高考解析几何含详细答案

高考解析几何含详细答案

杨老师数学 高考专题讲义 1 解析几何--专题复习 考点 1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程 例 1：（2010·安徽高考理科·Ｔ19）已知椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上， 离心率 。 (1)求椭圆 的方程；(2)求 的角平分线所在直线 的方程； (3)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。 练习 1．已知双曲线 (a>0,b<0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右 支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) E ( )2,3A 1 2,F F x 1 2e = E 1 2F AF∠ l E l 12 2 2 2 =− b y a x 杨老师数学 高考专题讲义 2 考点 2：最值或定值问题 例 2：（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ， ，离 心率是 ，直线 与椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （Ⅲ）设 Q（x,y）是圆 P 上的动点，当 变化时，求 y 的最大值. ( 2,0)− ( 2,0) 6 3 y t= t 杨老师数学 高考专题讲义 3 练习 2、已知椭圆中心在原点，焦点在 y 轴上，离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆 与直线 相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点 F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一个焦点，点 A，B 是抛物线 上的两个动点，且满足 ，过点 A，B 分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为 M，试推断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 3 3 2+= xy yx 42 = )0( >= λλFBAF ABFM ⋅ 杨老师数学 高考专题讲义 4 练习 3、已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的 焦点且垂直长轴的弦长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 在抛物线 ： 上， 在点 处的 切线与 交于点 ．当线段 的中点与 的中点的横 坐标相等时，求 的最小值． 1C 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > (1,0)A 1C 1 1C P 2C 2 ( )y x h h= + ∈ R 2C P 1C ,M N AP MN h 杨老师数学 高考专题讲义 5 考点 3：求参数范围问题 例 3：（2010·山东高考理科·Ｔ21）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以 该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭 圆的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ； （3）是否存在常数 ，使得 恒成立？ 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 1 2,F F 4( 2 1)+ P 1PF 2PF BA、 C D、 1PF 2PF 1k 2k 1 2· 1k k = λ ·AB CD AB CDλ+ = λ 杨老师数学 高考专题讲义 6 考点 4：圆锥曲线综合问题 例 4：（2010·江苏高考·Ｔ１8）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右 顶点为 A、B，右焦点为 F。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与此椭圆分 别交于点 M 、 ，其中 m>0, 。 （1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹； （2）设 ，求点 T 的坐标； （3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）。 xoy 159 22 =+ yx mt, ),( 11 yx ),( 22 yxN 0,0 21 <> yy 422 =− PBPF 3 1,2 21 == xx 9=t 杨老师数学 高考专题讲义 7 详细解答 例 1（1）设椭圆 的方程为 （ ）， 由题意 ， ，又 ，解得： 椭圆 的方程为 （2 ）方法 1 ：由（1 ）问得 ， ，又 ，易得 为直角三角形，其中 设 的角平分线所在直线 与 x 轴交于点 ，根据角平线定理可知： ，可得 ， 直线 的方程为： ，即 。 方法 2：由（1）问得 ， ，又 ， ， ， ， ， 直线 的方程为： ，即 。 （3）假设椭圆 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ， 令 、 ，且 的中点为 ， ， 又 ，两式相减得: ,即 （3）， 又 在直线 上， （4）由（3）（4）解得： ， 所以点 与点 是同一点，这与假设矛 盾，故椭圆 上不存在关于直线 对称的相异两点。 练习 1.