天津市高考数学试卷理科答案与解析

天津市高考数学试卷理科答案与解析

‎2009年天津市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2009•天津）i是虚数单位，=（　　）‎ A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2009•天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．23‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．‎ ‎【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移，‎ 知在点B自目标函数取到最小值，‎ 解方程组得（2，1），‎ 所以zmin=4+3=7，‎ 故选B．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2009•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0‎ C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0‎ ‎【考点】命题的否定．菁优网版权所有 ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆．‎ ‎【解答】解：结论的否定形式为：2x2﹣1＞0‎ ‎∴原命题的否定为：D．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了命题的否定，注意它与否命题的区别．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2009•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）‎ A．在区间（，1），（l，e）内均有零点 B．在区间（，1），（l，e）内均无零点 C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点 D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有 ‎【专题】导数的概念及应用．‎ ‎【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．‎ ‎【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；‎ 令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，‎ 故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，‎ 在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2009•天津）阅读程序框图，则输出的S=（　　）‎ A．26 B．35 C．40 D．57‎ ‎【考点】程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】算法和程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值 ‎∵S=2+5+8+…+14=40．‎ 故选C．‎ ‎【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2009•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎【考点】基本不等式；等比数列的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值 ‎【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，‎ ‎，‎ 当且仅当即时“=”成立，‎ 故选择B．‎ ‎【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2009•天津）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．‎ ‎【解答】解：由题知ω=2，‎ 所以，‎ 故选择A．‎ ‎【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2009•天津）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．‎ ‎【解答】解：‎ 由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a ‎ 即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．‎ 故选C ‎【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2009•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得 ‎=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得 的值，则三角形的面积之比可得．‎ ‎【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，‎ ‎∵=，‎ 又∵△B1BC∽△A1AC、‎ ‎∴=，‎ 由拋物线定义==．‎ 由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，‎ ‎∴AB：y﹣0=（x﹣）．‎ 把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，‎ ‎∴|AF|=|AA1|=．‎ 故===．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2009•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3‎ ‎【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，‎ ‎【解答】解：由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2‎ 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，‎ 因此应有 a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，‎ 故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，‎ 不等式的解集为或（舍去）．‎ 不等式的解集为，‎ 又由0＜b＜1+a得，‎ 故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，0‎ ‎2（a﹣1）＜b≤3 （a﹣1），‎ 注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．‎ 故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a＜3（a﹣1），即2＜a＜3即可，则 b＞2a﹣2‎ b＜3a﹣3‎ 又0＜b＜1+a 故 1+a＞2a﹣2‎ ‎3a﹣3＞0‎ 解得1＜a＜3，综上2＜a＜3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本小题考查解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）（2009•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取　40　名学生．‎ ‎【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，‎ 由分层抽样原理，应抽取名．‎ 故答案为：40‎ ‎【点评】本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2009•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=　　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【专题】立体几何．‎ ‎【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．‎ ‎【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，‎ 底边上的高为a的等腰三角形，‎ 所以有．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题．本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2009•天津）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为　　．‎ ‎【考点】直线的参数方程；两条平行直线间的距离．菁优网版权所有 ‎【专题】坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．‎ ‎【解答】解析：由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0，‎ 故它与l2的距离为．‎ 故答案为 ‎【点评】本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2009•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=　1　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．菁优网版权所有 ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．‎ ‎【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），‎ 公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|‎ 由图可知，解之得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2009•天津）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是　　．‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义．菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积 ‎【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，‎ 所以cos∠BAD==﹣，‎ 故sin∠BAD=，SABCD=（）2×=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2009•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有　324　个（用数字作答）‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有 ‎【专题】排列组合．‎ ‎【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题需要分类来解：‎ 当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；‎ 当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，‎ 根据分类计数原理得到 ‎∴共有90+234=324个．‎ 故答案为：324．‎ ‎【点评】本小题考查排列实际问题基础题．数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17．（12分）（2009•天津）已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA ‎（1）求AB的值．‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．‎ ‎（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA ‎∴由正弦定理得AB=2BC 又∵BC=1‎ ‎∴AB=2‎ ‎（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2009•天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，写出概率，分布列和期望．