着路径②A→P→A运动，路程为2(a－c)＝8－2，若沿着路径③A→B→Q运动，从A出发再回到A，路程为2(a＋c)＝8＋2.显然最短为8－2，故选D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．(文)若方程x2sin2α－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．‎ ‎[答案]　，k∈Z ‎[解析]　根据题意知，，‎ 化简得，.‎ 解得α∈(k∈Z)．‎ ‎(理)B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由已知2bc＝a2＝b2＋c2，∴b＝c＝a.‎ 设P(x0，y0)，则x0＝－c，|y0|＝|PF1|.‎ ‎∵＋＝1，‎ ‎∴＝1－＝＝，‎ ‎∴|y0|＝b，∴＝＝.‎ ‎14．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题意知，双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝>3，∵m>0，∴m>2，故所求概率是.‎ ‎15．(文)设F是椭圆＋＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为________．‎ ‎[答案]　∪ ‎[解析]　易知－1≤|FPn|≤＋1，若a1＝－1，an＝＋1，则an＝a1＋(n－1)d⇒d＝＝≤＝(n≥21)，即0b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且·＝0，tan∠PF‎1F2＝2，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵⊥，∴∠F1PF2＝90°.‎ 在Rt△PF‎1F2中，tan∠PF‎1F2＝＝2.‎ 设|PF2|＝2k，|PF1|＝k(k>0)，∴|F‎1F2|＝k，‎ ‎∴‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝3k,‎2c＝|F‎1F2|＝k，‎ ‎∴e＝＝.‎ ‎(理)若右顶点为A的椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P(x，y)，使得·＝0，则椭圆离心率的范围是________．‎ ‎[答案]　，‎ ‎∵00)，则y＝，y′＝＝，‎ 令y′|x＝2＝1得，p＝2，‎ ‎∴所求抛物线方程为x2＝4y.‎ ‎(2)∵P(2，y0)在抛物线x2＝2py上，∴P，‎ ‎∴直线OP方程为：y＝x.‎ 故直线OP与抛物线围成的面积为 dx ‎＝＝－.‎ 由条件得－＝2，∴p＝.‎ 因此，所求的抛物线方程是x2＝y.‎ ‎19．(本小题满分12分)(文)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，点M(x0,0)且椭圆的长半轴长是－x0与半焦距的等比中项，＝4.‎ ‎(1)求椭圆的离心率e；‎ ‎(2)过左焦点F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，若·＝－2，求椭圆的方程．‎ ‎[解析]　(1)设椭圆方程为＋＝1，F(－c,0)，则由条件知，－x0·c＝a2，∴x0＝－，即M.‎ 由＝4得，＝4(－c,0)．‎ ‎∴＝4c，∴e＝＝.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y＝(x＋c)，直线AB与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由(1)可得a2＝4c2，b2＝‎3c2.‎ 由，‎ 消去y得，11x2＋16cx－4c2＝0.‎ x1＋x2＝－，x1x2＝－c2.‎ ·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2，‎ 且y1·y2＝2(x1＋c)(x2＋c)＝2x1x2＋‎2c(x1＋x2)＋‎2c2.‎ ‎∴3x1x2＋‎2c(x1＋x2)＋‎2c2＝－2.‎ 即－c2－c2＋‎2c2＝－2.∴c2＝1.‎ 则a2＝4，b2＝3.椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(理)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，过双曲线的右焦点F作直线l，使l垂直l1于P点，且与双曲线交于点A.‎ ‎(1)当l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4时，求该双曲线方程；‎ ‎(2)若双曲线的离心率e∈[，]时，求的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵l1与l2的夹角为60°，‎ ‎∴＝tan30°或＝tan60°，‎ ‎∴a＝b或b＝a，‎ 又c＝2，∴或，‎ ‎∴双曲线方程为x2－＝1或－y2＝1.‎ ‎(2)不妨设F(c,0)，直线l的方程为：y＝－(x－c)，则由得点P的横坐标为，‎ ‎∴点P在双曲线C的右准线上，过点A作右准线的垂线并交左准线于点Q，则 ＝·＝e·sin∠APQ，‎ 又∠APQ＝∠POF，且tan∠POF＝(O为坐标原点)，‎ ‎∴sin∠APQ＝，∴＝，‎ 而e2＝1＋，且e∈[，]，∴∈[1，]，‎ ‎∴的取值范围是[1，]．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎[解析]　(1)∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P，‎ ‎∴，即，解得，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵a2＝4，b2＝3，‎ ‎∴c＝＝1.‎ ‎∴椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)．‎ 以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.