解：双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右 E 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2 ce a = = 2 2 4 9 1a b + = 2 2 2c a b= − 2, 4, 2 3c a b= = = ∴ E 2 2 116 12 x y+ = 1( 2,0)F − 2 (2,0)F  ( )2,3A 1 2F AF∆ 2 1 2 13, 4, 5,AF F F AF= = = 1 2F AF∠ l M 1 2 1 2 AF AF F M F M = 2 3 2F M = 1( ,0)2M∴ ∴ l 1 0 2 13 0 2 2 xy −− =− − 2 1y x= − 1( 2,0)F − 2 (2,0)F  ( )2,3A ∴ 1 ( 4, 3)AF = − − 2 (0, 3)AF = − ∴ 1 2 1 2 1 1 4( 4, 3) (0, 3) (1,2)5 3 5| | | | AF AF AF AF + = − − + − = −     ∴ 2lk = ∴ l 3 2( 2)y x− = − 2 1y x= − E l P Q 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y P Q 0 0( , )R x y PQ l⊥ 2 1 2 1 1 2PQ y yk x x −∴ = = −−  2 2 1 1 2 2 2 2 1(1)16 12 1(2)16 12 x y x y  + =  + = 2 2 2 2 2 1 2 1 016 12 x x y y− −+ = ∴ 2 1 2 1 2 1 2 1 16 16 1 2( )12 12 2 3 x x y y y y x x + −= − = − × − =+ − 0 0 2 3 x y =  0 0( , )R x y l ∴ 0 02 1y x= − 0 02, 3x y= = R A E l 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 60o 杨老师数学 高考专题讲义 8 支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ∴ ≥ ，离心率 e2= ，∴ e≥2，选 C。 例 2：（Ⅰ）因为 ，且 ，所以 所以椭圆 C 的方程为 . （Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆 P 的半径为 . 由 ，解得 .所以点 P 的坐标是（0， ）. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 P 的方程 . 因为点 在圆 P 上。所以由图可知 。设 ，则 当 ，即 ，且 ， 取最大值 2. 练习 2、解：（1）设椭圆方程为 （a＞b＞0）． 因为 ，得 ．又 ，则 ． 故椭圆的标准方程是 ． （2）由椭圆方程知，c＝1，所以焦点 F（0，1），设点 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由 ，得（－x1，1－y1）＝λ（x2，y2－1），所以－x1＝λx2，1－y1＝λ（y2－1）． 于是 ．因为 ， ，则 y1＝λ2y2． 联立 y1＝λ2y2 和 1－y1＝λ（y2－1），得 y1＝λ，y2＝1 λ． 因为抛物线方程为 y＝1 4x2，求导得 y′＝1 2x．设过抛物线上的点 A、B 的切线分别为 l1，l2，则直线 l1 的方程 6 3 c a = 2c = 2 23, 1a b a c= = − = 2 2 13 x y+ = (0, )( 1 1)p t t− < < 2 2 13 y t x y = + = 23(1 )x t= ± − 23(1 )t− 2| | 3(1 )t t= − 3 2t = ± 3 2 ± 2 2 2( ) 3(1 )x y t t+ − = − ( , )Q x y y 2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t= ± − − ≤ + − cos , (0, )t θ θ π= ∈ 23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t πθ θ θ+ − = + = + 3 πθ = 1 2t = 0x = y b a b a 3 2 2 2 2 2 c a b a a += ≥4 2 2 2 2 1y x a b + = 3 3e = 2 2 2 3 b a = 2 2 1 1 b = = + 2 22, 3b a= = 2 2 13 2 y x+ = AF FBλ=  2 2 2 1 2x xλ= 2 1 14x y= 2 2 24x y= x y P M N O 杨老师数学 高考专题讲义 9 是 y＝1 2x1（x－x1）＋y1，即 y＝1 2x1x－1 4x12． 直线 l2 的方程是 y＝1 2x2（x－x2）＋y2，即 y＝1 2x2x－1 4x22． 联立 l1 和 l2 的方程解得交点 M 的坐标为 ． 因为 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4． 所以点 M ． 于是 ， （x2－x1，y2－y1）． 所以 ＝ ＝1 2（x22－x12）－2（1 4x22－1 4x12）＝0． 故 为定值 0． 练习 3、解：（1）由题意得 所求的椭圆方程为 ． （2）不妨设 则抛物线 在点 P 处的切线斜率为 ，直线 MN 的方程为 ， 将上式代入椭圆 的方程中，得 ， 即 ， 因为直线 MN 与椭圆 有两个不同的交点，所以有 ， 设线段 MN 的中点的横坐标是 ，则 ， 设线段 PA 的中点的横坐标是 ，则 ， 由题意得 ，即有 ，其中的 或 ； 当 时有 ，因此不等式 不成立； 因此 ，当 时代入方程 得 ， 将 代入不等式 成立， 因此 的最小值为 1． 2 1 2, ,12 1 b a b b a = = ∴  =⋅ =  2 2 14 y x+ = 2 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ),M x y N x y P t t h+ 2C 2x ty t=′ = 22y tx t h= − + 1C 2 2 24 (2 ) 4 0x tx t h+ − + − = ( )2 2 2 2 24 1 4 ( ) ( ) 4 0t x t t h x t h+ − − + − − = 1C 4 2 2 1 16 2( 2) 4 0t h t h ∆ = − + + − + >  3x 2 1 2 3 2 ( ) 2 2(1 ) x x t t hx t + −= = + 4x 4 1 2 tx += 3 4x x= 2 (1 ) 1 0t h t+ + + = 2 2 (1 ) 4 0, 1h h∆ = + − ≥ ∴ ≥ 3h ≤ − 3h ≤ − 22 0,4 0h h+ < − < 4 2 2 1 16 2( 2) 4 0t h t h ∆ = − + + − + >  1h ≥ 1h = 2 (1 ) 1 0t h t+ + + = 1t = − 1, 1h t= = − 4 2 2 1 16 