2008年湖北省高考数学试卷(理科)及解析

2008年湖北省高考数学试卷(理科)及解析

‎2008年湖北省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（　　）‎ A．（﹣15，12） B．0 C．﹣3 D．﹣11‎ ‎2．（5分）若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（　　）‎ A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件 ‎3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）函数的定义域为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） B．（﹣4，0）∪（0.1） C．[﹣4，0）∪（0，1] D．[﹣4，0）∪（0，1）‎ ‎5．（5分）将函数y=sin（x﹣θ）的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则θ的一个可能取值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（　　）‎ A．540 B．300 C．180 D．150‎ ‎7．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎8．（5分）已知m∈N*，a，b∈R，若，则a•b=（　　）‎ A．﹣m B．m C．﹣1 D．1‎ ‎9．（5分）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（　　）‎ A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 ‎10．（5分）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：‎ ‎①a1+c1=a2+c2；②a1﹣c1=a2﹣c2；③c1a2＞a1c2；④．‎ 其中正确式子的序号是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）设z1是复数，z2=z1﹣i1，（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是﹣1，则z2的虚部为 　　．‎ ‎12．（5分）在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为 　　．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2﹣6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为　　．‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{ax}的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=　　．‎ ‎15．（5分）观察下列等式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎，‎ 可以推测，当k≥2（k∈N*）时，=　　ak﹣2=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（12分）已知函数f（t）=．‎ ‎（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；‎ ‎（Ⅱ）求函数g（x）的值域．‎ ‎17．（12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．‎ ‎（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；‎ ‎（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．‎ ‎18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．‎ ‎19．（13分）如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|﹣|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．‎ ‎（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围．‎ ‎20．（12分）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为 ‎（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i﹣1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？‎ ‎（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．‎ ‎21．（14分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．‎ ‎（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2008年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 ‎【分析】先求出向量，然后再与向量进行点乘运算即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵=（1，﹣2）+2（﹣3，4）=（﹣5，6），‎ ‎=（﹣5，6）•（3，2）=﹣3，‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算．属基础题．‎ ‎2．（5分）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 ‎【分析】找出A，B，C之间的联系，画出韦恩图 ‎【解答】解：x∈A⇒x∈C，但是x∈C不能⇒x∈A，所以B正确．‎ 另外画出韦恩图，也能判断B选项正确 故选B．‎ ‎【点评】此题较为简单，关键是要正确画出韦恩图，再结合选项进行判断．‎ ‎3．（5分）‎ ‎【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．‎ ‎【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，‎ 所以根据球的体积公式知，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题．‎ ‎4．（5分）‎ ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有 ‎【分析】函数的定义域要求分母不为0，负数不能开偶次方，真数大于零．‎ ‎【解答】解：函数的定义域必须满足条件：‎ 故选D．‎ ‎【点评】不等式组的解集是取各不等式的解集的交集．‎ ‎5．（5分）‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题设中函数图象平移可得F，的解析式为，进而得到对称轴方程，把代入即可．‎ ‎【解答】解：平移得到图象F，的解析式为，‎ 对称轴方程，‎ 把代入得，令k=﹣1，‎ 故选A ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属基础题．‎ ‎6．（5分）‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．‎ ‎【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，‎ 分成1、1、3时，有C53•A33种分法，‎ 分成2、2、1时，有种分法，‎ 所以共有种方案，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．‎ ‎7．（5分）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．‎ ‎8．（5分）‎ ‎【考点】极限及其运算．菁优网版权所有 ‎【分析】通过二项式定理，由可得=b，结合极限的性质可知a=﹣1，b=m，由此可得a•b=﹣m．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=b，‎ 结合极限的性质可知，‎ ‎∴a=﹣1，b=m⇒a•b=﹣m 故选A．