高考理科数学全国2卷

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高考理科数学全国2卷

‎2004年高考试题全国卷2 ‎ 理科数学(必修+选修Ⅱ)‎ ‎(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知集合M={x|x2<4,N={x|x2-2x-3<0,则集合M∩N=‎ ‎(A){x|x<-2  (B){x|x>3}‎ ‎(C){x|-1<x<2 (D){x|2<x<3‎ ‎(2)=‎ ‎(A)   (B)1    (C)    (D)‎ ‎(3)设复数ω=-+i,则1+ω=‎ ‎(A)–ω   (B)ω2   (C)     (D)‎ ‎(4)已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为 ‎(A)(x+1)2+y2=1    (B)x2+y2=1   ‎ ‎(C)x2+(y+1)2=1    (D)x2+(y-1)2=1‎ ‎(5)已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(,0),则φ可以是 ‎(A)-   (B)      (C)-    (D)‎ ‎(6)函数y=-ex的图象 ‎(A)与y=ex的图象关于y轴对称     (B)与y=ex的图象关于坐标原点对称 ‎(C)与y=e-x的图象关于y轴对称    (D)与y=e-x的图象关于坐标原点对称 ‎(7)已知球O的半径为1,A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为,则球心O到平面ABC的距离为 ‎(A)    (B)    (C)    (D)‎ ‎(8)在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有 ‎(A)1条     (B)2条 (C)3条    (D)4条 ‎(9)已知平面上直线的方向向量,点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1,则=,其中=‎ ‎ (A)     (B)-   (C)2       (D)-2‎ ‎(10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数 ‎(A)(,)  (B)(,2)  (C)(,)  (D)(2,3)‎ ‎(11)函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为 ‎(A)    (B)    (C)      (D)2‎ ‎(12)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有 ‎(A)56个     (B)57个     (C)58个      (D)60个 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎(13)从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(14)设x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值是 .‎ ‎(15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .‎ ‎(16)下面是关于四棱柱的四个命题:‎ ‎ ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ‎②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ‎③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱 ‎④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱 其中,真命题的编号是    (写出所有真命题的编号).‎ 三、 解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17) (本小题满分12分)‎ 已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.‎ ‎(Ⅰ)求证:tanA=2tanB;‎ ‎(Ⅱ)设AB=3,求AB边上的高.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 已知8个球队中有3个弱队,以抽签方式将这8个球队分为A、B两组,每组4个.求 ‎ ‎(Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率;‎ ‎(Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).证明:‎ ‎(Ⅰ)数列{}是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)Sn+1=4an.‎ ‎(20)(本小题满分12分) .‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90o,AC=1,CB=,侧棱AA1=1‎ ‎,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD⊥平面BDM;‎ ‎(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎ 给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.‎ ‎(Ⅰ)设l的斜率为1,求与夹角的大小;‎ ‎(Ⅱ)设=,若∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.‎ ‎(22)(本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)设0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.‎ ‎2004年高考试题全国卷2 ‎ 理科数学(必修+选修Ⅱ)‎ ‎(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)‎ 答案:‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.‎ ‎(1)C (2)A (3)C (4)C (5)A (6)D ‎ ‎(7)B (8)B (9)D (10)B (11)B (12)C ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.‎ ‎(13)0.1,0.6,0.3 (14)5 (15)x2+y2=1 (16)②④‎ ‎17.(I)证明:∵sin(A+B)=,sin(A-B)=‎ ‎∴,∴.‎ ‎(II)解:∵=‎ 所以与夹角的大小为-arccos.‎ 解:(II)由题设知得:(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1),即 由 (2)得y22=λ2y12, ∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1……………………………………(3)‎ 联立(1)(3)解得x2=λ.依题意有λ>0.‎ ‎∴B(λ,2)或B(λ,-2),又F(1,0),‎ 得直线l的方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)‎ 当λ∈[4,9]时,l在y轴上的截距为或-‎ 由=,可知在[4,9]上是递减的,‎ ‎∴,--‎ 直线l在y轴上截距的变化范围是 ‎22.(I)解:函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0,解得x=0,当-10,当x>0时,(x)<0,又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值是0‎ ‎(II)证法一:g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.‎ 由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0),由题设0-.‎ 又 ‎ aa时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而,当x=a时,F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即00时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数,因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.‎
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