上海高考数学理科试题及答案

上海高考数学理科试题及答案

‎2012年上海高考数学(理科)试卷 一、填空题(本大题共有14题，满分56分)‎ ‎1.计算：= (i为虚数单位).‎ ‎2.若集合，，则= .‎ ‎3.函数的值域是 .‎ ‎4.若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 (结果用反三角 函数值表示).‎ ‎5.在的二项展开式中，常数项等于 .‎ ‎6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则 . ‎ ‎7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是 .‎ ‎8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .‎ ‎9.已知是奇函数，且.若，则 .‎ x O M l a O M x l a ‎10.如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则 .‎ ‎11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).‎ ‎12.在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .‎ ‎13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .‎ A B C D ‎14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .‎ 二、选择题(本大题共有4题，满分20分)‎ ‎15.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ( )‎ ‎ (A). (B). (C).(D).‎ ‎16.在中，若，则的形状是 ( )‎ ‎ (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.‎ ‎17.设，. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则 ( )‎ ‎ (A)>. (B)=. (C)<.‎ ‎ (D)与的大小关系与、、、的取值有关.‎ ‎18.设，. 在中，正数的个数是 ( )‎ ‎ (A)25. (B)50. (C)75. (D)100.‎ 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)‎ A B C D P E ‎19.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：‎ ‎(1)三角形PCD的面积；(6分)‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1) 若，求的取值范围；(6分)‎ ‎(2) 若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.(8分)‎ x O y P A ‎21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎(1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)‎ ‎(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知双曲线.‎ ‎ (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；(4分)‎ ‎ (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；(6分)‎ ‎ (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.(6分)‎ ‎23.对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ (1)若x>2，且，求x的值；(4分)‎ ‎ (2)若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn>1时，x1=1；(6分)‎ ‎ (3)若X具有性质P，且x1=1，x2=q(q为常数)，求有穷数列的通项公式.(8分)‎ ‎2012年上海高考数学(理科)试卷解答 一、填空题(本大题共有14题，满分56分)‎ ‎1.计算：= 1－2i (i为虚数单位).‎ ‎[解析] .‎ ‎2.若集合，，则= .‎ ‎[解析] ，，A∩B=.‎ ‎3.函数的值域是 .‎ ‎[解析]Î.‎ ‎4.若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角 函数值表示).‎ ‎[解析] 方向向量，所以，倾斜角a=arctan2.‎ ‎5.在的二项展开式中，常数项等于 －160 .‎ ‎[解析] 展开式通项，令6－2r=0，得r=3，‎ 故常数项为.‎ ‎6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 . ‎ ‎[解析] 易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 ‎ .‎ ‎7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范 围是 (－¥, 1] .‎ ‎[解析]令，则，由于底数，故↑ó↑，‎ ‎ 由的图像知在区间[1,+¥)上是增函数时，a≤1.‎ P O r l h P l ‎2pr ‎ 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .‎ ‎[解析] 如图，Þl=2，又2pr2=pl=2pÞr=1，‎ ‎ 所以h=，故体积.‎ ‎9.已知是奇函数，且.若，则 －1 .‎ x O M l a ‎ [解析] 是奇函数，则，所以，‎ ‎ 1.‎ ‎10.如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角 ‎.若将的极坐标方程写成的形式，则 ‎ .‎ ‎[解析] 的直角坐标也是(2,0)，斜率，所以其直角坐标方程为，‎ ‎ 化为极坐标方程为：，，‎ ‎ ，，即.(或)‎ ‎11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).‎ ‎ [解析] 设概率p=，则，求k，分三步：①选二人，让他们选择的 项目相同，有种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有种；③确定另一 人所选的项目，有种. 所以，故p=.‎ ‎12.在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别 x y A B C D M N 是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 [2, 5] .‎ ‎ [解析] 如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(,)，C(,).‎ ‎ 设Î[0,1]，则，，‎ ‎ 所以M(2+,)，N(－2t,)，‎ 故=(2+)(－2t)+×=，‎ 因为tÎ[0,1]，所以f (t)递减，()max= f (0)=5，()min= f (1)=2.‎ ‎[评注] 当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M在B(N在C)和M在C(N在D)，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!‎ ‎13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).‎ x y A B C ‎1‎ ‎5‎ 图1‎ N x y O D M ‎1‎ ‎5‎ P 图2‎ 函数的图像与x轴围成的图形的面积为.‎ ‎ [解析]如图1，，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.‎ A B C D E ‎[评注]对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。‎ ‎14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. ‎ 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为 常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .‎ A D B E C ‎ [解析] 作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，‎ ‎ 由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都 垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中点F，‎ 连接EF，则EF⊥BC，EF=2，，‎ 四面体ABCD的体积，显然，当E在AD中点，即 B是短轴端点时，BE有最大值为b=，所以.‎ ‎ [评注] 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大!当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天!‎ 二、选择题(本大题共有4题，满分20分)‎ ‎15.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ( B )‎ ‎ (A). (B). (C).(D).‎ ‎ [解析] 实系数方程虚根成对，所以也是一根，所以－b=2，c=1+2=3，选B.‎ ‎16.