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文档介绍
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考:均值不等式专题 ◆知识梳理 1.常见基本不等式 , 若a>b>0,m>0,则 ; 若a,b同号且a>b则。 ; 2.均值不等式: 两个正数的均值不等式: 变形,,等。 3.最值定理:设 (1)如果x,y是正数,且积,则 时, (2)如果x,y是正数和,则 时, 4.利用均值不等式可以证明不等式,求最值、取值范围,比较大小等。 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:。 ◆课前热身 1. 已知,且,则的最大值为 . 2. 2. 若,则的最小值为 . 3. 已知:,且,则的最小值是 . 4. 4. 已知下列四个结论 ①当;②; ③的最小值为2;④当无最大值. 则其中正确的个数为 ◆考点剖析 一、基础题型。 1.直接利用均值不等式求解最值。 例1:(2010年高考山东文科卷第14题)已知,且满足,则xy的最大值为 。 2通过简单的配凑后,利用均值不等式求解最值。 例2:(2010年高考四川文科卷第11题)设,则的最小值是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 例3:已知0<x<,则y=2x-5x2的最大值为________. 例4: 已知,且,求的最大值 .(类似例5) 二、转化题型 1.和积共存的等式,求解和或积的最值。 例5:(2010年高考重庆卷第7题)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( ) A. 3 B. 4 C. D. 2.分式型函数()求解最值。 例6:(2010年高考江苏卷第14题)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是_________。 例7:(2010年高考全国Ⅰ卷第11题)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( ) (A) (B) (C) (D) 三、解决恒成立问题 例8:若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________. 变式训练:已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________. ◆课后强化 一、选择题。 1.已知ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是( ) A.+≥2 B.+≥-2 C.+≤-2 D.≥2 2.[2011·重庆卷] 若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( ) A.1+ B.1+ C.3 D.4 3.对一切正数m,不等式n<+2m恒成立,则常数n的取值范围为( ) A.(-∞,0) B.(-∞,4) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 4.[2011·陕西卷] 设00,b>0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是( ) A.ab=AG B.ab≥AG C.ab≤AG D.不能确定 6.设a、b、c都是正数,那么a+、b+、c+三个数( ) A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 7.若x、y、z均为正实数,则的最大值是( ) A. B. C.2 D.2 8.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( ) A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 9.设x,y∈R,且x+y=4,则5x+5y的最小值是( ) A.9 B.25 C.50 D.162 10.若logx+logy=8,则3x+2y的最小值为( ) A.4 B.8 C.4 D.8 二、 填空题。 1.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则P,Q,R的大小关系为________. 2.(2010年高考山东卷第14题)若对任意,恒成立,则的取值范围是 。 3.(2010年高考重庆文科卷第12题)已知,则函数的最小值为 4.(2010年高考浙江文科卷第15题)若正实数x,y 满足 ,则xy 的最小值是 。(变式:求2x+y的最小值为______) 5.下列函数中,y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号). ①y=x+(x>0);②y=;③y=ex+4e-x;④y=sinx+. 6. 设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是________. 7. 设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于________. 三、 解答题。 1.(13分)若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0. (1)求x2+y2的取值范围; (2)求证:xy≤2. 2.(12分)如图K37-1,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上. (1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式; (2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明. 5.在三角形ABC中,角A、B、C对边为a、b、c,且, (1) 求C; (2) 当三角形ABC面积最大时,求sin A 。 答案 ◆课前热身(略) ◆考点剖析 例1.解:因为x>0,y>0,所以(当且仅当,即x=6,y=8时取等号),于是, ,故xy的最大值位3. 例2.解:w = =≥2+2=4 当且仅当ab=1,a(a-b)=1时等号成立,如取a=,b=满足条件。 故选择答案D 例3. 1/5 例4.18 例5.解: 因为x>0,y>0,所以, 整理得 即,又, 等号当且仅当时成立,故选择答案B。 例6.解:设剪成的小正三角形的边长为,则 令,则 令,则 因为,所以,等号当且仅当t=4,即时成立。 所以最小值为8 故的最小值为8,S的最小值是。 例7. 例5图 解:如图所示:设PA=PB=, ∠APO=,则∠APB=,PO=, , ===, 令,则,令, 则 等号当且仅当,即时成立。 故.此时.,选择答案D。 例8. 变式:10 ◆课后强化 一、选择题。 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 二、填空。 1.P查看更多
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