高考物理复习资料大全曲线运动万有引力与航天
第四章 曲线运动 万有引力与航天
考纲要览
主题
内 容
要求
说 明
抛体运动与圆周运动
运动的合成和分解
Ⅱ
斜抛运动只做定性要求
抛体运动
Ⅱ
圆周运动 线速度 角速度 向心加速度
Ⅰ
匀速圆周运动 向心力
Ⅱ
生活中的圆周运动
Ⅰ
万有引力定律
万有引力定律及其应用
Ⅱ
环绕速度
Ⅱ
第二宇宙速度 第三宇宙速度
Ⅰ
考向预测
纵观历年考题，与本章内容相关的考题知识覆盖面宽，常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养．近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查．卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视．在高考题中本章内容以选择、填空、计算等题型出现都有可能．
第1课时 曲线运动 质点在平面内的运动
基础知识回顾
1．曲线运动
（1）曲线运动中的速度方向
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，在某点（或某一时刻）的速度方向是曲线上该点的切线方向．
（2）曲线运动的性质
由于曲线运动的速度方向不断变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度．
（3）物体做曲线运动的条件
物体所受合外力（或加速度）的方向与它的速度方向不在同一直线上．
①如果这个合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动．
②如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就做匀速圆周运动．
③做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲．根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向．
说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小．
2．运动的合成与分解
（1）合运动与分运动的特征
①等时性：合运动和分运动是同时发生的，所用时间相等．
②等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果相同．
③独立性：一个物体同时参与几个运动，各个分运动独立进行，互不影响．
（2）已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成．遵循平行四边形定则．
①两分运动在同一直线上时，先规定正方向，凡与正方向相同的取正值，相反的取负值，合运动为各分运动的代数和．
②不在同一直线上，按照平行四边形定则合成（如图4-1-1示）．
图4-1-1
③两个分运动垂直时，正交分解后的合成为
（3）已知合运动求分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解．
重点难点例析
一、怎样确定物体的运动轨迹？
1．同一直线上的两分运动（不含速率相等，方向相反情形）的合成，其合运动一定是直线运动．
2．不在同一直线上的两分运动的合成．
（1）若两分运动为匀速运动，其合运动一定是匀速运动．
（2）若两分运动为初速度为0的匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速直线运动．
（3）若两分运动中，一个做匀速运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动（如平抛运动）．
（4）若两分运动均为初速度不为0的匀加（减）速直线运动，其合运动不一定是匀加（减）速直线运动，如图4-1-2、图4-1-3所示）．图4-1-2情形为匀变速曲线运动；图4-1-3情形为匀变速直线运动（匀减速情形图未画出），此时有．
v1 v
a1 a
o v2 a2
v1 v
a1 a
o a2 v2
图4-1-2 图4-1-3
【例1】关于不在同一直线的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（ ）
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．一定是匀变速运动
【解析】两个分运动的加速度恒定，因此合加速度是恒定的，所以合运动的性质一定是匀变速运动；当合速度与合加速度在一条直线上时，合运动是直线运动，当合速度与合加速度不在一条直线上时，合运动是曲线运动．所以CD正确．
【答案】CD
【点拨】两直线运动的合运动的性质和轨迹，由两个因素决定：一是分运动的性质，二是合运动的初速度与合运动的加速度方向
v
A
B
c
b
a
图4-1-4
l 拓展
如图4-1-4图示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向改变而大小不变（即由F变为-F），在此力作用下物体以后运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．物体不可能沿曲线Ba运动
B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动
D．物体不可能沿原曲线由B返回A
F
v
A
B
c
b
a
F/
图4-1-5
【解析】物体在A点时的速度vA沿A点切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于vA的分量，即力F只可能沿为图中所示的各种方向之一；当物体运动到达B点时，瞬时速度vB沿B点的切线方向，这是时受力F/= -F，即F/只可能为图中所示的方向之一；可知物体以后只可能沿曲线Bc运动．
【答案】ABD
二、船过河问题的分析与求解方法
1．处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动．
2．对船过河的分析与讨论．
设河宽为d，船在静水中速度为v船，水流速为v水．
（1）船过河的最短时间
如图4-1-6
所示，设船头斜向上游与河岸成任意夹角θ，这时船速在垂直河岸方向的速度分量为v1=vv2 O v水
v船 v1
θ
图4-1-6
船sinθ，则过河时间为，可以看出，d、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90°时，即船头与河岸垂直时，过河时间最短．到达对岸时船沿水流方向位移x=v水tmin=．
（2）船过河的最短位移
①v船>v水
如图4-1-6所示，设船头斜指向上游，与河岸夹角θ．当船的合速度垂直于河岸时，此情形下过河位移最短，且最短位移为河宽d．此时有v船cosθ=v水，即．
图4-1-7
x
②v船
v 2 B．v 3> v 2> v 1
C．v 1> v 2> v 3 D．v 1= v 2= v 3
【解析】．
【答案】B
2．某一质点做平抛运动，试求下列情况下的有关物理量。（g取10m/s2）
(1)若在质点落地前1秒内它的速度方向与水平方向夹角由300变成600.试求：平抛的初速度；平抛运动的时间t；平抛运动的高度h。
（2）若质点在倾角为的斜面上端以初速从A处水平抛出，落在斜面上B点，求质点在斜面上方的飞行时间。
（3）若质点以速度正对倾角为的斜面水平抛出，落在斜面上时速度与斜面垂直，求飞行时间
图4-2-8
v0
v1
v2
v2y
v1y
600
300
【解析】（1）根据已知条件作出图4-2-8所示的示意图，假定轨迹上A、B两点是落地前的1秒内的始、终点，则对A点：
对B点：
由有t=0.5s，，
运动总时间：t总=t+1=1.5s，
下降的高度：
4-2-9
乙
甲
（2）设运动时间为t‘，由4-2-9甲图可得：
由有
故
（3）由于速度与斜面垂直，从而可将速度按图4-2-9乙水平方向和竖直方向进行分解，
由几何关系有：
所以
【答案】（1）v0=8.66m/s，t=1.5s，h=11.25m；（2）；（3）
课后创新演练
1．关于平抛运动，下列几种说法不正确的是( C )
A.平抛运动是一种匀变速曲线运动
B.平抛运动的落地时间与初速度大小无关
C.平抛运动的水平位移与抛出点的高度无关
D.平抛运动在相等时间内速度的变化相等
2．飞机以150m/s的水平速度匀速飞行，不计空气阻力，在某一时刻让A物落下，相隔1s又让B物体落下，在以后运动中关于A物体与B物体的位置关系，正确的是( D )
A.物A在物B的前下方
B.物A在物B的后下方
C.物A在物B的正下方5m处
D.以上说法都不正确
3．从一架匀速飞行的飞机上每隔相等的时间释放一个物体，这些物体在空中的运动情况是(空气的阻力不计)( AD )
A．地面的观察者看到这些物体在空中排列在抛物线上，它们做平抛运动
B．地面的观察者看到这些物体在空中排列在一直线上，它们都做平抛运动
C．飞机上的观察者看到这些物体在空中排列在抛物线上，它们都做自由落作运动
D．飞机上的观察者看到这些物体在空中排列在一直线上，它们都做自由落体运动
4．物体以速度v0水平抛出，若不计空气阻力，当其竖直分位移与水平分位移相等时( BCD )
A．竖直分速度等于水平分速度
B．即时速度大小为
C．运动的时间为2v0/g
D．运动的位移为
4-2-10
5．如图所示，物体1从高H处以初速度v1平抛，同时物体2从地面上以速度v2竖直上抛，不计空气阻力，若两物体恰能在空中相遇，则( BC )
A．两物体相遇时距地面的高度为H/2
B．从抛出到相遇所用的时间为H/v2
C．两物体抛出时的水平距离为Hv1/v2
D．两物体相遇时速率一定相等
6．一个物体以速度v0水平抛出，落地时速度的大小为v，不计空气的阻力，则物体在空中飞行的时间为( C )
A． B．
C． D．
7．一足球运动员开出角球，球的初速度是20 m/s，踢出时和水平面的夹角是37°，如果球在飞行过程中，没有被任何一名队员碰到，空气阻力不计，落点与开出点之间的距离为( A )
A．38.4 m B．19.2 m
C．76.8 m D．153.6 m
8．一水平放置的水管，距地面高h=1.8m，管内横截面面积S=2.0cm2，有水从管口处以不变的速度v=2.0m/s源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度g=10m/s,不计空气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。
【解析】水做平抛运动，尽管我们无法求出轨迹的长度和截面积，但考虑到出水速度是恒定的，只要求出水在空中的时间，就可以求得流量。以t表示水由喷口处到落地所用的时间，有：，单位时间内喷出的水量为，空中水的总量应为，由以上各式得：
代入数据得：
【答案】2.4×10-4m3.
