高考数学导数中二次求导的运用

高考数学导数中二次求导的运用

高考数学--导数中二次求导的运用 ‎【理·2010全国卷一第20题】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 解析：先看第一问，首先由可知函数的定义域为，易得 则由可知，化简得 ‎，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子，而又大于零，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有 ‎，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时，；当＜时，＜0，在区间上为减函数。‎ 所以在时有最大值，即。又因为，所以。‎ 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。‎ 要证，只须证当＜时，；当＜时，＞即可。‎ 由上知，但用去分析的单调性受阻。我们可以尝试再对求导，可得，显然当＜时，；当＜时，＞，即在区间上为减函数，所以有当＜时， ，我们通过二次求导分析的单调性，得出当＜时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。‎ 下面我们在接着分析当＜时的情况，同理，当＜时，＞，即 在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。‎ 综上，得证。‎ 下面提供一个其他解法供参考比较。‎ 解：（Ⅰ），则 题设等价于。‎ 令，则。‎ 当＜＜时，＞；当时，，是的最大值点，所以 。‎ 综上，的取值范围是。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即。‎ 当＜＜时，‎ ‎ ‎ 因为＜0，所以此时。‎ 当时，。‎ 所以 比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。‎ 不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！‎ ‎【理·2010安徽卷第17题】设为实数，函数。‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当＞且＞时，＞。‎ 解析：第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。‎ ‎ ，继续对求导得 ‎ ‎ ‎ 减 极小值 增 由上表可知，而 ‎，由＞知 ‎＞，所以＞，即在区间上为增函数。‎ 于是有＞，而，‎ 故＞，即当＞且＞时，＞。‎