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理和极限的概念，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎9．（5分）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 ‎【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数．‎ ‎【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y﹣2）2=132，圆心（﹣1，2），半径r=13过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+2×15=32条．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题实际上是求弦长问题，容易出错的地方是：除最小最大弦长外，各有2条．‎ ‎10．（5分）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据图象可知a1＞a2，c1＞c2，进而根据基本不等式的性质可知a1+c1＞a2+c2；进而判断①④不正确．③正确；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2；‎ ‎【解答】解：如图可知a1＞a2，c1＞c2，‎ ‎∴a1+c1＞a2+c2；‎ ‎∴①不正确，‎ ‎∵a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|，‎ ‎∴a1﹣c1=a2﹣c2；②正确．‎ a1+c2=a2+c1‎ 可得（a1+c2）2=（a2+c1）2，‎ a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，‎ 即b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＞b2‎ 所以c1a2＞a1c2‎ ‎③正确；‎ 可得，④不正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）‎ ‎【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【分析】设出复数z1的代数形式，代入z2并化简为a+bi（a，b∈R）的形式，令实部为﹣1，可求虚部的值．‎ ‎【解答】解：设z1=x+yi（x，y∈R），则z2=x+yi﹣i（x﹣yi）‎ ‎=（x﹣y）+（y﹣x）i，故有x﹣y=﹣1，y﹣x=1．‎ 答案：1‎ ‎【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎12．（5分）‎ ‎【考点】余弦定理．菁优网版权所有 ‎【分析】利用余弦定理的变式化角为边，进行化简．‎ ‎【解答】解：由余弦定理，bccosA+cacosB+abcosC ‎=bc×+ca×+ab×‎ ‎=‎ 故应填 ‎【点评】考查利用余弦定理的变式变形，达到用已知来表示未知的目的．‎ 13． ‎（5分）‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 ‎【分析】先通过f（x）的解析式求出f（bx），建立等量关系，利用对应相等求出a，b，最后解一个一元二次方程即得．‎ ‎【解答】解：由题意知f（bx）=b2x2+2bx+a=9x2﹣6x+2‎ ‎∴a=2，b=﹣3．‎ 所以f（2x﹣3）=4x2﹣8x+5=0，‎ ‎△＜0，所以解集为∅．‎ 故答案为∅‎ ‎【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，函数思想和方程思想密切相关，相辅相成，为解决数学综合问题提供了思路和方法．‎ ‎14．（5分）‎ ‎【考点】等差数列的性质；对数的运算性质．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据等差数列{ax}的公差为2和a2+a4+a6+a8+a10=2进而可得到a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8，即可得到a1+…+a10=﹣6，，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：依题意a2+a4+a6+a8+a10=2，所以a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8‎ ‎∴‎ ‎⇒log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=﹣6‎ 故答案为：﹣6‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的性质和指数函数的运算法则．属基础题．‎ ‎15．（5分）‎ ‎【考点】归纳推理．菁优网版权所有 ‎【分析】观察每一个式子当k≥2时，第一项的系数发现符合，第二项的系数发现都是，第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以ak﹣2=0．‎ ‎【解答】解：由观察可知当k≥2时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，‎ 所以，第四项均为零，所以ak﹣2=0，‎ 故答案为，0．‎ ‎【点评】本题考查了归纳推理，由特殊到一般．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（12分）‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）将f（sinx），f（cosx）代入g（x），分子分母分别乘以（1﹣sinx），（1﹣cosx）去掉根号，再由x的范围去绝对值可得答案．‎ ‎（2）先由x的范围求出x+的范围，再由三角函数的单调性可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）‎ ‎=‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎=sinx+cosx﹣2‎ ‎=‎ ‎（Ⅱ）由，得 ‎∵sint在上为减函数，在上为增函数，‎ 又（当），‎ 即，‎ 故g（x）的值域为 ‎【点评】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．‎ ‎17．（12分）‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=k）=，可出分布列，再由期望、方差的定义求期望和方差；‎ ‎（2）若η=aξ+b，由期望和方差的性质Eη=aEξ+b，Dη=a2Dξ，解方程组可求出a和b．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（Ⅰ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4‎ 分布列为：‎ ‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴．．‎ ‎（Ⅱ）由Dη=a2Dξ，得a2×2.75=11，即 a=±2．又Eη=aEξ+b，所以 当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=﹣2；‎ 当a=﹣2时，由1=﹣2×1.5+b，得b=4．‎ ‎∴或即为所求．‎ ‎【点评】本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力．‎ ‎18．（12分）‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力．‎ ‎（1）若要证明AB⊥BC，可以先证明AB⊥平面BC1，由线面垂直的性质得到线线垂直．‎ ‎（2）要判断直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ的大小关系，可以先做出二面角的平面角，再根据三角函数的单调性进行解答．也可以根据（1）的结论，以以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1‎ 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量，求出两个角的正弦值，再根据三角函数的单调性解答．