高考数学总复习三角函数解三角形专题探究课二高考中三角函数问题的热点题型

高考数学总复习三角函数解三角形专题探究课二高考中三角函数问题的热点题型

专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型 ‎(建议用时：60分钟)‎ ‎1.(2017·湖州调研)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上最大值和最小值.‎ 解　(1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3.‎ 当y0＝3时，sin＝1，‎ 由题干图可得2x0＋＝2π＋，解得x0＝.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 于是：当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎2.(2017·郑州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若cos A＝，求sin C的值.‎ 解　(1)在△ABC中，‎ 由＝，‎ 可得asin B＝bsin A，‎ 又由asin 2B＝bsin A，‎ 得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，‎ 又B∈(0，π)，所以sin B≠0，‎ 所以cos B＝，得B＝.‎ ‎(2)由cos A＝，A∈(0，π)，得sin A＝，‎ 则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，‎ 所以sin C＝sin ‎＝sin A＋cos A＝.‎ ‎3.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin＋2sin2(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值.‎ 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx＋1＝sin＋1.‎ ‎∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π，‎ ‎∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.‎ ‎∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin＋1.‎ ‎(2)由f(A)＝，得sin＝.‎ 又∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎∵S＝bcsin A＝6，∴bcsin ＝6，bc＝24，‎ 由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.‎ ‎∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.‎ ‎4.(2016·济南名校联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋1－(ω＞0)的周期为π.‎ ‎(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间；‎ ‎(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图象，若h(x)为奇函数，求φ的最小值.‎ 解　(1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋1－＝‎ sin ωx＋2×＋1－ ‎＝sin ωx＋cos ωx＋1＝2sin(ωx＋)＋1.‎ 又函数f(x)的周期为π，因此 ＝π，∴ω＝2.‎ 故f(x)＝2sin＋1.‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由题意可知h(x)＝2sin，‎ 又h(x)为奇函数，则2φ＋＝kπ，‎ ‎∴φ＝－(k∈Z).∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值.‎ ‎5.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝‎ ‎(2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n.‎ ‎(1)求锐角B的大小；‎ ‎(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.‎ 解　(1)∵m∥n，‎ ‎∴2sin B＝－cos 2B，‎ ‎∴sin 2B＝－cos 2B，‎ 即tan 2B＝－.‎ 又∵B为锐角，‎ ‎∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.‎ ‎(2)∵B＝，b＝2，‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 得a2＋c2－ac－4＝0.‎ 又a2＋c2≥‎2ac，代入上式，得ac≤4，‎ 当且仅当a＝c＝2时等号成立.‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac≤，‎ 当且仅当a＝c＝2时等号成立，‎ 即S△ABC的最大值为.‎ ‎6.(2017·宁波模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值.‎ 解　(1)f(x)＝2 cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，‎ 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝f(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1，又＜‎2A＋＜，∴‎2A＋＝π，即A＝.‎ ‎∵a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ ‎∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝‎3c，②‎ 由①②得b＝3，c＝2.‎