07广东高考理科数学立体几何试题及答案

07广东高考理科数学立体几何试题及答案

‎2007年广东高考试题（理科）‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记 V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.‎ ‎（1）求V(x)的表达式；‎ ‎（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？‎ ‎(3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值 ‎2008年广东高考试题（理科）‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ F C P G E A B 图5‎ D 如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）证明：是直角三角形；‎ ‎（3）当时，求的面积．‎ ‎2009年广东高考试题（理科）‎ ‎18．（本小题满分１４分）‎ 如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影．‎ ‎（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内 的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（２）证明：直线；‎ ‎（３）求异面直线所成角的正弦值 ‎2010年广东高考试题（理科）‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．‎ ‎ （1）证明：EB⊥FD；‎ ‎（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎2011年广东高考试题（理科）‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，‎ 且∠DAB=60，,PB=2, ‎ E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎ (1) 证明：AD 平面DEF;‎ ‎ (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.‎ ‎2012年广东高考试题（理科）‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。‎ （1） 证明：BD⊥平面PAC；‎ （2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；‎ ‎2012年广东高考试题（理科）‎ ‎18．（本小题满分4分）‎ 如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎，其中．‎ ‎（1）证明：⊥平面BCDE；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ 答案解析 ‎2007年广东高考试题（理科）‎ ‎19.解: (1)即;‎ ‎ (2),时, 时, 时取得最大值.‎ ‎(3)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则;‎ ‎ ,设异面直线AC与PF夹角是 ‎2008年广东高考试题（理科）‎ F C P G E A B 图5‎ D ‎20．解：（1）在中，‎ ‎，‎ 而PD垂直底面ABCD，‎ ‎,‎ 在中，,‎ 即为以为直角的直角三角形。‎ 设点到面的距离为,‎ 由有,‎ 即 ，‎ ‎;‎ ‎(2),而,‎ 即,，,是直角三角形；‎ ‎（3）时,,‎ 即,‎ 的面积 ‎2009年广东高考试题（理科）‎ ‎18.(1)解：∵点D,分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面内的正投影．‎ ‎∴四边形在平面内的正投影为四边形 ‎ 又⊥平面 ，且 ‎ 所以，所求锥体的体积为=‎ ‎（２）证明：∵⊥平面 ，平面 ，∴⊥‎ ‎∵在正方形中，分别是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎∴⊥‎ ‎ 又∩=‎ ‎∴；‎ ‎（３）设的中点为H，连结EH，‎ ‎ 则EH∥∥CD，且EH==CD=2，‎ ‎ ∠AEH就是异面直线所成角 ‎ 又CD⊥平面，‎ ‎∴EH⊥平面 ‎ 在RT△AEH中，EH =2，AH=，所以EA=‎ 所以，异面直线所成角的正弦值为。‎ 解法2：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ‎ ，‎ 又面，，∴.‎ ‎（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，‎ ‎∴，，即，，‎ 又，∴平面.‎ ‎（3），，则，设异面直线所成角为，则.‎ ‎2010年广东高考试题（理科）‎ ‎18.‎ ‎（2）设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面，∴平面，‎ 而平面平面= ，∴.‎ 由（1）知，平面，∴平面 ‎，‎ 而平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角．‎ 在中，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是．‎ ‎2011年广东高考试题（理科）‎ ‎18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，，‎ 由题意知ΔABC是等边三角形，，‎ 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎(2) 由（1）知为二面角的平面角，‎ 在中，；在中，；‎ 在中，.‎ ‎2012年广东高考试题（理科）‎ ‎18.‎ ‎（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）设AC与BD交点为O，连，∵ ，∴ ‎ 又∵ ，∴ ，∴ ‎ ‎∴ ，∴ 为二面角的平面角 ‎∵ ，∴ ‎ ‎∴ ，∴ ‎ 在，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 二面角的平面角的正切值为3‎ ‎2013年广东高考试题（理科）‎ ‎18．（1）折叠前连接OA交DE于F，‎ ‎∵折叠前△ABC为等腰直角三角形，且斜边BC=6，‎ 所以OA⊥BC，OA=3，AC=BC=‎ 又 ‎∴BC∥DE，‎ ‎∴OA⊥DE，‎ ‎∴AF=2，OF=1‎ 折叠后DE⊥OF，DE⊥A′F，OF∩A′F=F ‎∴DE⊥面A′OF，又 ‎∴DE⊥A′O 又A′F=2，OF=1，A′O=‎ ‎∴△A′OF为直角三角形，且∠A′OF=90°‎ ‎∴A′O⊥OF，‎ 又，，且DE∩OF=F，‎ ‎∴A′O⊥面BCDE．‎ ‎（2）过O做OH⊥交CD的延长线于H，连接，‎ ‎∴OH=AO=，‎ ‎∵∠A′HO即为二面角的平面角，故cos∠A′HO=．‎