9．有一位同学在做本实验时，想知道水流离开喷水嘴时的初速度大小，但又没有直接的测量工具，一时不能如愿。你能想办法帮他间接测量出来吗？若能，说出做法；若不能，说明理由。本次实验中，你的装置中喷水嘴的喷水初速度大小大约是多少？
【解析】能。设射高为h和射程为s，喷水嘴处水流初速度的水平和竖直分速度分别为vx、vy。则： 那么， 可见只要测出射高为h和射程为s即可。
10．在一次投篮游戏中，同学小创调整好力度，将球从A点向篮筐B投去，结果球如图4-2-11所示划着一条弧线飞到篮筐后方，已知A.B等高，请问，下轮再投时，他将如何调整？若保持力度不变，把球投入篮筐，他有几种投法？
A
B
图4-2-11
【解析】保持抛射角不变，减少初速度；或保持初速度不变，改变抛射角；或初速度和抛射角都调整。两种。一是减小抛射角，二是增大抛射角。因为除最大射程外，每一射程都对应两个抛射角。
第3课时 描述圆周运动的物理量 匀速圆周运动
基础知识回顾
1．描述圆周运动的物理量
1）线速度:是描述质点绕圆周运动快慢的物理量,某点线速度的方向即为该点切线方向,其大小的定义式为：．
2）角速度: 是描述质点绕圆心圆周运动快慢的物理量,其定义式为：,国际单位为rad/s．
3）周期和频率:周期和频率都是描述圆周运动快慢的物理量,用周期和频率计算线速度的公式为, 用周期和频率计算角速度的公式为.
4）向心加速度: 是描述质点线速度方向变化快慢的物理量, 向心加速度的方向指向圆心,其大小的定义式为或．
5）向心力: 向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其作用效果是只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小,其大小可表示为或．方向时刻与运动的方向垂直.它是根据效果命名的力.
说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力．如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力．
2．匀速圆周运动
1）定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都相等．在相同的时间物体与圆心的连线转过的角度都相等．
2）特点：在匀速圆周运动中, 线速度的大小不变, 线速度的方向时刻改变. 所以匀速圆周运动是一种变速运动．做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的合外力提供的.
3．离心运动:
1）定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然消失或不足以提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动．
2）特点：
（1）当F合=的情况，即物体所受力等于所需向心力时，物体做圆周运动.
（2）当F合<的情况，即物体所受力小于所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运动. 了解离心现象的特点，不要以为离心运动就是沿半径方向远离圆心的运动．
（3）当F合＞的情况，即物体所受力大于所需向心力时，表现为向心运动的趋势
重点难点例析
一、描述匀速圆周运动的物理量之间的关系
共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
【例1】如图5-2-1所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？
图4-3-1
【解析】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系
ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．
因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比
ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．
因A轮边缘的线速度
vA=ωARA=2ωBRB=2vB，
所以A、B、C三轮边缘线速度之比
vA∶vB∶vC=2∶1∶1．
根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
【答案】2∶2∶1；2∶1∶1；4∶2∶1。
【点拨】在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系．同一个转轮上的角速度相同，而线速度跟该点到转轴的距离成正比．在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带及和皮带相接触的两轮边缘上的各点线速度的大小相等．
l 拓展
如图4-3-2所示，O1皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径．已知r2＝1.5r1，r3=2r1．A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是_________ ，角速度之比是_________ ，向心加速度之比是__________ ，周期之比是_________．
图4-3-2
【解析】由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故．
又由于，则
由于B、C两轮固定在一起
所以ωB=ωC．
由知
所以有
由于，依得
由于，依得
再由知
【答案】3：3：4，3：2：2，9：6：8，2：3：3
二、关于离心运动的问题
物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲线。半径不变时物体作圆周运动所需的向心力，是与角速度的平方（或线速度的平方）成正比的。若物体的角速度增加了，而向心力没有相应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变，而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心。若物体所受的向心力突然消失，即将沿着切线方向远离圆心而去。
【例2】物体做离心运动时，运动轨迹
A．一定是直线
B．一定是曲线
C．可能是直线，也可能是曲线
D．可能是圆
【解析】一个做匀速圆周运动的物体，当它所受的向心力突然消失时，物体将沿切线方向做直线运动，当它所受向心力逐渐减小时，则提供的向心力比所需要的向心力大，物体做圆周运动的轨道半径会越来越大，物体的运动轨迹是曲线。
【答案】C
【点拨】理解离心运动的特点是解决本题的前提。
l 拓展
质量为M＝1000kg的汽车，在半径为R＝25m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的0.4倍。为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围。（g=10m/s2）
【解析】汽车所受的静摩擦力提供向心力，为了保证汽车行驶安全，根据牛顿第二定律，依题意有：
代入数据可求得：υ=10m/s。
【答案】0～10m/s.
三、圆周运动中向心力的来源分析
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力。它是按力的作用效果来命名的。分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源。需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力。物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）。
² 易错门诊
4-3-3
【例3】如图4-3-3所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.
【错解】当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力Fm ′指向圆心，则Fm ′＝mωm2r ①
由于由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即
Fm ′＝μFN＝μmg ②
由①、②解得：
要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足
【错因】A物随盘一起做匀速圆周运动提供是绳的拉力和A物所受的摩擦力的合力，而拉力的大小始终等于B物的重力。
【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即
F＋Fm ′＝mω12r ①
由于B静止，故
F＝mg ②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即
Fm ′＝μFN＝μmg ③
由①、②、③解得
ω1＝；
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为：
F－Fm ′＝mω22r ④
由②、③、④得ω2＝.
要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足
≤ω≤
答案 ≤ω≤
【点悟】
根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况；明确哪些力提供了它需要的向心力.
课堂自主训练
1．质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 （ ）
A.线速度越大，周期一定越小
B.角速度越大，周期一定越小
C.转速越小，周期一定越小
D.圆周半径越大，周期一定越小
【解析】由关系式，可知A、D选项错误；由关系式可知B选项正确；由关系式可知C选项错误。
【答案】B
2． 关于向心力的说法正确的是 （ ）
A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B.做圆周运动的物体除受其他力外，还要受到一个向心力的作用
C.向心力不改变圆周运动物体速度的大小
D.做圆周运动的物体其向心力是不变的
【解析】物体因为受到一个向心力的作用而做圆周运动，且这个向心力是根据力的效果命名的，并非是除其他力之外的一个新的概念的力。由于做圆周运动物体的向心力方向随时发生变化，因此做匀速圆周运动的物体所受的向心力虽然大小不变，但却是变力。向心力方向随时与速度方向垂直，因此它不改变物体的速度大小，正确答案是C。
【答案】C
3. 关于洗衣机脱水桶的有关问题，下列说法中正确的是
A．如果衣服上的水太多脱水桶就不能进行脱水
B．脱水桶工作时衣服上的水做离心运动，衣服并不做离心运动
C．脱水桶工作时桶内的衣服也会做离心运动。所以脱水桶停止工作时衣服紧贴在桶壁上
D．白色衣服染上红墨水时，也可以通过脱水桶将红墨水去掉使衣服恢复白色
【答案】C
课后创新演练
1．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2.则 （ C ）
A．ω1＞ω2，v1＞v2
B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2
4-3-4
D．ω1＝ω2，v1＝v2
2．如图4-3-4所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是 （A ）
A．它们的运动周期都是相同的
B．它们的线速度都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
3．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为（ B ）
A．1000 r/s B．1000 r/min
C．1000 r/h D．2000 r/h
4．用绳子拴着一个物体，使物体在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，绳子断了以后，物体将（B）
A.仍维持圆周运动
B.沿切线方向做直线运动
C.沿半径方向接近圆心
D.沿半径方向远离圆心
5．市内公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就要播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手”。这样可以 （ C ）
A．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒
B．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒
C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒
D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒
6．关于列车转弯处内外铁轨间的高度关系，下列说法中正确的是 （ C ）
A．内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故
B．因为列车转弯处有向内倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车倾倒
C．外轨比内轨略高，这样可以使列车顺利转弯，减少车轮与铁轨的挤压
D．以上说法都不对
4-3-5
7．如图4-3-5所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO/匀速转动，下列关于小球受力的说法中正确的是（ B ）
A．小球受到重力、弹力和向心力作用
B．小球受到重力和弹力作用
C．小球只受到一个水平指向圆心的向心力作用
D．小球受到重力和弹力的合力是恒力
8．关于离心运动，下列说法中正确的是（ D ）
A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化，就将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动
9.为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定着两个薄圆盘a、b，a、b平行相距2 m，轴杆的转速为3600 r/min，子弹穿过两盘留下两个弹孔a、b，测得两孔所在的半径间的夹角为30°，如图4-3-6所示则该子弹的速度是( C )
4-3-6
A.360 m/s B.720 m/s
C.1440 m/s D.1080 m/s
10．如图4-3-7所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）
大齿轮
小齿轮
车轮
小发电机
摩擦小轮
链条
4-3-7
【解析】大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1∶n2=2∶175
【答案】2∶175
第4课时 匀速圆周运动动力学及实例分析
基础知识回顾
1．圆周运动的动力学问题
做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，即F合=F向，或F合===。
2．竖直平面内的圆周运动中的临界问题
1）轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是小球的重力恰好提供向心力，即，这时的速度是做圆周运动的最小速度。
2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的探究是在最高点的速度.