2( 2) 4 0t h t h ∆ = − + + − + >  h 1 2 1 2( , )2 4 x x x x+ 1 2( , 1)2 x x+ − 1 2( , 2)2 x xFM += − AB = FM AB⋅  2 2 2 1 2 12( )2 x x y y − − − 2F M AB⋅  杨老师数学 高考专题讲义 10 例 3 ：（1 ）由题意知，椭圆离心率为 ，得 ，又 ，所以可解得 ， ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ；所以椭圆的焦点坐标为 （ ，0 ），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 . （2）设点 P（ ， ），则 = ， = ，所以 = ，又点 P（ ， ）在双曲线上，所以有 ，即 ，所以 =1. （3）假设存在常数 ，使得 恒成立，则由（2）知 ，所以设直线 AB 的 方程为 ，则直线 CD 的方程为 ， 由方程组 消 y 得： ，设 ， ， 则由韦达定理得： 所以|AB|= = ，同理可得 |CD|= = = ， 又因为 ，所以有 = + = ，所以存在常数 ，使得 恒成立。 例 4：（1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由 ，得 化简得 。 c a = 2 2 2a c= 2 2a c+ = 4( 2 1)+ 2 2a = 2c = 2 2 2 4b a c= − = 2 2 18 4 x y+ = 2± 2 2 14 4 x y− = 0x 0y 1k 0 0 2 y x + 2k 0 0 2 y x − 1 2·k k = 0 0 2 y x ⋅+ 0 0 2 y x − 2 0 2 0 4 y x − 0x 0y 2 2 0 0 14 4 x y− = 2 2 0 0 4y x= − 1 2·k k = 2 0 2 0 4 y x − λ ·AB CD AB CDλ+ = 1 2· 1k k = ( 2)y k x= + 1 ( 2)y xk = + 2 2 ( 2) 18 4 y k x x y = + + = 2 2 2 2(2 1) 8 8 8 0k x k x k+ + + − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 2 2 8 ,2 1 kx x k −+ = + 2 1 2 2 8 8 ,2 1 kx x k −= + 2 2 1 2 1 21 ( ) 4k x x x x+ ⋅ + − 2 2 4 2(1 ) 2 1 k k + + 2 2 1 2 1 2 11 ( ) ( ) 4x x x xk + ⋅ + − 2 2 14 2(1 ) 12 1 k k + × + 2 2 4 2(1 ) 2 k k + + ·AB CD AB CDλ+ = 1 1 | | | |AB CD λ = + 2 2 2 1 4 2(1 ) k k + + 2 2 2 4 2(1 ) k k + + 2 2 3 3 3 2 84 2(1 ) k k + = + λ 3 2 8 = ·AB CD AB CDλ+ = 422 =− PBPF 2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y− + − − + = 9 2x = 杨老师数学 高考专题讲义 11 故所求点 P 的轨迹为直线 。 （2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ） 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直 线 NTB 方 程 为 ： ， 即 。 联立方程组，解得： ，所以点 T 的坐标为 。 （3）点 T 的坐标为 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直线 NTB 方程为： ，即 。 分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ， 解得： 、 。 方法一：当 时，直线 MN 方程为： 令 ，解得： 。此时必过点 D（1，0）； 当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0）。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。 方法二：若 ，则由 及 ，得 ， 此时直线 MN 的方程为 ，过点 D（1，0）。 若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ， 9 2x = 3 1,2 21 == xx 0,0 21 <> yy 5 3 1 3 20 9 − 0 3 5 2 303 y x− += +− 1 13y x= + 0 3 20 10 39 3 y x− −= − − − 5 5 6 2y x= − 7 10 3 x y = = 10(7, )3 (9, )m 0 3 0 9 3 y x m − +=− + ( 3)12 my x= + 0 3 0 9 3 y x m − −=− − ( 3)6 my x= − 159 22 =+ yx 1 23, 3x x≠ − ≠ 2 2 2 3(80 ) 40( , )80 80 m mM m m − + + 2 2 2 3( 20) 20( , )20 20 m mN m m − −+ + 1 2x x≠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 3( 20) 20 20 40 20 3(80 ) 3( 20) 80 20 80 20 m my xm m m m m m m m m m −+ −+ += − −+ −+ + + + 0y = 1x = 1 2x x= 1x = 1 2x x= 2 2 2 2 240 3 3 60 80 20 m m m m − −=+ + 0m > 2 10m = 1x = 1 2x x≠ 2 10m ≠ 2 2 2 2 40 1080 240 3 40180 MD m mmk m m m += =− −−+ 杨老师数学 高考专题讲义 12 直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。 因此，直线 MN 必过 轴上的点（1，0）。 2 2 2 2 20 1020 3 60 40120 ND m mmk m m m − += =− −−+ MD NDk k= x