新人教版高中数学精品论文集之二高考数学填空题的解法

新人教版高中数学精品论文集之二高考数学填空题的解法

高考数学填空题的解法 填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.‎ 1. 函数与不等式 例1 已知函数，则 讲解　由，得，应填4.‎ 请思考为什么不必求呢？‎ 例2 ‎ 集合的真子集的个数是 讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.‎ ‎ 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是 例3 ‎　若函数的图象关于直线对称，则 讲解　由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.‎ 例4 ‎　如果函数，那么 ‎　　　　　‎ 讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是 ‎ 原式＝，应填 ‎ 本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：‎ ‎ 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 1. 三角与复数 例2 ‎　　已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.‎ 讲解　由已知得 ‎　　　　　　　‎ 从而角的终边在第二象限，故应填二.‎ 例3 不等式（）的解集为.‎ 讲解 注意到，于是原不等式可变形为 ‎　　　　　‎ 而，所以，故应填 例4 ‎　如果函数的图象关于直线对称，那么 讲解　，其中.‎ 是已知函数的对称轴，‎ ‎，‎ 即　　　　，‎ 于是　　　　　故应填 .‎ ‎ 在解题的过程中，我们用到如下小结论：‎ ‎ 函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.‎ 例5 设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为，则 讲解　应用复数乘法的几何意义，得 ‎　　　　　‎ ‎　　　　　　，‎ 于是　　　‎ ‎ 故应填　‎ ‎ 例9 设非零复数满足　，则代数式　的值是____________.‎ ‎ 讲解　将已知方程变形为　　，‎ 解这个一元二次方程，得 ‎ 　　　　　　‎ ‎ 显然有,　而,于是 ‎ 原式＝‎ ‎ 　　＝‎ ‎ 　　＝‎ ‎ 在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.‎ 1. 数列、排列组合与二项式定理 例10　已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么 ‎ 讲解　特别取，有，于是有 ‎　　　　　　　 故应填2.‎ 例11 数列中， , 则 ‎ 讲解 分类求和，得 ‎ ‎ ‎ ，故应填．‎ 例12 有以下四个命题：‎ 例13 ‎①‎ ‎②‎ ‎③凸n边形内角和为 ④凸n边形对角线的条数是 其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　.‎ 讲解 ①当n=3时，，不等式成立；‎ ② 当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则 ‎　　　；‎ ‎③　，但假设成立，则 ‎　　　　　　‎ ‎④　，假设成立，则 ‎　　　　‎ 故应填②③.‎ ‎　　例13　某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.‎ ‎ 讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为 ‎ 　　　　　　　　　　　　‎ ‎ 故应填 例14 ‎ 的展开式中的系数是 讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有 ‎　　　　　‎ 故应填1008.‎ ‎4. 立体几何 ‎ 例15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.‎ 讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有 ‎　　　　‎ 从而　　　，故应填 例16 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　　　　（只需写出一个可能的值）．‎ 讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.‎ 例17 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体 A B D C E F A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上）‎ 讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB‎1A1、面ADD‎1A1上的射影.‎ 四边形BFD1E在面ABCD和面ABB‎1A1上的射影相同，如图所示；‎ 四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD‎1A1上的射影显然是一条线段，如图所示. 故应填.‎ ‎5.解析几何 例18 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.‎ 讲解　由消去y，化简得 ‎　　　　　　　　　‎ 设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则 ‎　　　　　　　　‎ 故应填(3,2).‎ ‎ 例19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.‎ 讲解 记椭圆的二焦点为，有 ‎ ‎ 则知 ‎ ‎ 显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.‎ ‎ 故应填或 ‎ 例20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.‎ 讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 ‎ ‎ 由 ‎ 消去x，得 （*）‎ 解出 或 ‎ 要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即 ‎ 再结合半径，故应填 填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.‎