（1）当时，杆对小球的支持力等于小球的重力；
（2）当时，杆对小球的支持力小于小球的重力；
（3）当时，杆对小球的支持力等于零；
（4）当时，杆对小球提供拉力。
重点难点例析
一、圆周运动的动力学问题
解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解。
【例1】质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时 （ ）
A．向心加速度为
B．向心力为
C．对球壳的压力为
D．受到的摩擦力为
【解析】物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有：，物体的向心加速度为，向心力为，物体对球壳的压力为，在沿速度方向，物体受滑到摩擦力，由摩擦定律有：，综上所述，选项为A、D正确。
【答案】A、D
【点拨】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，
即F合=F向，或F合===。
这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律。
l 拓展
铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h。
弯道半径r（cm）
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h（m）
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=440m时，h的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v（路轨倾角很小α时，可认为）
【解析】（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数，因此，
当r=440m时，有：
4-4-1
（2）转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如同4-4-1所示。
由牛顿定律得：
因为α很小，有：
由、可得：
代入数据解得：v=15m/s=54km/h
【答案】（1）75mm；（2）54km/h。
二、圆周运动的临界问题
圆周运动中临界问题的分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体受力的特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题．
1．在竖直面内做圆周运动的物体
竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件是：
则绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力．
竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：
杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力．
2．当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题．
【例2】【2008广东佛山质检14】在游乐园坐过山车是一项惊险、刺激的游戏。据《新安晚报》报道，2007年12月31日下午3时许，安徽芜湖方特欢乐世界游乐园的过山车因大风发生故障突然停止，16位游客悬空10多分钟后被安全解救，事故幸未造成人员伤亡。游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图4-4-1所示的装置演示。斜槽轨道AB、EF与半径R=0.4m的竖直园轨道（圆心为O）相连，AB、EF分别与园O相切于B、E点，C为轨道的最低点，斜轨AB倾角为370。质量m=0.1kg的小球从A点由静止释放，先后经B、C、D、E到F点落入小框。（整个装置的轨道光滑，取g=10m/s2, sin37°=0.6, cos37°=0.8）求：
4-4-2
（1）小球在光滑斜轨AB上运动的过程中加速度的大小；
（2）要使小球在运动的全过程中不脱离轨道，A点距离最低点的竖直高度h至少多高？
【解析】（1）小球在斜槽轨道AB上受到重力和支持力作用，合力为重力沿斜面向下的合力，由牛顿第二定律得：
。
（2）要使小球从A点到F点的全过程不脱离轨道，只要在D点不脱离轨道即可，物体在D点做圆周运动临界条件是：
由机械能守恒定律得：
解以上两式得A点距离最低点的竖直高度h至少为：
。
【答案】（1）6.0m/s2;(2)1.0m。
【点拨】本题侧重考察圆周运动临界条件的应用。物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现一种特殊的转变状态，即临界状态。通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键。
l 拓展
游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来如图4-4-3，我们把这种情况抽象为图4-4-4的模型；弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滑下，小球进入圆轨道下端后沿原轨道运动，实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半径为R，h至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力．
图4-4-4
图4-4-3
【解析】小球在最高点时不掉下来的条件是：圆轨道对小球的弹力FN≥0，此时有
（1）
而在整个运动过程中，由机械能守恒定律有
（2）
由以上各式联列可解得h≥2.5R,即h至少要等于2.5R．
【答案】2.5R.
三、圆周运动的综合问题
² 易错门诊
【例3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1， B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是。
【错解】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有
B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有
因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有
N1=N2
由、、式解得：
4-4-5
【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析
不过关。
【正解】首先画出小球运动
达到最高点和最低点的受
力图，如图4-4-5所示。A
球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。
据牛顿第二定律A球在圆管的最低
同理m2在最高点有：
m2球由最高点到最低点机械能守恒
又N1=N2
由、、式解得：
【点悟】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
课堂自主训练
图4-4-6
1.如图4-4-6所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速圆周运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（ ）
A．0
B．2
C．2μmgR
D．μmgR/2
【解析】当物块随转台匀速运动时，由知，．
由动能定理知：
摩擦力Ff的功：
图4-4-7
【答案】D
2. 如图4-4-7所示，在光滑的圆锥
顶用长为L的细线悬挂一质量为
m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆
锥和球一起以角速度ω匀速转动
时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
图4-4-8
【解析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零．由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答．对小球进行受力分析如图4-4-8所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有
T·sinθ-N·cosθ=mω2r ①
y方向上应有
N·sinθ+T·cosθ-G=0 ②
∵r = L·sinθ ③
由①、②、③式可得T = mgcosθ+mω2Lsinθ
当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）
则有 Tsinθ=mω2r ④
T·cosθ-G=0 ⑤
由④⑤式可得
即小于的角速度至少为
【答案】
课后创新演练
图4-4-9
1．如图4-4-9所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在
O点，有两个质量为m的
小环（可视为质点），同时
从大环两侧的对称位置由
静止滑下.两小环同时滑到
大环底部时，速度都为v，
则此时大环对轻杆的拉力
大小为（ C ）
A．（2m+2M）g B．Mg－2mv2/R
C．2m(g+v2/R)+Mg D．2m(v2/R－g)+Mg
2．当汽车以10m/s的速度通过某拱桥顶点时，车对桥顶的压力为车重的3/4，为了避免车沿粗糙桥面上行驶至该桥顶时所受摩擦力为零，则汽车通过桥顶速度不应（ B ）
A．v≥15m/s B．v≥20m/s
C．v≥25m/s D．v≥30m/s
4-4-10
3．如图4-4-10所示，轻杆的一端有一小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速
度，使球和杆一起绕O轴在竖直
面内转动，不计空气阻力，用F
表示球到达最高点时对小球的作
用力，则F（ D ）
A．一定是拉力 B．一定是推力
C．一定等于0
D．可能是拉力，也可能是推力，也可能等于0
图4-4-11
4．如图4-4-11所示，一球质量为m，用长为L的细线悬挂于O点，在O点正下L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子瞬间下列说法正确的是（ BCD ）
A．小球的线速度突然加大
B．小球的向心加速度突然增大
C．小球的角速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
图4-4-12
5．如图4-4-12所示，手持一根长为L的轻绳的一端在水平桌面上做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动，绳始终保持与该圆周相切，绳的另一端系质量为m的木块，木块也在桌面上做匀速圆周运动，不计空气阻力（ D ）
A．手对木块不做功
B．木块不受桌面的摩擦力
C．绳的拉力大小等于
D．手拉木块做功的功率等于
图4-4-13
6．如图4-4-13所示，MN是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒
半径比R小得多，可
忽略不计，筒的两端
是封闭的，两筒之间
抽成真空，两筒以相
同的角速度ω绕其中
心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则以下说法中正确的是（ ABC ）
A．有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处的一条与a缝平行的窄条上
B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处的一条与S缝平行的窄条上
C．有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与S缝平行的窄条上
D．只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒
7．质量相等的两汽车以相同的速度v分别通过半径为R的凸形桥顶P与凹形桥底P′时两桥面所受的压力之比为FP∶FP′=(gR-v2)∶（gR＋v2）
8．如图4-4-14所示为一实验小车中利用光电脉冲测量车速和行程的装置的示意图.A为光源，B为光电接收器，A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮.车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ；小车速度的表达式为v= ;行程的表达式为s= .
