全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学试卷答案及评分参考

全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学试卷答案及评分参考

‎2018全国卷Ⅰ高考压轴卷 理科数学 本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则等于 A． B． C． D．‎ ‎2. 设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3. 为得到的图象,只需把函数的图象上所有的点 ( )‎ A、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ B、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ C、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)‎ D、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)‎ ‎4. 展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知函数，若（、、互不相等），且的取值范围为，则实数m的值为（ ）．‎ A．0 B．－1 C．1 D．2‎ ‎6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎7. 设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8. 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为 ‎ ‎ A．243 B．363 C．729 D．1092‎ ‎9. 已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 函数的图象可能是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎11. 若且函数在处有极值，则的最大值等于 A．121 B．144 C．72 D．80‎ ‎12. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ‎ A. B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 若直线与圆相交于两点，若 ‎ 的平分线过线段的中点，则实数 ‎14. 边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△‎ ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为 .‎ ‎ ‎ ‎15. 设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为 .‎ ‎16．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：‎ 理科 文科 总计 男 ‎13‎ ‎10‎ ‎23‎ 女 ‎7‎ ‎20‎ ‎27‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．‎ 根据表中数据，得到K2=≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17.（12分）‎ 已知数列的前项和为，向量，满足条件⊥‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（12分）‎ 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.‎ 表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 ‎[95,100)‎ ‎[100,105)‎ ‎[105,110)‎ ‎[110,115)‎ ‎[115,120)‎ ‎[120,125]‎ 频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎1‎ 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图 ‎ ‎ ‎（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎19.（12分）‎ 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形， CD=，平面EDCF⊥平面ABCD．‎ ‎（1）求证：DF∥平面ABE．‎ ‎（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）当有两个极值点时，‎ ‎① 求a的取值范围；‎ ‎② 若的极大值小于整数m，求m的最小值．‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；‎ ‎（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1.【Ks5u答案】D ‎2.【Ks5u答案】C ‎【Ks5u解析】当 时， ，当ab一正一负时，‎ ‎ ，当 时，，所以，故选C．‎ ‎3.【Ks5u答案】C ‎4.【Ks5u答案】B ‎【Ks5u解析】解：由题意可得二项展开式的通项=根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r=3，9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个,所求的概率为 ‎5【Ks5u答案】C ‎【Ks5u解析】作出的图象，如图所示，可令，则有图知点，‎ 关于直线对称，所以，又，所以，‎ 由于（、、互不相等），结合图象可知点的坐标为，‎ 代入函数解析式，得，解得．故选．‎ ‎ ‎ ‎6【Ks5u答案】A ‎7【Ks5u答案】C ‎【Ks5u解析】因为 ，所以 因此在上有两个不同的零点，由得 ，所以 令 ，则，所以 ，又，所以当时 ，当 时 ，要使方程有两个不同的零点，需，选C. ‎ ‎8【Ks5u答案】D ‎ ‎ ‎9【Ks5u答案】C ‎10【Ks5u答案】C ‎11【Ks5u答案】C ‎12【Ks5u答案】D ‎13【Ks5u答案】‎ ‎14【Ks5u答案】‎ ‎15【Ks5u答案】‎ ‎16【Ks5u答案】5%‎ ‎【Ks5u解析】根据题意，K2=≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，而P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025，故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%，故答案为：5%‎ ‎17. 【Ks5u答案】（1）∵⊥,∴, 当时，，‎ 当时，满足上式，∴‎ ‎（2）‎ 两边同乘，‎ 得，两式相减得： ，‎ ‎． ‎ ‎18. 【Ks5u答案】（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎48‎ ‎43‎ ‎91‎ 不合格品 ‎2‎ ‎7‎ ‎9‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ ‎ 将列联表中的数据代入公式计算得 ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. ‎ ‎（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备 ‎ ‎（Ⅲ）由题知， ‎ ‎∴ ‎ ‎19. 【Ks5u答案】解：（1）证明：取为原点，所在直线为轴，‎ 所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴不妨设，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）解：∵，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴不妨设，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（3）解：设，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵平面的法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 综上．‎ ‎20.【Ks5u答案】（Ⅰ）依题意得解得 ‎∴椭圆的方程是 ‎（Ⅱ）设 设线段中点为 ∵ ∴中点，直线斜率为 由是以为底边的等腰三角形∴‎ ‎∴直线的垂直平分线方程为 令 得 ∵ ∴‎ 由 ∴四边形面积 当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.‎ ‎21. 【Ks5u答案】（1）由题．‎ 方法1：由于，，，‎ 又，所以，从而，‎ 于是为(0,＋∞)上的减函数．‎ 方法2：令，则，‎ 当时，，为增函数；当时，，为减函数．‎ 故在时取得极大值，也即为最大值．‎ 则．由于，所以，‎ 于是为(0,＋∞)上的减函数．‎ ‎（2）令，则，‎ 当时，，为增函数；当时，，为减函数．‎ 当x趋近于时，趋近于．‎ 由于有两个极值点，所以有两不等实根，‎ 即有两不等实数根（）．‎ 则解得．‎ 可知，由于，则．‎ 而，即（#）‎ 所以，于是，（*）‎ 令，则（*）可变为，‎ 可得，而，则有，‎ 下面再说明对于任意，，．‎ 又由（#）得，把它代入（*）得，‎ 所以当时，恒成立，‎ 故为的减函数，所以．‎ 所以满足题意的整数m的最小值为3.‎ ‎22. 【Ks5u答案】(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.‎ ‎(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.‎ ‎23. 【Ks5u答案】（1）原不等式等价于或或，‎ 得或 ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由方程可变形为，‎ 令，作出图象如下：‎ ‎ ‎ 于是由题意可得. ‎ ‎ ‎