‎ 以PF为直径的圆的方程为x2＋2＝，圆心坐标是，半径为.‎ ‎∵两圆心之间的距离为 ‎＝＝2－，‎ 故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．‎ ‎21．(本小题满分12分)(文)已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a>c>b，a，c，b成等差数列，|AB|＝2，求点C的轨迹方程．‎ ‎[解析]　以AB所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C点的坐标为(x，y)．‎ ‎∵a，c，b成等差数列，‎ ‎∴a＋b＝‎2c，即|CB|＋|CA|＝2|AB|.‎ 由此可得＋＝4，化简整理得所求轨迹方程为3x2＋4y2＝12，‎ 由于a>b，所以>，‎ 即x<0.‎ 由3x2＋4y2＝12，可得－2≤x≤2.‎ 又C点不能在x轴上，所以x≠－2.‎ 综上，所求的轨迹方程为3x2＋4y2＝12(－2c>b，∴x<0，又C不能在直线AB上，‎ 故所求轨迹方程为＋＝1(x<0且y≠0)．‎ ‎(理)已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)已知点A(0,1)和直线l：y＝x＋m，线段AB是椭圆E的一条弦并且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．‎ ‎[解析]　(1)由e＝＝，‎2a＝4得，c＝，∵a2－b2＝c2，∴b＝1，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由条件可得直线AB的方程为y＝－x＋1.‎ 由得，5x2－8x＝0，‎ 故xB＝，yB＝－xB＋1＝－.‎ 设弦AB的中点为M，则xM＝，yM＝，‎ 由点M在直线l上得＝＋m，‎ ‎∴m＝－.‎ ‎22．(本小题满分14分)(文)已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2.记动点P的轨迹为W.‎ ‎(1)求W的方程；‎ ‎(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．‎ ‎[解析]　(1)解法1：由|PM|－|PN|＝2知点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线－＝1的右支；其实半轴长a＝，半焦距c＝2，虚半轴长b＝＝，所以W的方程为－＝1，(x≥)．‎ 解法2：设动点P的坐标为(x，y)，‎ 则|PM|＝，|PN|＝，‎ 由条件得－＝2，‎ 化简得W的方程为－＝1，其中x≥.‎ ‎(2)解法1：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 当AB⊥x轴，x1＝x2，y1＝－y2，‎ 从而·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝2，‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝kx＋m，与W的方程联立，消去y得 ‎(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，‎ 故x1＋x2＝，x1x2＝ 所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝＋＋m2‎ ‎＝＝2＋ 因为x1x2>0，所以k2－1>0，从而·>2‎ 综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.‎ 解法2：设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 再设直线AB方程为x＝my＋r，与W的方程联立，消去x得(m2－1)y2＋2mry＋(r2－2)＝0‎ 故y1＋y2＝－，y1y2＝ 所以·＝x1x2＋y1y2＝y1y2＋(my1＋r)(my2＋r)‎ ‎＝(m2＋1)y1y2＋mr(y1＋y2)＋r2‎ ‎＝(m2＋1)＋mr＋r2‎ ‎＝＝－2－ 由x1x2>0不难得到0≤m2<1‎ 于是·＝－2－≥－2－(－4)＝2‎ 当且仅当m＝0时，上式中“＝”成立．‎ 因此当直线AB的方程为x＝r，即AB⊥x轴时，·取得最小值2.‎ ‎(理)无论m为何实数，直线l：y＝x＋m与双曲线C：－＝1(b>0)恒有公共点．‎ ‎(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；‎ ‎(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P、Q两点，并且满足＝，求双曲线C的方程．‎ ‎[分析]　(1)由直线l与双曲线C恒有公共点知联立方程组恒有解，故消元后的一元二次方程应有Δ≥0，注意讨论二次项系数为0的情形．从而可求l的取值范围．‎ ‎(2)l过双曲线右焦点，则上面所得方程的系数是b与c，设出P、Q坐标，由＝及根与系数的关系可建立b与c的方程组解出b.‎ ‎[解析]　(1)把y＝x＋m代入双曲线方程－＝1中得，(b2－2)x2－4mx－2(m2＋b2)＝0.‎ 当b2＝2，m＝0时，直线与双曲线无交点，这与直线与双曲线恒有公共点矛盾，∴b2≠2，则e≠.‎ 当b2≠2时，直线与双曲线恒有公共点⇔‎ Δ＝‎16m2‎＋8(b2－2)(m2＋b2)＝8b2(m2＋b2－2)≥0，‎ ‎∴b2≥2－m2，从而e2＝＝≥恒成立．‎ ‎∵m∈R，∴e2≥2，∴e≥.‎ 综上可知，e的取值范围是(，＋∞)．‎ ‎(2)设F(c,0)，则l：y＝x－c，代入双曲线方程消去x得，(b2－2)y2＋2cb2y＋b‎2c2－2b2＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则Δ>0恒成立．‎ ‎∴y1＋y2＝，y1y2＝.(*)‎ 又∵＝，‎ ‎∴y1＝y2代入(*)式得 y1＋5y1＝，5y＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ 又∵b2>0及c2－2＝b2，‎ ‎∴＝，∴b2＝7.‎ ‎∴所求双曲线的方程为－＝1.‎