图4-4-14
【解析】小车的速度等于车轮的周长与单位时间内车轮转动圈数的乘积.设车轮的半径为R，单位时间内车轮转动圈数为k，则有v=2πRk
若齿轮的齿数为p，则齿轮转一圈电子电路显示的脉冲数即为p，已知单位时间内的脉冲数为n，所以单位时间内齿轮转动圈数为，由于齿轮与车轮同轴相连，它们在单位时间内转动圈数相等，即k=
由以上两式可得，v=
同理，设车轮转动的累计圈数为K，则有s=2πRK，
且K=，所以s=
可见，要测出小车的速度v和行程s，除单位时间内的脉冲数n和累计脉冲数N外，还必须测出车轮半径R和齿轮的齿数p.
图4-4-15
9．在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C，如图4-4-15所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A转动，将杆拉到某位置放开，末端C球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于C球重的2倍．求：（g=10m/s2）
（1）C球通过最低点时的线速度；
（2）杆AB段此时受到的拉力．
4-4-16
【解析】（1）C球通过最低点时，受力如图且作圆周运动，F向=TBC－mg
即2mg－mg=
得vC=，即为所求.
（2）以最低点B球为研究
对象，其受力如图4-4-16球圆周运动的
F向=TAB－mg－2mg 即TAB－3mg=，
且vB=vC 得TAB=3.5mg 即为所求.
10．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图4-4-17甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的、之间来回滑动．图4-4-17
、点与O点连线与竖直方向之间夹角相
等且都为，均小于100，图4-4-17乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t
=0为滑块从A点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程中的守恒量．(g取10m/s2)
【解析】由图乙得小滑块A、A/之间做简谐运动的周期T=s，由得：R=0.1m
在最高点A，有Fmin=mgcosθ，式中Fmin=0.495N
在最高点B，有Fmax-mg=m,Fmax=0.495N
从A到B过程中，滑块机械能守恒，
mv2=mgR(1-cosθ)
由以上各式联立解得：cosθ=0．99，则m=0.05kg
滑块机械能E=mv2=mgR(1—cosθ)=5×10-4J
从以上分析可求出小滑块质量m=0.05kg，容器的半径R=0.1 m，滑块运动的守恒量是机械能E=5×10-4J.
第5课时 万有引力定律及其应用
基础知识回顾
1．开普勒三定律
1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动。
2．万有引力定律
1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟着两个物体的质量的乘积成正比，跟他们之间的距离的二次方成反比。
2）公式： F= ，
其中G=6.67×10-11N·m2/kg2，叫引力常量。
3）适用条件：仅仅适用于质点或可以看作质点的物体。相距较远（相对于物体自身的尺寸）的物体和质量均匀分布的球体可以看作质点，此时，式中的r指两质点间的距离或球心间的距离。
3．万有引力定律的应用
！）由得，所以R越大，υ越小；
2）由得，所以R越大，ω越小；
3）由得，所以R越大，T越大；
4）模型总结：（1）当卫星稳定运行时，轨道半径R越大，υ越小；ω越小；T越大；万有引力越小；向心加速度越小。
（2）同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度均相等。
（3）这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题中很有用。
重点难点例析
一、万有引力与重力
1．重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力．引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力) 如图5-3-2所示．但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）．
图4-5-1
2．天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有
同样可以推得在天体表面h重力加速度
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大．
【例1】某人利用单摆来确定某高山的高度．已知单摆在海面处的周期是T0．而在该高山上，测得该单摆周期为T．求此高山离海平面高度h为多少？（把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体）
【解析】根据单摆周期公式有：
由万有引力公式得：
联立解得：
【答案】
【点拨】重力加速度与物体所处高度、纬度有关，同时注意单摆的振动周期与重力加速度有关。
l 拓展
火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为
A．0.2g B．0.4g
C．2.5g D．5g
【解析】考查万有引力定律。星球表面重力等于万有引力，G = mg，故火星表面的重力加速度 = = 0.4，故B正确。
【答案】B
二、估算天体的质量和密度
把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据
得：
因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
又由ρ=
可以求出中心星体的密度
【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2）
【解析】根据牛顿第二定律有
从上式中消去飞行器质量m后可解得
=7.2×1022kg.
根据密度公式有
【答案】3.26×103kg/m3.
【点拨】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的．
l 拓展
继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为.试计算土星的质量和平均密度。
【解析】设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.
由题意
所以：．
又
得：
【答案】
三、万有引力定律及其应用
² 易错门诊
【例3】从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
【错解】卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为：
设A，B两颗卫星的质量分别为mA，mB，则：
由得，所以。
又，所以
【错因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。根据万有引力定律知道：
由得，，
所以
可见，在“错解”中把A，B两卫星的重力加速度gA，gB当作相同的g来处理是不对的。
【正解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
A：
B：
/得：，∴
根据，可知：
【点悟】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的。
课堂自主训练
4-5-2
1．如图4-5-2所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。
【解析】本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万有引力是不可能的，但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力。
设被挖去的部分质量为，则：
①
②
所以： ③，
所以：
④
代入数据得：
2．地球对地面上物体的引力和地球对月球的引力是一种性质的力—万有引力。地球表面物体的重力加速度为，月球受到地球的吸引力产生的绕地球运动的向心加速度有为多大？月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度是多大？(已知月球中心到地球中心的距离为地球半径的60倍，地球的质量约为月球质量的81倍，月球的半径约为地球半径的0.27倍)
【解析】根据万有引力定律，宇宙间任何两个物体间都存在万有引力，地球表面的物体受到地球的引力产生的加速度为g，设地球质量为M，月球的质量为，地球的半径为R，月球的半径为r。
以地球表面的物体为研究对象， ①，
加速度： ②
研究月球受到地球的引力产生的加速度： ③
④
设月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度为，则：
⑤ 解得：。
【答案】1.63m/s2.
