启示复习参考江苏高考数学试卷分析与启示

启示复习参考江苏高考数学试卷分析与启示

民族神话 鸿蒙未辟 宇宙洪荒 亿万斯年 四极不张 2008 年江苏高考数学试卷分析与启示 江苏省海门中学数学组 吴健 随着教育改革的不断深入，高考试卷的理念和呈现方式也在不断 变革，2008 年高考是新一轮课程改革后的第一年高考，其命题思想和 试题呈现方式倍受社会关注，必将对以后几年的高考命题和高考复习 起引领作用。纵观 2008 年江苏高考试题，数学试卷进一步优化了结构， 试卷起点较低，循序渐进，在全面考察基础的同时，突出体现对学生 的数学基本功、数学应用、创新能力等方面的考查。 1． 调整结构，充分落实《考试说明》的精神，重点考查数学的 主干知识 从试卷的结构来看，江苏卷继续进行积极的探索，全卷题量调整 为“14+6”，即填空题 14 个，共 70 分；解答题 6 小题，共 90 分。按 照 2008 年考试说明的要求，取消了选择题，有利于考查学生的数学基 本功和思维能力，减少考生靠猜答案得分的可能性，当然，这种变化 大大增加了学生得分的难度，使基础不好的学生没有任何“取巧”的 余地。 今年江苏省的《考试说明》指出，试卷应“贴近教学实际，既注 意全面，又突出重点。注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中 所蕴含的数学思想方法的考查”。纵观 2008 年江苏高考试卷，较好地 体现了考试说明的要求，整份试卷注重基础，考查知识覆盖面广，对 主干知识的考查重点突出。例如函数作为高中代数最基本、最重要的 内容，在试卷第（1）、（8）、（11）、（13）、（14）、（15）、（17）、（20） 题中，从不同侧面进行了考查；解析几何着重考查直线和圆、二次曲 线的性质，如第（12）、（18）题；立体几何着重考查点、线、面的位 置关系，如第（16）题。《考试说明》还特别提出了 8 个知识点要“灵 活和综合应用”，今年的试题在总题量减少的情况下，遵循“重点内容， 重点考查”的命题原则，覆盖了《考试说明》中的 8 个 C 级知识点， 且这些试题多为中档题或难题，如等差、等比数列继 2005 年、2006 年、 2007 年重点考查后，今年继续着重考查，且常考常新，考生看到这样 的考题，初看亲切、熟悉，但顺利解决很须动一番脑筋，对概念和思 维的考查充满了力度。 2． 试题编排合理，体现人性化和选择功能的和谐统一 今年高考题可以说一改往年过分追求题目的新颖与华丽，而走朴 实和紧扣课本之路，全卷除了最后一题略显抽象，其它试题学生普遍 感觉似曾相识，填空题的第（1）～（9）题，解答题的第（15）、（16） 题均为基础题，难度不大，可快速解答，填空题从第 10 题开始为中档 题，对考生的思维要求逐步提高。如填空题的第（11）、（14）两题均 为不等式知识的综合应用，虽然考察的是常见的知识点，但命题思路 巧妙，需要一定的转化变通能力。 如：11．设 为正实数，满足 ，则 的最小值为 。 此题中有三个变量 ，初看似有些吓人，但仔细分析，由 zyx ,, 032 =+− zyx xz y 2 zyx ,, 可消去参数 ，而 又是分子、分母齐次的，可以再减少 一个变量，即 = （等号条件略），从而求出 的最小值为 3。 又如：14．设函数 （ ）若对于任意 ， 都有 成立，则实数 的值为 。 由于此题中含有参数 ，我们直接研究 单调性较为困难，可 以先缩小 的范围，由 ，从而 时，即为 恒成立，可以求出 时， 的最大值为 4，此时 ，∴ ， 从而 只能等于 4。 掩卷反思，除了试卷编排较人性化，体现了和谐之外，我觉得其 用意折射出新课标的一些理念——层次分开，注重知识发生发展过程， 着重培养知识的应用和创新能力，不搞人为的复杂题型，体现了把对 学生数学思维能力的考查融合在对学生双基的考查之中的特点。 3．强化应用，在数学与现实问题的联系中考查学生解决问题的 能力 从今年江苏高考试卷我们可以看到，命题专家在应用题的设计上 作了积极的探索，通过应用题重点考查学生对现实问题的数学理解。 如第（17）是三个污水处理厂排污管道的设计问题，题目要求用长度 和角度作为自变量分别建立函数模型 （ ）， 032 =+− zyx y xz y 2 xz y 2 )926(4 1)96(4 1 4 96 4 )3( 222 x z z x x z z x xz zxzx xz zx ⋅+≥++=++=+= 3)66(4 1 =+ xz y 2 13)( 3 +−= xaxxf Rx ∈ ]1,1[−∈x 0)( ≥xf a a )(xf a    ≤≤⇒ ≥ ≥ ≥− 42 0)0( 0)1( 0)1( a f f f 0≠x 32 13 xxa −≥ ]1,1[−∈x 32 13 xx − 2 1=x 4≥a a 200202 2 +−+= xxxy 100 ≤≤ x （ ），然后再利用其中一个模型求 的最小 值，求最小值的方法主要是求导，当然也可用判别式，及 等知识解决。