全国高考文科数学卷一及答案

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全国高考文科数学卷一及答案

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)文 一、选择题:每小题5分,共60分 ‎1、已知集合,则集合中的元素个数为 ‎ (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2‎ ‎2、已知点,向量,则向量 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3、已知复数满足,则( ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5、已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线的焦点重合,是C的准线与E的两个交点,则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )‎ ‎(A)斛 (B)斛 (C)斛 (D)斛 ‎7、已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎8、函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为( )‎ ‎ (A) ‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎9、执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的( )‎ ‎ (A) (B) (C)7 (D)8‎ ‎10、已知函数 ,‎ 且,则 ‎ ‎ (A) ‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为,则( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎12、设函数的图像与的图像关于直线对称,且 ‎,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎13、数列中为的前n项和,若,则 .‎ ‎14.已知函数的图像在点的处的切线过点,则 .‎ ‎15. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 .‎ ‎16.已知是双曲线的右焦点,P是C左支上一点, ,当周长最小时,该三角形的面积为 .‎ 三、解答题 ‎17. (本小题满分12分)已知分别是内角的对边,.‎ ‎(I)若,求 ‎ ‎(II)若,且 求的面积.‎ ‎18. (本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,,‎ ‎(I)证明:平面平面;‎ ‎(II)若, 三棱锥的体积为,求该三棱锥的侧面积.‎ ‎19. (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费和年销售量 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎(I)根据散点图判断,与,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);‎ ‎(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为 ,根据(II)的结果回答下列问题:‎ ‎(i)当年宣传费=49时,年销售量及年利润的预报值时多少?‎ ‎(ii)当年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?‎ ‎20. (本小题满分12分)已知过点且斜率为k的直线l与圆C:交于M,N两点.‎ ‎(I)求k的取值范围;‎ ‎(II)若,其中O为坐标原点,求.‎ ‎21. (本小题满分12分)设函数.‎ ‎(I)讨论的导函数的零点的个数;‎ ‎(II)证明:当时.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图AB是O直径,AC是O切线,BC交O与点E.‎ ‎(I)若D为AC中点,证明:DE是O切线;‎ ‎(II)若 ,求的大小.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(I)求的极坐标方程.‎ ‎(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求 的面积.‎ ‎24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数 .‎ ‎(I)当 时求不等式 的解集;‎ ‎(II)若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)文 答案 一、 选择题 ‎(1)D(2)A(3)C(4)C (5)B(6)B(7)B(8)D(9)C(10)A(11)B(12)C 二、 填空题 ‎(13)6 (14)1 (15)4 (16) ‎ 三、 解答题 ‎17、解:‎ ‎(I)由题设及正弦定理可得=2ac.‎ 又a=b,可得cosB== ……6分 ‎(II)由(I)知=2ac.‎ 因为B=,由勾股定理得.‎ 故,的c=a=.‎ 所以△ABC的面积为1. ……12分 ‎18、解:‎ ‎(I)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.‎ 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.‎ 又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 ‎ ‎(II)设AB=,在菱形ABCD中,又∠ABC= ,可得 AG=GC=,GB=GD=.‎ 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可的EG=.‎ 由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=.‎ 由已知得,三棱锥E-ACD的体积=×AC·GD·BE=.‎ 故=2 ……9分 ‎ 从而可得AE=EC=ED=.‎ 所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与 △ECD的面积均为.‎ 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ……12分 ‎19、解:‎ ‎(I)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程式类型.‎ ‎(II)令,先建立y关于w的线性回归方程式.由于 ‎,‎ ‎,‎ 所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为 ‎(Ⅲ)(i)由(II)知,当=49时,年销售量y的预报值 ‎,‎ 年利润z的预报值 ‎ ……9分 ‎(ii)根据(II)的结果知,年利润z的预报值 ‎ .‎ 所以当,即=46.24时,取得最大值.‎ 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. ……12分 ‎20、解:‎ ‎(I)由题设,可知直线的方程为.‎ 因为与C交于两点,所以.‎ 解得 .‎ 所以k的取值范围为. ……5分 ‎(II)设.‎ 将代入方程,整理得 ‎.‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由题设可得=12,解得k=1,所以的方程是y=x+1.‎ 故圆心C在上,所以. ……12分 ‎21、解:‎ ‎(I)的定义域为.‎ 当≤0时,没有零点;‎ 当时,因为单调递增,单调递减,所以在单调递增,又,‎ 当b满足0<b<且b<时,,故当<0时存在唯一零点.‎ ‎ ……6分 ‎(II)由(I),可设在的唯一零点为,当时,<0;‎ 当时,>0.‎ 故在单调递减,在单调递增,所以时,取得最小值,最小值为.‎ 由于,所以.‎ 故当时,. ……12分 ‎22、解:‎ ‎(I)连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.‎ 在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.‎ 连结OE,则∠OBE=∠OEB.‎ 又∠OED+∠ABC=,所以∠DEC+∠OEB=,故∠OED=,DE是O的切线.‎ ‎ ……5分 ‎ ‎ ‎ ‎(II)设CE=1,AE=,由已知得AB=,BE=.由射影定理可得,,‎ 所以,即.可得,所以∠ACB=.‎ ‎ ……10分 ‎ ‎23、解:‎ ‎(I)因为,所以的极坐标方程为,‎ 的极坐标方程为. ……5分 ‎ ‎(II)将代入,得,解得 ‎.故,即 由于的半径为1,所以的面积为. ……10分 ‎ ‎24、解:‎ ‎(I)当时,化为.‎ 当时,不等式化为,无解;‎ 当时,不等式化为,解得;‎ 当,不等式化为-+2>0,解得1≤<2.‎ 所以的解集为. ……5分 ‎ ‎(II)由题设可得,‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为 ‎,△ABC的面积为.‎ ‎ 由题设得>6,故>2.‎ 所以的取值范围为. ……10分 ‎
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