4-5-3
3．天体中两颗恒星的质量相差不大，相距较近时，它们绕一中心分别做匀速圆周运动，这叫做双星。已知双星的质量分别为和，相距为r，它们分别绕连线上的一点做匀速圆周运动，求它们的周期和线速度。
【解析】首先建立双星系统的运动模型如图4-5-3所示。由转动的中心总在一直线上得到，两星的转动周期相同，角速度一样，再根据向心力由它们之间的万有引力提供，结合规律容易得到。
设到O的距离为x，到O的距离为r-x，则： ①
②
联立二式解得：
③
因此速度分别为： ④， ⑤
【答案】；。
课后创新演练
1．关于太阳系中行星运动的轨道，以下说法正确的是（ BC ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的
2.对于万有引力定律公式中的r，下列说法正确的是（AC）
A．对卫星而言，是指轨道半径
B．对地球表面的物体而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个质量分布均匀的球体而言，是两球心之间的距离
D. 对人造卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
3．A、B是两个环绕地球做圆周运动的人造卫星，若两个卫星的质量相等，环绕运动的半径，则卫星A和B的（ＡＣ）
A．加速度大小之比是4∶1
B．周期之比是
C．线速度大小之比是
D．向心力之比是1∶1
4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是（AD）
Ａ．T＝2π B．T＝2π
C．T＝ Ｄ．T＝
5．（南京市调研性测试）银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1、S1到S2间的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ D ）
A． B．
C． D．
6．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果。探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时（AC）
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速率将变大
D．探测器飞行的速率将变小
7．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g．则飞船在上述圆轨道上运行的动能（B）
A．等于B．小于
C．大于 D．等于
8．在某个星球表面以初速度v竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为H，已知该星球的直径为D，那么环绕这个星球做匀速圆周运动的最大速度是。
4-5-4
9．如图4-5-4所示。地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R，运转周期为T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为，当 行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？
【解析】由题意可得行星的轨道半径r为：
①
设行星绕太阳的运转周期为，由开普勒第三定律有： ②
设行星最初处于最佳观察期时，其位置超前与地球，且设经时间t地球转过角后该行星再次处于最佳观察期。则行星转过的角度为： ③
于是有： ④
⑤
解①②③④⑤可得： ⑥
若行星最初处于最佳观察期时，其位置滞后与地球，同理可得：
⑦
【答案】
10．空间有一颗绕恒星运动的球形行星，此行星上一昼夜是6h，在行星的赤道处，用弹簧测力计称量物体的重力加速度比在两极测量的读数小10%，已
知万有引力恒量是，求此行
4-5-5
星的密度。
【解析】要解决这一问题先要建立符合题意的模型，建立模型时可以和日—地系统的运动模型进行对比得到，如图4-5-5所示，由题意知行星自转的周期为6h。
设行星的质量为M，半径为R，平均密度为，则，两极的重力为物体受到的万有引力，m是一个假定的物体的质量。
物体在赤道随行星自转的向心力为：
①
弹簧测力计的读数为由题意得到：
②
③
而 ④
⑤
代入数据得到：。
【答案】。
第6课时 人造卫星 宇宙航行
基础知识回顾
1．三种宇宙速度
⑴第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9km／s，人造卫星的最小发射速度，人造卫星的最大环绕速度；
⑵第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2km／s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；
⑶第三宇宙速度逃逸速度）v3=16.7km／s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
2．天体运动模型——人造地球卫星
1）处理方法：将卫星的运动视作匀速圆周运动。
2）动力学特征：由万有引力提供向心力，且轨道平面的圆心必与地球的地心重合。
3）基本规律：
4）重力加速度与向心加速度（不含随地球表面自转的向心加速度）的关系：
（1）因，故
（2）（R为地球半径，r为轨道半径，g为地球表面的重力加速度）
5）两种特殊卫星
（1）近地卫星：沿半径约为地球半径的轨道运行的地球卫星，其发射速度与环绕速度相等，均等于第一宇宙速度。
（2）同步卫星：运行时相对地面静止，T=24h；同步卫星只有一条运行轨道，它一定位于赤道正上方，且距离地面高度约为h≈3.6×104km，运行时的速率υ≈3.1km/s。
6）卫星系统中的超重和失重
（1）卫星进入轨道前的加速过程，卫星内的物体处于超重状态、
（2）卫星进入园形轨道正常运行时，卫星内的物体处于完全失重状态。
（3）在回收卫星的过程中，卫星内的物体处于失重状态。
重点难点例析
一、同步卫星问题
同步卫星是指运行期与地球自转周期相等的地球卫星．这里所说的“静止”是相对地球静止．同步卫星只能处于赤道面上．如图5-3-3所示，若同步卫星位于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力Fa或Fb的一个分力Fa1或Fb1是它环绕地球的向心力，另一个分Fa2或Fb2将使卫星向赤道平面运动．这样，同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振动，从而卫星与地球不能同步．
图4-6-1
因此同步卫星的周期等于地球自转的周期是一定的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的．
【例1】已知地球半径R=6.4×106m，地球质量M=6.0×1024kg，地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度v1=7.9×103m/s。若发射一颗地球同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
【解析】设同步卫星的质量m，离地高度h，速度为v，周期为T（等于地球自转周期）
方法一：
解得：
方法二：若认为同步卫星在地面上的重力等于地球的万有引力，有
解联立方程得：
方法三：根据第一宇宙速度v1，有
解得：
【答案】同步卫星的高度为3.56×107m，速度是3.1×103m/s。
【点拨】根据万有引力提供向心力列式求解，是解决此类问题的基本思路。在本题中又可以用地面重力加速度、第一宇宙速度这些已知量做相应代换。
本题计算得到的同步卫星运行速度为3.1×103m/s，比第一宇宙速度v1=7.9×103m/s小得多。第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，同步卫星是在高空中做匀速圆周运动，它的速度小于第一宇宙速度。同步卫星发射时的速度大于第一宇宙速度，一开始做大椭圆轨道运动，随后在高空中进行调整最后进入同步轨道做匀速圆周运动，速度比第一宇宙速度小。
l 拓展
我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，下列判断中正确的是（ ）
A．飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力
B．飞船的动能小于同步卫星的动能
C．飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
D．发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量
【解析】同步卫星的运转周期为24h，
飞船的周期约为90min
由
（设地球质量为M2）
那么
G、M都一定,那么T就和R有关,T相对大的 R相对大,那么同步卫星的R大，
由
那么R越大F向越小
根据万有引力定律得：
，
可见轨道半径小的，线速度小，动能小。
【答案】ABD
二、能量问题及变轨道问题
只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心体)的引力势能．离中心星体近时速度大, 离中心星体远时速度小.
如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星转轨问题．
发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动．
【例2】2003 年10 月15 日，我国成功地发射了“神舟”五号载人飞船，经过21 小时的太空飞行，返回舱于次日安全返回．已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆．椭圆的A
B
图4-6-2
一个焦点是地球的球心，如图4-6-2所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞船从轨道A 点沿箭头方向运行到B点的过程中，有以下说法正确的是（ ）
①飞船的速度逐渐增大
②飞船的速度逐渐减小
③飞船的机械能EA=EB
④飞船的机械能EA < EB
A．② ④ B．② ③
C．① ④ D．① ③
【解析】在飞船作椭圆运动的过程中，只有万有引力作用，飞船绕地球转动机械能守恒，所以，③是正确的．从A点到B点万有引力做负功，动能变小，重力势能增大．所以，从A点到B点的过程中飞船的速度逐渐减小，②是正确的．
【答案】B
【点拨】把握天体运动的特点是解决此题的关键。
l 拓展
设一号飞船在离地h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ek，重力势能为Ep，二号飞船在离地2h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ekˊ，重力势能为Epˊ，两飞船质量相等，则下列关系正确的是：
A．Ek< Ekˊ B．Ep> Epˊ
C．Ek+Ep< Ekˊ+ Epˊ D．Ek+Ep= Ekˊ+ Ep’
【解析】根据万有引力提供向心力，则有：
解得：
而，∴A错
飞船由h处变轨到2h处需有外力对飞船做正功，所以，当飞船在2h处飞行时的机械能大于在h处飞行时的机械能。故BD错。