这道试题的题材源自于生活中热点问题：环境污 染、污水处理，建立数学模型并不困难，试题将函数、三角、导数等 知识融合在一起，命题立意新，解题思路开阔，区分度高，是一道难 得的好题。 4．注重创新，在探究数学问题的过程中考查学生的数学思维能 力 今年的试卷在“知识网络交汇点命题”上有新的突破，不少试题 横跨了函数、数列、解几、导数、不等式、推理和证明，充要条件中 的几个领域，体现了现代数学不断融合的特点，在今年的高考数学试 卷中，在知识网络交汇处设计的试题所占比例超过全卷总分的 30%。 整份试卷“以能力为立意”的特点表现明显，全卷在综合考查数 学知识的同时，还加大了考查学生能力的力度，特别需要指出的是今 年的不少试题强化了探究性，要求考生对问题给出的信息、情境，能 选择有效的方法和手段进行分析，灵活地应用所学的数学知识、思想 方法进行独立的思考、探索和研究，确定解决问题的思路，创造性地 解决问题。这种命题方式既考查了高中数学的全体内容，又在探究问 题的过程中考查学生的数学思维能力以及继续学习的潜能。 如：19（1）设 是各项均不为零的 （ ≥4）项等差数 列，且公差 。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来顺序） 是等比数列，（ⅰ）当 =4 时，求 的数值；（ⅱ）求 的所有可能值。 10tan10cos 20 +−= θθy 40 πθ ≤≤ y ≤+ |cossin| xbxa 22 ba + naaa ,,, 21 ⋅⋅⋅ n n 0≠d n d a1 n （2）求证：对于给定的正整数 （ ≥4），存在一个各项及公差均不 为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等 比数列。 本题的设问分三个层次，由特殊到一般，层层递进。如果能证 明公差不为 0 的等差数列其连续三项不能为等比数列这一基本事实， 那么 =4 时，删去的只能是第 2 或第 3 项，从而可求出 =4 时， 或 。而 =5 时，删去的只能是第三项，则 成等比数列，从而 即 ，∴ ，与公差不为 0 矛盾，∴ 。 ≥6 时，无论删去哪一项，得到的数列必有原数列中的连续 三项，与基本事实矛盾。∴ 只能等于 4。第（2）问要找一个公差及 各项均不为 0 的等差数列，使其任取三项均不为等比数列，通过推证， 只要首项和公差一个为有理数，一个为无理数即可，本题解答对探索 思维的要求高，最后一问的解决又需要一定的数学直觉思维，命题很 有新意，不落浴套，具有较强的选拔功能。 5．教材新增内容考查力度大，为教改指明方向 由于今年是江苏省使用新教材的第一年高考，教材内容和老教材 相比调整幅度较大，主要体现在降低了立体几何角和距离的计算、直 线和圆锥曲线位置关系的要求，增加了复数，几何概率、统计和算法、 推理和证明、指对数函数及三角函数的导数、函数方程等内容。在 160 分的试卷中，这部分内容考查的分值达 40 分，约占全卷的 25%，今年 试卷中这部分内容考查的难度不大，以基础题为主，但随着教改的不 断深入，新增内容考查的难度也可能逐渐增大，这就要求我们须加强 n n nbbb ⋅⋅⋅,, 21 n n 41 −= d a 1 n 5421 ,,, aaaa 4251 aaaa = )3)(()4( 1111 dadadaa ++=+ 0=d 5≠n n n 这部分内容的研究，与教改的步伐要保持一致，决不能因循守旧，固 步自封。 6．反映课改方向，启迪 2008 年高考 （1）教材具有完备的知识体系，又具有绝对的权威性，而大量的 课外参考书、习题集都是教材的衍生和对教材的翻版，为此，教师要 引导学生扎根教材，今年的高考表明，技巧性很强的题目决不是考察 的主体，高考要考查的是考生对教材的领悟和把握，是考生真正的知 识体系和能力结构，高考所考查的能力是基于知识的能力，是以知识 为载体的，能力依赖于知识，夯实基础方能提高能力。 （2）重结论更重过程，提高课堂教学效率是关键 课堂教学是全面实施素质教育的主渠道，课堂教学就是让学生在 认识数学知识由易到难、由点线到面的发生、发展和应用的过程中， 逐步形成对数学思想方法的认识及利用其解决问题的能力。教学中要 注重知识发生的过程，将未知转化为已知的过程，绝不能以讲代练， 要让学生自己去动手，去思索，去探求，去发现。 （3）能力培养要抓落实 考查能力是高考永恒的主题。教学中，在使学生掌握基础知识的 同时，要培养学生的数学能力，重要的是有意识地把教学过程处理成 有效数学思维活动的过程，要充分调动学生的积极性，展示他们的思 维过程，老师要沿着学生的思维轨迹因势利导，使能力培养真正落到 实处。