‎ ‎（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，‎ 由于从10件产品中任取3件的结果为C103，‎ 从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，‎ 那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，3．‎ ‎∴随机变量X的分布列是 ‎ x ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ p ‎∴X的数学期望EX=‎ ‎（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，‎ ‎“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1‎ ‎“恰好取出2件一等品“为事件A2，‎ ‎”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，‎ 且A=A1∪A2∪A3而，‎ P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，‎ ‎∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2009•天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，‎ ‎（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（2）证明平面AMD⊥平面CDE；‎ ‎（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．‎ ‎【分析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；‎ ‎（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；‎ ‎（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．‎ ‎【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，‎ 所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．‎ 设P为AD的中点，连接EP，PC．‎ 因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．‎ 又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．‎ 而PC，AD都在平面ABCD内，‎ 故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，‎ 则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．‎ 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°‎ ‎（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，‎ 所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，‎ 故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，‎ 所以平面AMD⊥平面CDE．‎ ‎（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．‎ 因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，‎ 所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．‎ 可得，．‎ ‎【点评】本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2009•天津）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【专题】导数的综合应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'（1）=3e，‎ 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，‎ 所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），‎ 整理得：3ex﹣y﹣2e=0．‎ ‎（Ⅱ）解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]ex 令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．‎ 以下分两种情况讨论．‎ ‎①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，a﹣2）‎ ‎﹣2a ‎（﹣2a，a﹣2）‎ a﹣2‎ ‎（a﹣2，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ F（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．‎ 函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．‎ 函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2．‎ ‎②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，a﹣2）‎ a﹣2‎ ‎（a﹣2，﹣2a）‎ ‎﹣2a ‎（﹣2a，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ F（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数 函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2，‎ 函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．‎ ‎【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2009•天津）以知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求直线AB的斜率；‎ ‎（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．‎ ‎【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．‎ ‎（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．‎ ‎（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．‎ 解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．‎ ‎【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，‎ 得，从而 整理，得a2=3c2，故离心率 ‎（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，‎ 所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2‎ 设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．‎ 由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．‎ 依题意，‎ 而①‎ ‎②‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③‎ 联立①③解得，‎ 将x1，x2代入②中，解得．‎ ‎（III）解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得．‎ 线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，‎ 因此外接圆的方程为．‎ 直线F2B的方程为，‎ 于是点H（m，n）的坐标满足方程组，‎ 由m≠0，解得故 当时，同理可得．‎ 解法二：由（II）可知 当时，得，由已知得 由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，‎ 因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，‎ 且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．‎ 由直线F2B的方程为，‎ 知点H的坐标为．‎ 因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．‎ 则，所以．当时同理可得 ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆性质的综合应用，难度较大，解题要注意公式的正确选取和灵活运用，避免不必要的性质．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2009•天津）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞1）．设sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Tn=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，‎ ‎（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；‎ ‎（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；‎ ‎（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，kn和l1，l2，…，ln是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn，c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2．‎ ‎【考点】数列的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题设，可得an=2n﹣1，bn=3n﹣1，n∈N*，由此可求出S3的值．‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n﹣1，T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+﹣a2nq2n﹣1，由此能够推导出（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=．‎ ‎（Ⅲ）证明：由题设条件可知，由此入手能够导出c1≠c2．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由题设，可得an=2n﹣1，bn=3n﹣1，n∈N*‎ 所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2nq2n﹣1，①‎ T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2nq2n﹣1，‎ S2n﹣T2n=2（a2q+a4q3+…﹣a2nq2n﹣1）‎ ‎1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2）③‎ ‎2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1）‎ 所以，（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（S2n﹣T2n）﹣q（S2n+T2n）‎ ‎=2d（q+q3+…+q2n﹣1）‎ ‎=‎ ‎（Ⅲ）证明：c1﹣c2=（ak1﹣al1）b1+（ak2﹣al2）b2+…+（akn﹣aln）bn ‎=（k1﹣l1）db1+（k2﹣l2）db1q+…+（kn﹣ln）db1qn﹣1‎ 因为d≠0，b1≠0，所以 若kn≠ln，取i=n 若kn=ln，取i满足ki≠li且kj=lj，i+1≤j≤n，‎ 由题设知，1＜i≤n 且 当ki＜li2时，得ki﹣li≤﹣1，由q≥n，‎ 得ki﹣li≤q﹣1，i=1，2，3i﹣13‎ 即k1﹣l1≤q﹣1，（k2﹣l2）q≤q（q﹣1），（ki﹣1﹣li﹣1）qi﹣2≤qi﹣2（q﹣1）‎ 又（ki﹣li）qi﹣1≤﹣qi﹣1，‎ 所以 因此c1﹣c2≠0，即c1≠c2‎ 当ki＞li，同理可得，因此c1≠c2．综上c1≠c2．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力．‎ ‎　‎