【答案】C
三、星球的自转问题
根据万有引力定律与牛顿定律，我们可以区分随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度的不同．放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
【例3】地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）
A．F1=F2>F3 B．a1=a2=g>a3
C．v1=v2=v>v3 D．ω1=ω3<ω2
【解析】放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
设地球自转的角速度为，R为地球的半径，物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比
角速度
线速度
向心力
向心加速度．
绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星和地球同步卫星相比
【答案】D
四、三种宇宙速度的应用
4-6-3
² 易错门诊
右图4-6-3是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
【错解】AC
【错因】没有清楚第三宇宙速度的含义
【正解】第三宇宙速度是指卫星脱离太阳的吸引，进入太空的最小速度；在绕月轨道上，由万有引力定律和牛顿运动定律得，卫星受到月球的万有引力与它到月球中心的距离平方成反比，卫星质量m会约掉，所以卫星的周期与卫星的质量无关；在绕月轨道上，卫星的加速度指向月球球心，由牛顿第二定律知月球对卫星的吸引力大于地球对卫星的吸引力。故只选C
【点悟】卫星绕地球或月球运动，以及卫星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径近似为地球、月球以及太阳的半径。且都是万有引力提供向心力。
课堂自主训练
1．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=．已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的．不计其它星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为（CD）
A． B．
C． D．
【解析】根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力，则有：
，
解得星球的第一宇宙速度：
又，v2=
∴有
【答案】C
2．我国发射过一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量为地球质量的1/80，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为 ( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
【解析】根据万有引力提供向心力，则有：
即：
代入数据解得
【答案】B
课后创新演
1,3,5
1．关于人造地球卫星和宇宙飞船，下列说法中正确的是 （ABD ）
A．若已知人造地球卫星的轨道半径和它的周期，利用引力常量，就可以算出地球质量
B．两颗人造地球卫星，只要它们的绕行速率相等，不论它们的质量、形状是否相同，它们的绕行半径和绕行周期一定是相同的
C．两颗人造卫星一前一后在同一轨道上沿同一方向绕行，若要后一卫星追上前面卫星并发生碰撞，只要将后者速率增大一些即可
D．在绕地球飞行的宇宙飞船中，若宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，此飞船的速率不会因质量减小而改变
2．我们知道，人造地球卫星在地球引力作用下做匀速圆周运动，如果环绕速度为v，则当卫星速度达到v时将会脱离地球引力的束缚．现在点电荷一Q的电场中，质子以某一速率围绕一Q做匀速圆周运动．当该质子再获得Eo的动能时即可逃脱此电场束缚．现若改为α
粒子在该轨道上围绕一Q做匀速圆周运动，那么，α粒子要从该位置逃脱此电场束缚，还需要的动能至少为 ( C )
A．Eo／4 B．Eo／2
C．2Eo D．4Eo
3．设月球表面的重力加速度为a，月球半径为R，并能在月球表面上发射月球“卫星”，则以下说法中正确的是(已知万有引力常量为G) ( BC )
A．月球的平均密度为a/4πG
B．月球的质量为aR2/G
C．月球“卫星”的发射速度不小于
D．月球“卫星”正常运行时的线速度不小于
4．2004年9月18日，欧盟和中国草签了中国参与伽利略项目的协议，这标志着欧洲和我们都将拥有自己的卫星导航定位系统．伽利略系统将由27颗运行卫星和3颗预备卫星组成，可以覆盖全球，预计于2008年投入使用．卫星的轨道高度为km，倾角为560，当某颗工作卫星出现故障时，预备卫星可及时顶替工作．若某颗预备卫星处于略低于工作卫星的轨道上，以下说法中正确的是 (C)
A．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度
B．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度
C．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向后喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上加速
D．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向前喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上减速
5．地球赤道上的某城市N想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光反射到地球上，使这座城市在午夜有“日出”时的效果．若此时的N城正是盛夏季节，地球的半径为R，其自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求：
(1)地球同步卫星离地心的距离；
(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差；
(3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角．
【解析】（1）
联立得
（2）如图4-6-4，卫星所在经线在平面上投影为OA，N城所在经线在平面上投影为ON，则：
O
α
θ
4-6-4
就是卫星经度与N城的经度差。
（3）用过赤道平面去截地球与卫星得到图示4-6-4平面图。设A处为卫星，AP为平面镜。水平入射光线MA，经反射后反射光线AN与地球相切，N城才有午夜“日出”时的效果，所以∠MAN为直角。卫星所在经线在平面上投影为OA。N城所在经线在平面上投影为ON，，由反射定律可得∠NAP=450。，即平面镜与卫星所在经度平面的夹角为：
。
6．“嫦娥一号”探月卫星与稍早前日本的“月亮女神号”探月卫星不同，“嫦娥一号”卫星是在绕月球极地轨道上运动，加上月球的自转，因而“嫦娥一号”卫星能探测到整个月球表面。12月11日“嫦娥一号”卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测，并获得了月球背面部分区域的影像图。卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H，绕行的周期为TM；月球绕地公转的周期为TE，半径为R0。地球半径为RE，月球半径为RM。试解答下列问题：
4-6-5
（1）若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响，试求月球与地球质量比
（2）当绕月极地轨道的平面与月球绕地公转的轨道平面垂直，也与地心到月心的连线垂直（如图4-6-5
所示）。此时探月卫星向地球发送所拍摄的照片。此照片由探月卫星传送到地球最少需要多少时间？已知光速为C
【解析】（1）由牛顿第二定律，
F向man=
万有引力定律公式为：F引
月球绕地球公转时由万有引力提供向心力，故
同理探月卫星绕月有：
由①②联立解得
（2）设探月级地卫星以地心距离为L0，则卫星到地面的最短距离为L0-RE，由几何知识知
故将照片发回地面的时间
A
B
O
4-6-6
7．黑洞是近代引力理论预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的点O做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-6-6所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T0
（1）可见星A所受暗星的B引力FA等效为位于O点处质量为m/的星体(视为质点)对它的引力。设A和B的质量分别为m1、m2，试求m/（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）演化到末期，如果其质量大小太阳质量m0的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星的速率为2.7×105m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6 m0，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
(G＝6.67×10-11N.m2/kg2, m0=2.0×1030kg)
【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω，由牛顿运动定律，有
设A、B之间的距离为r，又r= r1+r2，由上述各式得
①
由万有引力定律有
将①式代入得
令
②
（2）第二定律有 ③
又可见星A的轨道半径 ④
由②③④解得 ⑤
（3）将m1=6 m0代入⑤式得
代入数据得 ⑥
设m2=n m0（n>0），将其代入⑥式，得
⑦
可见的值随n的增大而增大，试令n=2，得
⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必而在于2倍的m0，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
8．图示4-6-7是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．“嫦娥一号”进入月球轨道后，在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．
（1）若已知月球半径为R月，月球表面的重力加速度为g月，则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少？
（2）若已知R月=R地，g月=g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？
【解析】（1）设“嫦娥一号”环绕月球运行的周期是T，根据牛顿第二定律得
G= mg月
G= m（R月+h）
解得T=
4-6-7
中段轨道修正误差
发
射
进入奔月轨道
进入月球轨道
