新课标人教A版高考数学理总复习限时规范训练66 直接证明与间接证明

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新课标人教A版高考数学理总复习限时规范训练66 直接证明与间接证明

第六章 第6讲 ‎(时间：45分钟　分值：100分)‎ 一、选择题 ‎1. [2013·徐州检测] 析法证明：欲使①A>B，只需②Cb　　 B. ab.‎ ‎3. [2013·南宁质检]要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)‎ A. 2ab－1－a2b2≤0　　 B. a2＋b2－1－≤0‎ C. －1－a2b2≤0　　 D. (a2－1)(b2－1)≥0‎ 答案：D 解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0，所以(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.‎ ‎4. [2013·长宁检测]用反证法证明命题“若sinθ＋cosθ·＝1，则sinθ≥0且cosθ≥‎0”‎时，下列假设的结论正确的是(　　)‎ A. sinθ≥0或cosθ≥0　　 B. sinθ<0且cosθ<0‎ C. sinθ<0或cosθ<0　　 D. sinθ>0且cosθ>0‎ 答案：C 解析：由题意，考虑sinθ≥0且cosθ≥0的否定，由于sinθ≥0且cosθ≥0表示sinθ，cosθ大于等于0都成立，故其否定为sinθ，cosθ不都大于等于0，选C.‎ ‎5. [2013·青岛模拟]若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断 ‎①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；‎ ‎②a>b与a0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数(　　)‎ A. 至少有一个不大于2　　 B. 都小于2‎ C. 至少有一个不小于2　　 D. 都大于2‎ 答案：C 解析：假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.‎ 而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，‎ ‎∴a，b，c中至少有一个不小于2.‎ 二、填空题 ‎7. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是________．‎ 答案：三角形的三个内角都大于60°‎ ‎8. [2013·保定模拟]若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是________．‎ 答案：P0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为________．‎ 答案：a5>b5‎ 解析：设公比为q，公差为d.‎ 则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，‎ 由a3＝b3，‎ ‎∴2d＝a1(q2－1)，‎ 又∵a1≠a3，‎ ‎∴q2≠1.‎ ‎∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1(q2－1)2>0，‎ ‎∴a5>b5.‎ 三、解答题 ‎10. 设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.‎ 证明：∵a，b，c都是正数，∴，，都是正数．‎ ‎∴＋≥‎2c，当且仅当a＝b时等号成立，‎ ＋≥‎2a，当且仅当b＝c时等号成立，‎ ＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．‎ 三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 当且仅当a＝b＝c时等号成立．‎ ‎11. 已知a>0，－>1，求证：> .‎ 证明：由已知－>1及a>0可知0，‎ 只需证·>1，‎ 只需证1＋a－b－ab>1，‎ 只需证a－b－ab>0即>1，‎ 即－>1，这是已知条件，所以原不等式得证．‎ ‎12. [2013·南京联考]已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．‎ ‎(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．‎ 证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x11，ax10‎ 又∵x1＋1>0，x2＋1>0，‎ ‎∴－ ‎＝ ‎＝>0，‎ 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，‎ 即f(x2)>f(x1)，‎ 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)法一：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－.‎ ‎∵a>1，‎ ‎∴00,1>ax0>0，‎ ‎∴f(x0)>0，与f(x0)＝0矛盾，‎ 故方程f(x)＝0没有负数根．‎
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