高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用

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高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用

高考:均值不等式专题 ‎◆知识梳理 ‎1.常见基本不等式 ‎, ‎ 若a>b>0,m>0,则 ;‎ 若a,b同号且a>b则。‎ ‎;‎ ‎2.均值不等式:‎ 两个正数的均值不等式: 变形,,等。‎ ‎3.最值定理:设 ‎(1)如果x,y是正数,且积,则 时,‎ ‎(2)如果x,y是正数和,则 时,‎ ‎4.利用均值不等式可以证明不等式,求最值、取值范围,比较大小等。‎ 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;‎ ‎② 熟悉一个重要的不等式链:。‎ ‎ ◆课前热身 1. 已知,且,则的最大值为 .‎ 2. ‎2. 若,则的最小值为 .‎ 3. 已知:,且,则的最小值是 . ‎ 4. ‎4. 已知下列四个结论 ‎①当;②;‎ ‎③的最小值为2;④当无最大值.‎ 则其中正确的个数为 ‎ ‎◆考点剖析 一、基础题型。‎ ‎1.直接利用均值不等式求解最值。‎ 例1:(2010年高考山东文科卷第14题)已知,且满足,则xy的最大值为 。‎ ‎2通过简单的配凑后,利用均值不等式求解最值。‎ 例2:(2010年高考四川文科卷第11题)设,则的最小值是( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ 例3:已知0<x<,则y=2x-5x2的最大值为________.‎ 例4: 已知,且,求的最大值 .(类似例5)‎ 二、转化题型 ‎1.和积共存的等式,求解和或积的最值。‎ 例5:(2010年高考重庆卷第7题)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )‎ A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎2.分式型函数()求解最值。‎ 例6:(2010年高考江苏卷第14题)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是_________。‎ 例7:(2010年高考全国Ⅰ卷第11题)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 三、解决恒成立问题 例8:若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.‎ 变式训练:已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________.‎ ‎◆课后强化 一、选择题。‎ ‎1.已知ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是(  )‎ A.+≥2 B.+≥-2‎ C.+≤-2 D.≥2‎ ‎2.[2011·重庆卷] 若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=(  )‎ A.1+ B.1+ C.3 D.4‎ ‎3.对一切正数m,不等式n<+2m恒成立,则常数n的取值范围为(  )‎ A.(-∞,0) B.(-∞,4)‎ C.(4,+∞) D.[4,+∞)‎ ‎4.[2011·陕西卷] 设00,b>0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是(  )‎ A.ab=AG B.ab≥AG C.ab≤AG D.不能确定 ‎6.设a、b、c都是正数,那么a+、b+、c+三个数(  )‎ A.都不大于2 B.都不小于2‎ C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2‎ ‎7.若x、y、z均为正实数,则的最大值是(  )‎ A. B. C.2 D.2 ‎8.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有(  )‎ A.最大值为0 B.最小值为0‎ C.最大值为-4 D.最小值为-4‎ ‎9.设x,y∈R,且x+y=4,则5x+5y的最小值是(  )‎ A.9 B.25 C.50 D.162‎ ‎10.若logx+logy=8,则3x+2y的最小值为(  )‎ A.4 B.8 C.4 D.8 二、 填空题。‎ ‎1.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则P,Q,R的大小关系为________.‎ ‎2.(2010年高考山东卷第14题)若对任意,恒成立,则的取值范围是 。‎ ‎3.(2010年高考重庆文科卷第12题)已知,则函数的最小值为 ‎ ‎4.(2010年高考浙江文科卷第15题)若正实数x,y 满足 ,则xy 的最小值是 。(变式:求2x+y的最小值为______)‎ ‎5.下列函数中,y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号).‎ ‎①y=x+(x>0);②y=;③y=ex+4e-x;④y=sinx+.‎ 6. 设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是________.‎ 7. 设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于________.‎ 三、 解答题。‎ ‎1.(13分)若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0.‎ ‎(1)求x2+y2的取值范围;‎ ‎(2)求证:xy≤2.‎ ‎2.(12分)如图K37-1,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.‎ ‎(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;‎ ‎(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.‎ ‎5.在三角形ABC中,角A、B、C对边为a、b、c,且,‎ (1) 求C;‎ (2) 当三角形ABC面积最大时,求sin A 。‎ 答案 ‎◆课前热身(略)‎ ‎◆考点剖析 例1.解:因为x>0,y>0,所以(当且仅当,即x=6,y=8时取等号),于是,‎ ‎,故xy的最大值位3.‎ 例2.解:w ‎=‎ ‎=≥2+2=4‎ 当且仅当ab=1,a(a-b)=1时等号成立,如取a=,b=满足条件。‎ 故选择答案D 例3. 1/5 例4.18 ‎ 例5.解: 因为x>0,y>0,所以,‎ 整理得 ‎ 即,又,‎ 等号当且仅当时成立,故选择答案B。‎ 例6.解:设剪成的小正三角形的边长为,则 令,则 令,则 因为,所以,等号当且仅当t=4,即时成立。‎ 所以最小值为8‎ 故的最小值为8,S的最小值是。‎ 例7. 例5图 解:如图所示:设PA=PB=,‎ ‎∠APO=,则∠APB=,PO=,‎ ‎,‎ ‎===,‎ 令,则,令,‎ 则 等号当且仅当,即时成立。‎ 故.此时.,选择答案D。‎ 例8. 变式:10‎ ‎◆课后强化 一、选择题。‎ ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 二、填空。‎ ‎1.P
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