制动开始
（2）对于靠近天体表面的行星或卫星有mg=，v=
由v=知，=
将R月=R地，g月=g地代入计算，可知
（≈0.2）
即近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的
（0.2）倍．
第7课时 实验: 探究平抛运动的规律
基础知识回顾
1．实验目的
（1）用实验方法描出平抛物体的运动轨迹
（2）从实验轨迹求平抛物体的初速度
2．实验原理
平抛物体的运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。
使小球做平抛运动，利用描迹法描出小球运动轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，根据公式和，就可求得：，即为做平抛运动的初速度。
图4-7-1
3．参考案例
（1）案例一：
利用平抛运动实验器（如同4-7-1所示）。
注意事项：
a/斜槽末端切线必须水平
b/每次从同一位置无初速释放小球，以使小球每一次抛出后轨迹相同，每次描出的点在同一轨迹上
c/安装实验装置时，要注意使轨道末端与图板相靠近，并保持它们的相对位置不变
d/要用重垂线把图板校准到竖直方向，使小球运动靠近图板，又不接触图板
e/坐标原点不是槽口末端点，应是球在槽口时，球心在图板上的水平投影点O
f/球的释放高度要适当，使其轨迹不至于太平也不至于太竖直，以减小测量误差
g/计算初速度时，应选离O点远些的点
（2）案例二：
利用水平喷出的细水柱显示平抛运动的轨迹。
水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹。
图4-7-2
（3）案例三：
利用数码照相机或数码摄像机更精细地探究平抛运动。(如图4-7-3)
重点难点例析
一、平抛运动的实验步骤及注意事项
【例1】在“探究平抛运动的运动规律”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
A．让小球多次从 位置上滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置。
B．按图安装好器材，注意 ，记下平抛初位置O点和过O点的竖直线。
C．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体的轨迹。
⑴ 完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。
⑵上述实验步骤的合理顺序是 。
【解析】 ⑴ A中为了保证小球每次平抛初速度相同，轨迹重合，应让小球从同一位置滚下。B中为了保证小球做平抛运动，要注意斜槽末端切线水平。
⑵ 上述实验步骤的合理顺序是B、A、C。
【答案】见解析
【点拨】 为研究平抛运动规律，就需先得到平抛运动的轨迹，实验时应注意以下问题：一是保证小球每次平抛初速度相同；二是保证小球初速度分向水平。当然，还需要力求准确地记下小球经过的一系列位置。
l 拓展
如图4-7-3所示是研究平抛运动的实验装置简图，图4-7-4是实验后白纸上的轨迹图。
图4-7-3
⑴ 说明图4-7-4中的两条坐标轴是如何作出的。
⑵ 说明判断槽口的切线是否水平的方法。
图4-7-4
O
x
y
⑶ 实验过程中需要经多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹，进行这一步骤时应注意什么？
【解析】⑴ 利用拴在槽口
处的重锤线画出y轴，x轴
与y轴垂直。
⑵ 将小球放在槽口的
水平部分，小球既不向里滚
动，也不向外滚动，说明槽口的末端是水平的。
⑶ 应注意每次小球都从轨道上同一位置由静止释放。
【答案】见解析
图4-7-5
A
A’
B’
B
y
h
x2
x1
二、求平抛运动的初速度
【例2】在“研究平抛物体的
运动”的实验中，某同学只在
竖直板面上记下了重锤线y
的方向，但忘记了平抛的初位
置，在坐标纸上描出了一段曲
线的轨迹，如图4-7-5所示。现在曲线上取A、B两点，量出它们到y轴的距离，AA’=x1，BB’=x2，以及AB的竖直距离h，用这些可以求出求得小球平抛时的初速度为多大？
【解析】设小球到达A点时，运动时间为t1，竖直方向的位移为y1；到达B点时，运动时间为t2，竖直方向的位移为y2。根据平抛运动的规律有
其中y2－y1=h，
所以 。
【答案】
图4-7-6
a
b
c
d
【点拨】平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动，竖直方向的分运动为自由落体运动。由此列出方程求解，即可求得其初速度。充分利用平抛运动的轨迹及其特点是本题求解的关键。
l 拓展
在研究平抛运动的实验中，用一
张印有小方格的纸记录轨迹，小
方格的边长L＝1.25cm，若小球
在平抛运动途中的几个位置如
图4-7-6中a、b、c、d所示，则
小球平抛的初速度为v0＝ （用L、g表示），其值是 。（g取9.8m/s2）
【解析】由水平方向上ab＝bc＝cd可知，相邻两点的时间间隔相等，设为T，竖直方向相邻两点间距之差相等，Δs＝L，则由 Δs＝aT2，
即得 T＝＝
时间T内，水平方向位移为s＝2L，所以
v0＝＝2m/s＝0.70m/s。
【答案】2，0.70m/s。
三、平抛运动的案例分析
图4-7-7
A
A′
B
C
C′
B′
【例3】如图4-7-7所示为频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A、B、C为三个同时由同一点出发的小球。AA′为A球在光滑水平面上以速度v
运动的轨迹； BB′为B球以速度v被水平抛出后的运动轨迹；CC′为C球自由下落的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹可得出结论：
。
【解析】仔细观察照片可以发现，B、C两球在任一曝光瞬间的位置总在同一水平线上，说明平抛运动物体B在竖直方向上的运动特点与自由落体运动相同；而A、B两小球在任一曝光瞬间的位置总在同一竖直线上，说明平抛运动物体B在水平方向上的运动特点与匀速直线运动相同。所以，做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。
【答案】见解析
【点悟】本例提供了探究平抛运动的特点的另一方法，简明且较准确，但需要一定的设备，如有条件，不妨一试。
l 拓展
如图4-7-8所示，在研究平抛运动时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开接触开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两个小球总是同时落地，该实验现象说明了A球在离开轨道后（ ）
B
A
S
H
图4-7-8
A．水平方向的分运动是匀速直线运动
B．水平方向的分运动是匀加速直线运动
C．竖直方向的分运动是自
D．竖直方向的分运动是匀速直线运动
【解析】A球平抛的同时B球自由下落，且两球在同一高度上，又两球总是同时落地，这只能说明A球在抛出后竖直方向的分运动是自由落体运动，但并不能说明A球的水平分运动是匀速直线运动。
【答案】C
课堂自主训练
1．在“探究平抛物体运动的规律”的实验中，小球做平抛运动的坐标原点位置应是（设小球半径为r）
A．斜槽口末端O点
B．斜槽口O点正上方r处
C．槽口O点正前方r处
D．小球位于槽末端时，球心在竖直木板上的水平投影点
图4-7-9
A
B
C
【解析】由于在实验中描出的点都是球心经过的位置。因此，所描轨迹的初始位置也应是球心所经位置。
【答案】D
2．图4-7-9为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm，如果取g=10m/s2，那么：
（1）闪光频率是 Hz。
（2）小球运动中水平分速度的大小是 m/s。
（3）小球经过B点时的速度是 m/s。
【解析】（1）由A、B，B、C之间的水平距离相等，而由竖直方向距离之比为3∶5知，小球由抛出到达A点在竖直方向的位移为一个方格，即5cm。由得，可知闪光频率
（2）在t=0.1s内，小球的水平位移为3×5cm=15cm,由知：
（3）小球由抛出到经过B点的时间为0.2s，竖直分速度，
故。
【答案】（1）10；（2）1.5；（3）2.5.
课后创新演练
1.在做“探究平抛物体的运动”实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹。为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出一些操作要求，将你认为正确选项前面的字母填在横线上： bdf 。
（a）实验所用的斜槽要尽量的光滑，以减小摩擦
（b）通过调节使斜槽的末端保持水平
（c）每次释放小球的位置必须相同
（d）每次必须由静止释放小球
（e）记录小球位置用的木条（或凹槽）每次必须严格地等距离下降
（f）小球运动时不应与木板上的白纸相碰撞
（g）将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
2.在做“探究平抛物体的运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是 CF
A．游标卡尺 B．秒表 C．坐标纸
D．天平 E．弹簧秤 F．重垂线
3.某同学设计了一个研究平抛运动的实验。实验装置示意图如图4-7-10所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽（图4-7-10中、……），槽间距离均为。把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上。实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨的一同位置由静止释放。每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离。实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，如图4-7-11所示。
图4-7-10
图4-7-11
（1）实验前应对实验装置反复调节，直到_________。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了_______。
（2）每次将B板向内侧平移距离，是为了_______ 。
（3）在图4-7-11中绘出小球做平抛运动的轨迹。
【答案】（1）斜槽末端水平；保持小球水平抛出的初速度相同
（2）保持相邻痕迹点的水平距离大小相同
（3）略
4.试根据平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速的实验方法。提供实验器材：弹射器（含弹丸，见图4-7-12）；铁架台（带有夹具）；米尺。
4-7-12
（1）在安装弹射器时应注
意 。
（2）实验中需要测量的量（并在
示意图中用字母标出） 。
（3）由于弹射器每次射出的弹丸初速不可能完全相等，在实验中应采取的方法是 。
（4）计算公式 。
【解析】（1）弹射器必须保持水平，以保证弹丸初速度沿水平方向.
（2）应测出弹丸下降的高度y和水平射程x.
（3）在不改变高度y的条件下进行多次实验测量水平射程x，得出水平射程x的平均值，以减小误差.
