2014年版高考数学专题目08数列考二轮难点解析

2014年版高考数学专题目08数列考二轮难点解析

专题8 数列 ‎2014高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；‎ ‎(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．‎ ‎(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题．‎ ‎(5)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法．‎ ‎(6)数列与函数、不等式的综合问题.‎ 试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．‎ ‎ 1．等差、等比数列的通项公式 等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝amqn－m.‎ ‎2．等差、等比数列的前n项和 ‎(1)等差数列的前n项和为 Sn＝＝na1＋d.‎ 特别地，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．‎ ‎(2)等比数列的前n项和 Sn＝ 特别地，若q≠1，设a＝，‎ 则Sn＝a－aqn.‎ ‎3．等差数列、等比数列常用性质 ‎(1)若序号m＋n＝p＋q，在等差数列中，则有am＋an＝ap＋aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；在等比数列中，则有am·an＝ap·aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am·an＝a；‎ ‎(2)在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn≠0(n∈N*)；在等比数列{an}中，当q≠－1或k不为偶数时Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其中Sn为前n项的和(n∈N*).‎ ‎4．数列求和的方法归纳 ‎(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；‎ ‎(2)错位相减法：适用于{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；‎ ‎(3)裂项法：求{an}的前n项和时，若能将an拆分为an＝bn－bn＋1，则a1＋a2＋…＋an＝b1－bn＋1；‎ ‎(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；‎ ‎(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于Sn不加证明；‎ ‎(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn.例如对于数列{an}：a1＝1，a2＝3，a3＝2，an＋2＝an＋1－an，可证其满足an＋6＝an，在求和时，依次6项求和，再求Sn.‎ ‎5．数列的应用题 ‎(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．‎ ‎(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.‎ 考点1、等差、等比数列中基本量的计算 ‎【例1】设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：a＋a＝a＋a，S7＝7.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn；‎ ‎(2)设数列{bn}满足bn＝2an，其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn＞512.‎ ‎【解析】解　(1)由{an}是公差不为0的等差数列，‎ 可设an＝a1＋(n－1)d，则由 得 ‎【规律方法】求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n项和公式的选择．‎ ‎【变式探究】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，是公比为2的等比数列．　‎ ‎(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项；‎ ‎(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Tn，当n为何值时，有Tn≤2 012?‎ 考点2、与等差、等比数列有关的最值问题 ‎【例2】 等差数列{an}的首项是2，前10项之和是15，记An＝a2＋a4＋a8＋a16＋…＋a2n，求An及An的最大值．‎ ‎【规律方法】上述两种求An最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a2n}．法二是研究An＝(19n＋2－2n＋1)的单调性求其最值．‎ ‎【变式探究】已知等差数列{an}的首项a1≠0，公差d≠0，由{an}的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝2，b3＝6.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式bn；‎ ‎(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的值；‎ ‎(3)求An＝Sn－的最小值．‎ ‎【解析】解　(1)由a＝a‎1a6，‎ ‎ ‎ 考点3、等差、等比数列的探求问题 ‎【例3】 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】解　(1)n＝1时，由a＝S1＝a1，且a1≠0，得a1＝1.因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1) d，‎ ‎ ‎ ‎【规律方法】在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在．‎ ‎【变式探究】 设{an}是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足4S3＝S6，a2＋2是a1，a13的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在m，k∈N*，使am＋am＋4＝ak＋2？说明理由；‎ ‎(3)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1－bn＝an，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【解析】解　(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，依题意得 难点一、可转为等差数列、等比数列的数列问题 ‎【例1】 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·…·4bn－1＝(an＋1)bn(n∈N*)，证明{bn}是等差数列．‎ ‎④－③，得nbn＋2－2nbn＋1＋nbn＝0，即bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，‎ 所以2bn＋1＝bn＋2＋bn(n∈N*)，所以{bn}是等差数列．‎ ‎【规律方法】按定义证明{an}成等差(比)数列，可以考虑改证它的等价定义，即2an＋1＝an＋an＋2(a＝an·an＋2)．‎ ‎【变式探究】 在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0，q≠1)．‎ ‎(1)求证：数列{an＋1－an}为等比数列；‎ ‎(2)若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的n∈N*，an＋3，an，an＋6是否成等差数列？说明理由．‎ 难点二、数列与恒成立问题 ‎【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－1，当n≥3，n∈N*时，－＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在k∈N*，使得n≥k时，不等式Sn＋(2λ－1)an＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】解　(1)∵当n≥3时，n∈N*时，‎ －＝＝3，‎ ‎∴＝.∴当n≥2时，是常数列．‎ ‎∴n≥2时，＝＝2，an＝2n－5.‎ ‎∴an＝ ‎【规律方法】数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明．‎ ‎【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ ‎ ‎ 热点3、数列中的不等关系 ‎【例3】如果无穷数列{an}满足下列条件：①≤an＋1；②存在实数M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．‎ ‎(1)设数列{bn}的通项为bn＝5n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；‎ ‎(2)设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝，S3＝，证明：数列{Sn}是Ω数列；‎ ‎(3)设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.‎ ‎【方法技巧】不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如综合法、分析法等直接证明方法，也可以应用反证法等间接证明方法．‎ ‎【变式探究】已知α，β是方程x2－x－1＝0的两个根，且α＜β.数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝β，an＋2＝an＋1＋an，bn＝an＋1－αan(n∈N*)．‎ ‎(1)求b2－a2的值；‎ ‎(2)证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(3)设c1＝1，c2＝－1，cn＋2＋cn＋1＝cn(n∈N*)，证明：当n≥3时，an＝(－1)n－1(αcn－2＋βcn)．‎ ‎1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a‎1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.‎ ‎2．已知等比数列{an}为递增数列，且a3＋a7＝3，a‎2a8＝2，则＝________.‎ ‎3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，则＝＝⇒a1＝2d，所以＝＝.‎ ‎【答案】 ‎4．数列{an}为正项等比数列，若a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N*，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.‎ ‎5．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.‎ ‎6．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于________．‎ ‎7．已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】解　(1)由题意知 解得所以an＝3n－5(n∈N*)．‎ ‎(2)∵bn＝2an＝23n－5＝·8n－1，∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，所以Sn＝＝.‎ ‎8．已知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，设bn＋15log3an＝t，常数t∈N*.‎ ‎(1)求证：{bn}为等差数列；‎ ‎(2)设数列{cn}满足cn＝anbn，是否存在正整数k，使ck，ck＋1，ck＋2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎9．已知数列{an}成等比数列，且an＞0.‎ ‎(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；‎ ‎(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．‎ ‎【解析】解　设公比为q，则由题意，得q＞0.‎ ‎10．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.‎ ‎【解析】(1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正项数列，所以Sn＋1>0.所以Sn＝n2＋n.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．∴an＝2n.‎ ‎(2)证明　由an＝2n，得 bn＝＝ ‎＝ Tn＝ ‎＝<＝.‎ ‎11．已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N＋)．‎ ‎(1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列；‎ ‎(2)若数列{cn}满足cn＝，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<3.‎ ‎12．设函数f(x)＝(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f(n∈N*，且n≥2)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn＝a‎1a2－a‎2a3＋a‎3a4－a‎4a5＋…＋(－1)n－1·anan＋1，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．‎