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，‎ 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得 AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，‎ 所以AD⊥BC．‎ 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 则AA1⊥底面ABC，‎ 所以AA1⊥BC．‎ 又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，‎ 又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=φ，‎ 于是在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，‎ 由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，‎ 解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AA1=a，AC=b，‎ AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），，‎ 于是，．‎ 设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z），‎ 则由．得．‎ 可取n=（0，﹣a，c），于是与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角．，，‎ 所以，‎ 于是由c＜b，得，‎ 即sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，‎ ‎【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．‎ 本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．‎ ‎19．（13分）‎ ‎【考点】轨迹方程；双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，由题意得|MA|﹣|MB|=|PA|﹣|PB|=﹣=2＜|AB|=4．由此可知曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，‎ 则A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得 ‎|MA|﹣|MB|=|PA|﹣|PB|‎ ‎=﹣‎ ‎=2＜|AB|=4．‎ ‎∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．‎ 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，‎ 则c=2，2a=2，∴a2=2，b2=c2﹣a2=2．‎ ‎∴曲线C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，‎ 得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴⇔．‎ ‎∴．②‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得 ‎|x1﹣x2|=．③‎ 当E、F在同一支上时 S△OEF=|S△ODF﹣S△ODE|=|OD|•||x1|﹣|x2||=|OD|•|x1﹣x2|；‎ 当E、F在不同支上时 S△OEF=S△ODF+S△ODE=|OD|•（|x1|+|x2|）=|OD|•|x1﹣x2|．‎ 综上得S△OEF=，于是由|OD|=2及③式，‎ 得S△OEF=．‎ 若△OEF面积不小于2，即，‎ 则有⇔k2≤2，解得．④‎ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为且k≠±1‎ ‎【点评】本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力 ‎20．（12分）‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围，注意实际问题x要取整．‎ ‎（2）一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期，则V（t）的最大值只能在（4，10）内达到，然后通过导数在给定区间上研究V（t）的最大值，最后注意作答．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）①当0＜t≤10时，，化简得t2﹣14t+40＞0，‎ 解得t＜4，或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．‎ ‎②当10＜t≤12时，V（t）=4（t﹣10）（3t﹣41）+50＜50，化简得（t﹣10）（3t﹣41）＜0，‎ 解得，又10＜t≤12，故10＜t≤12．‎ 综合得0＜t＜4，或10＜t≤12；‎ 故知枯水期为1月，2月，3月，4，11月，12月共6个月．‎ ‎（Ⅱ）（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在（4，10）内达到．‎ 由V′（t）=，‎ 令V′（t）=0，解得t=8（t=﹣2舍去）．‎ 当t变化时，V′（t）与V（t）的变化情况如下表：‎ t ‎（4，8）‎ ‎8‎ ‎（8，10）‎ V′（t）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ V（t）‎ 极大值 由上表，V（t）在t=8时取得最大值V（8）=8e2+50=108.32（亿立方米）．‎ 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 ‎【点评】本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力．‎ ‎21．（14分）‎ ‎【考点】等比关系的确定．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．‎ ‎（2）用数列an构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．‎ ‎（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾．‎ 所以{an}不是等比数列．‎ ‎（Ⅱ）解：因为bn+1=（﹣1）n+1[an+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（an﹣2n+14）‎ ‎=（﹣1）n•（an﹣3n+21）=﹣bn 又b1=﹣（λ+18），所以 当λ=﹣18，bn=0（n∈N+），此时{bn}不是等比数列：‎ 当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，‎ ‎∴（n∈N+）．‎ 故当λ≠﹣18时，数列{bn}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．‎ ‎∴λ≠﹣18，故知bn=﹣（λ+18）•（﹣）n﹣1，于是可得 Sn=﹣，‎ 要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，‎ 即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）‎ 得 ‎①‎ 当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，‎ ‎∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．‎ 于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．‎ 当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；‎ 当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）‎ ‎【点评】这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．‎ ‎　‎