（4）因为y=gt2，所以t=
又x=v0·t，故v0=x/t=/
【答案】见解析
y
图4-7-13
5．一个同学做“探究平抛物体的运动”的实验，只在纸上记下重锤线y方向，忘记在纸上记下斜槽末端位置，并只在坐标纸上描出如图4-7-13所示的一段曲线。如何只用一把刻度尺算出这个物体的初速度？
根据下面的提示，把方案的具体内容及初速度表达式表述出来。
在曲线上取三点，测量出相应距离。
y1
y2
A
B
C
△x
△x
4-7-14
【解析】画出三条等距（）、平行于y轴的竖直线与轨迹线交于A、B、C三点，如同4-7-14所示，然后分别过A、B、C三点作三条水平直线，A、B两点竖直距离为y1,A、C两点距离为y2，根据以上数据就可算出v0。
因为（t为经相邻两点的时间间隔）
即：
又 所以
解得：
6．利用单摆探究小球平抛运动规律，设计方案如图4-7-15（a）所示，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断；MN为水平木板，已知悬线长为L，悬点到木板的距离OO’＝h（h＞L）。
O
O´
A
P
B
C
M
N
(a)
v0
s2/m2
cosθ
O
0.5
1.0
1.0
2.0
(b)
4-7-15
（1）电热丝P必须放在悬点正下方的理由是：
。
（2）将小球向左拉起后自由释放，最后小球落到木板上的C点，O’C＝s，则小球做平抛运动的初速度为
v0 。
（3）在其他条件不变的情况下，若改变释放小球时悬线与竖直方向的夹角q，小球落点与O’点的水平距离s将随之改变，经多次实验，以s2为纵坐标、cosq为横坐标，得到如图4-7-15（b）所示图像。所以当q＝30°时，s为 m；若悬线长L＝1.0m，悬点到木板间的距离OO’为 。
【解析】（1）（2）略
⑶当θ=30°时cosθ=0.87，从图象找到对应的纵坐标为s2=0.27，因此s=0.52。取θ=90°，则cosθ=0，对应的s2=2m2，s=m，与之对应的平抛初速度m/s，飞行时间t=s/v0=1/s，而h-L=，带入得h=1.5m。
【答案】（1）保证小球沿水平方向抛出。
（2）（3）0.52；1.5。
第8课时 单元综合提升
本章知识网络
水平方向：匀速运动vx=v0，x=v0t，ax=0
平抛运动 竖直方向：自由落体运动vy-gt，y=gt3/2，ay=g
基本物理量及公式
合运动：，，ay=g
线速度：
角速度：
圆周运动
周期：
线速度和角速度的关系：
曲线运动、万有引力
向心加速度：
向心力：
匀速圆周运动：速率、角速度不变，速度、加速度、合外力大小不变，方向时刻变化，合外力就是向心力，它只改变速度方向
非匀速圆周运动：合外力一般不等于向心力，它不仅要改变物体的速度大小（切向分力），还要改变速度方向（向心力）
万有引力定律
定律内容
定律的应用
引力常量的测定
计算天体的质量和密度
研究人造卫星
人造地球卫星的运动学方程
人造地球卫星的环绕速度
地球同步卫星
研究星球表面的重力加速度的变化
发现未知天体
本章主要方法
本章内容可理解为牛顿运动定律在曲线运动中的应用。复习过程中要注意以下几种方法．
1．在研究复杂曲线运动时，要树立运动的合成与分解的意识。除了将复杂的曲线运动分解城相互垂直的直线分运动外，还可以将分运动合成为物体发生的实际运动。同时，还应深刻体会运动的独立性原理，理解分运动与合运动的等时性、等效性及满足平行四边形定则的特点。
2．平抛运动与类平抛运动的处理方法．
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，其中，运动时间与合速度与水平方向的夹角是联系合运动与分运动的桥梁，当涉及位移时，要扣住时间，在涉及速度应扣住角度。
3．处理匀速圆周运动的运动学问题的方法。
除了熟记描述量间的公式关系外，还应注意：两个重要的结论：即不打滑的皮带传动时，两轮上与皮带接触的各点线速度大小相等；同一转轮上的各点的角速度大小相同；利用可计算匀速圆周运动的运动时间；圆周追及问题可通过巧换参考系进行计算。
4．处理圆周运动的动力学问题的方法
匀速圆周运动满足物体的合外力等于向心力的动力学特征，关系式是处理匀速圆周运动的动力学问题的关键规律，其中，分析向心力的来源和大小与确定圆周半径是难点，应引起重视。
变速圆周运动只在特殊位置才满足物体的合外力等于向心力的关系，如竖直平面内的圆周运动问题，只有最高点与最低点才满足此关系。同时，竖直平面内的圆周运动最高点存在速度的临界值，对轻绳模型：小球能到达最高点的最小速度。对轻杆模型：小球能到达最高点的条件是v≥0。
5．解答天体运动问题的思路与方法
中学阶段研究的天体运动大都将天体的正常运动视为匀速圆周运动，解决这类问题的轨迹规律是：，同时还有下列内容值得高度重视：一个模型（天体运动的模型）、两个加速度相等（重力加速度与向心加速度）、三个力相等（万有引力、向心力、重力）四个问题（卫星系统内的完全失重、同步卫星与近地卫星、轨道变换、卫星回收）
高考试题赏析
【例1】2007宁夏，23倾斜雪道的长为25 m，顶端高为15 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图4-8-1甲所示。一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度=8 m/s飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲过程外运动员可视为质点，过渡圆弧光滑，其长度可忽略。设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ=0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离（取g=10 m/）。
【考点】平抛运动
【解析】如图4-8-1乙选坐标，斜面的方程为：
①
4-8-1甲
4-8-1乙
y
x
O
θ
运动员飞出后做平抛运动
②
③
联立①②③式，得飞行时间
t＝1.2 s
落点的x坐标：x1＝v0t＝9.6 m
落点离斜面顶端的距离：
落点距地面的高度：
接触斜面前的x分速度：
y分速度：
沿斜面的速度大小为：
设运动员在水平雪道上运动的距离为s2，由功能关系得：
解得：s2＝74.8 m
【点拨】本题是平抛运动和动能定理的综合应用。
4-8-2
【例2】2008广东，有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-8-2所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
【考点】圆周运动
【解析】设转盘转动角速度时，夹角θ夹角θ
座椅到中心轴的距离： ①
对座椅分析有： ②
联立两式 得
【点拨】弄清向心力的来源是关键。
【例3】2007海南高考设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速度为，则太阳的质量可用、Ｒ和引力常量G表示为__________。太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速度约为地球公转速度的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为_____________。
【考点】万有引力定律、牛顿第二定律等
【解析】
地球绕太阳做圆周运动的向心力由太阳对地球的万有引力充当。根据万有引力定律和牛顿第二定律有，整理得
太阳绕银河系运动也是由万有引力充当向心力。同理可得
答案： ； 1011
【点拨】天体运动所需向心力由万有引力提供。
【例4】2007广东高考，16土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为和。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比。
（2）求岩石颗粒A和B的周期之比。
（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距离土星中心处受到土星的引力为0.38N.已知地球半径为，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
【点拨】万有引力定律和圆周运动等
【解析】樊守青(1)根据万有引力提供向心力，建立方程，对A和B分别有：
和，
解得：==
(2)再根据，得
(3)根据万有引力公式，分别在地球上和土星上对物体建立方程：
和，
解得：95
【点拨】弄清天体运动的实质是万有引力提供向心力，同时明确圆周运动各物理量之间的关系。
高考试题选编
1. 2007宁夏高考，14天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出 （ C ）
A.行星的质量 B.行星的半径
C.恒星的质量 D.恒星的半径
2.2007宁夏高考，15下列说法正确的是（ B ）
A.行星的运动和地球上物体的运动遵循不同的规律
B.物体在转弯时一定受到力的作用
C.月球绕地球运动时受到地球的引力和向心力的作用
D.物体沿光滑斜面下滑时受到重力、斜面的支持力和下滑力的作用
3.2008山东高考，18据报道，我国数据中继卫星“天链一号Ol星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经770赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（BC）
A运行速度大于7.9 km／s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
4-8-3
4.2008江苏高考，9如图4-8-3所示．一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放．当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为.下列结论正确的是 （ AC ）
A. ＝90° B. ＝45°
C.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
4-8-4
5.2005江苏，13如图4-8-4所示，一个质量为m、带电荷量为+q的小球以水平初速度v。自离地面h高度处做平抛运动．不计空气阻力，重力加速度为g，试回答下列问题：
(1)小球自抛出到第一次落地至点P的过程中发生的位移s大小是多少?
(2)若在空间再加一个垂直纸面向外的匀强磁场，发现小球第一次落地点仍然是P．试问磁感应强度B是多大?
【解析】（1）根据平抛运动有：
得
（2）由几何关系，得：
R2=x2+（R－h）2
解得
根据圆周运动知识：
4-8-5
6.2008江苏高考，13抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度，水平发出，落在球台的P1点(如图4-8-5实线所示)，求P1点距O点的距离x1。．
(2)若球在O点正上方以速度水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图4-8-5虚线所示)，求的大小．
(3)若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3．
【解析】 (1) 设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动
①
②
解得：③
(2) 设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动
④
⑤
且h2=h ⑥
2x2=L ⑦
得： ⑧
4-8-6
（3）如图4-8-6所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动
⑨
⑩
且3x3=2L ⑾
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有：
⑿
⒀
由几何关系知x3+s=L ⒁
联立⑨～⒁，解得：4-8-7
7．如图4-8-7，O和O/分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO/与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在BE弧上运动时发出的信号被遮挡。
4-8-7
【解析】设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。由式得
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有
式中， ， 。
由几何关系得
由式得