在中，若，则的形状是 ( C )‎ ‎ (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.‎ ‎[解析] 由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得，‎ ‎ 所以C是钝角，选C.‎ ‎17.设，. 随机变量取值、、、、的 概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2. ‎ 若记、分别为、的方差，则 ( A )‎ ‎ (A)>. (B)=. (C)<.‎ ‎ (D)与的大小关系与、、、的取值有关.‎ ‎[解析]=t，++++)=t，‎ ‎++++]‎ ‎ ；‎ ‎ 记，，…，，同理得 ‎，‎ 只要比较与有大小，‎ ‎，所以，选A.‎ ‎[评注] 本题的数据范围够阴的，似乎为了与选项D匹配，若为此范围面困惑，那就中了阴招!稍加计算，考生会发现和相等，其中的智者，更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值，故比第一组更“集中”、更“稳定”，根据方差的涵义，立得>而迅即攻下此题。‎ ‎18.设，. 在中，正数的个数是 ( D )‎ x y a ‎2a ‎12a ‎13a ‎…‎ ‎24a ‎23a ‎26a ‎27a ‎49a ‎48a ‎38a ‎37a ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ (A)25. (B)50. (C)75. (D)100.‎ ‎ [解析] 对于1≤k≤25，ak≥0(唯a25=0)，所以Sk(1≤k≤25)都为正数.‎ 当26≤k≤49时，令，则，画出ka终边如右，‎ 其终边两两关于x轴对称，即有，‎ 所以++…+++0‎ ‎ ++…+‎ ‎=++…+++…‎ ‎+，其中k=26,27,…,49，此时，‎ 所以，又，所以，‎ 从而当k=26,27,…,49时，Sk都是正数，S50=S49+a50=S49+0=S49>0.‎ 对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上，可选D.‎ ‎ [评注] 本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号，为此，需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重，是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键。‎ A B C D P E 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)‎ ‎19.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，‎ PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，‎ AD=2，PA=2.求：‎ ‎(1)三角形PCD的面积；(6分)‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)‎ ‎[解](1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，‎ 从而CD⊥PD. ……3分 A B C D P E x y z 因为PD=，CD=2，‎ 所以三角形PCD的面积为. ……6分 ‎(2)[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，‎ ‎，. ……8分 设与的夹角为q，则 ‎ ，q=.‎ ‎ 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 ‎ [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 ‎ EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线 ‎ BC与AE所成的角 ……8分 ‎ 在中，由EF=、AF=、AE=2‎ ‎ 知是等腰直角三角形，‎ 所以∠AEF=. ‎ 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若，求的取值范围；(6分)‎ ‎(2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.(8分)‎ ‎[解](1)由，得.‎ 由得. ……3分 因为，所以，.‎ 由得. ……6分 ‎(2)当xÎ[1,2]时，2－xÎ[0,1]，因此 ‎. ……10分 由单调性可得.‎ 因为，所以所求反函数是，. ……14分 ‎21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 x O y P A 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎(1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)‎ ‎(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)‎ ‎[解](1)时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. ……6分 ‎(2)设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.‎ 由，整理得.……10分 因为，当且仅当=1时等号成立，‎ 所以，即.‎ 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 ‎22.在平面直角坐标系中，已知双曲线.‎ ‎(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；(4分)‎ ‎(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：‎ OP⊥OQ；(6分)‎ ‎(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，‎ 求证：O到直线MN的距离是定值.(6分)‎ ‎[解](1)双曲线，左顶点，渐近线方程：.‎ 过点A与渐近线平行的直线方程为，即.‎ 解方程组，得. ……2分 所以所求三角形的面积1为. ……4分 ‎(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，‎ 故，即. ……6分 由，得.‎ 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.‎ 又，所以 ‎，‎ 故OP⊥OQ. ……10分 ‎(3)当直线ON垂直于x轴时，‎ ‎|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.‎ 当直线ON不垂直于x轴时，‎ 设直线ON的方程为(显然)，则直线OM的方程为.‎ 由，得，所以.‎ 同理. ……13分 设O到直线MN的距离为d，因为，‎ 所以，即d=.‎ 综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 ‎23.对于数集，其中，，定义向量集 ‎. 若对于任意，存在，使得，则称X 具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎(1)若x>2，且，求x的值；(4分)‎ ‎(2)若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn>1时，x1=1；(6分)‎ ‎(3)若X具有性质P，且x1=1，x2=q(q为常数)，求有穷数列的通 项公式.(8分)‎ ‎[解](1)选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 ‎(2)证明：取.设满足.‎ 由得，所以、异号.‎ 因为－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1，‎ 故1ÎX. ……7分 假设，其中，则.‎ 选取，并设满足，即，‎ 则、异号，从而、之中恰有一个为－1.‎ 若=－1，则，矛盾；‎ 若=－1，则，矛盾.‎ 所以x1=1. ……10分 ‎(3)[解法一]猜测，i=1, 2, …, n. ……12分 记，k=2, 3, …, n.‎ 先证明：若具有性质P，则也具有性质P.‎ 任取，、Î.当、中出现－1时，显然有满足；‎ 当且时，、≥1.‎ 因为具有性质P，所以有，、Î，使得，‎ 从而和中有一个是－1，不妨设=－1.‎ 假设Î且Ï，则.由，得，与 Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. ……15分 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.‎ 当n=2时，结论显然成立；‎ 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k；‎ 当n=k+1时，若有性质P，则 也有性质P，所以.‎ 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为－1.‎ 若，则，所以，这不可能；‎ 所以，，又，所以.‎ 综上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分 ‎[解法二]设，，则等价于.‎ 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. ……14分 注意到－1是X中的唯一负数，共有n－1个数，‎ 所以也只有n－1个数.‎ 由于，已有n－1个数，对以下三角数阵 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ‎，k=1, 2, …, n. ……18分