高中数学基础知识重点归纳及经典高考压轴题型
第一篇章：高中数学基础知识重点归纳
第一部分 集合
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因
变量的取值？还是曲线上的点？… ；
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等
工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3．（1）含 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n－1；非空真子集的数为 2n－2；
（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况。
4． 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、
距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若 f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出
② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于 x∈[a,b]时，求 g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
⑵ 是奇函数 f(－x)=－f(x)； 是偶函数 f(－x)= f(x)
⑶奇函数 在原点有定义，则 ；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
① 在区间 上是增函数 当 时有 ；
② 在区间 上是减函数 当 时有 ；
⑵单调性的判定
① 定义法：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数），则称
函数 为周期函数， 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
(3)与周期有关的结论
或 的周期为 ；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： （ ；⑵指数函数： ；
⑶对数函数: ；⑷正弦函数: ；
⑸余弦函数： ；（6）正切函数： ；⑺一元二次函数： ；
⑻其它常用函数：
① 正比例函数： ；②反比例函数： ；③函数 ；
9．二次函数：
⑴解析式：
;BBAABABA =⇔=⇔⊆ φ=A
φ
22
22 babaab
+≤+≤
xa xsin xcos
)]([ xgfy = )(xgu = )(ufy =
)(xf ⇔ )(xf ⇔
)(xf 0)0( =f
)(xf M ,, 21 Mxx ∈∀⇔ 21 xx < 1 2( ) ( )f x f x<
)(xf M ,, 21 Mxx ∈∀⇔ 21 xx < 1 2( ) ( )f x f x>
)()( 21 xfxf −
x )()( xfTxf =+ T
)(xf T
π2:sin == Txy π2:cos == Txy π== Txy :tan
||
2:)cos(),sin( ω
πϕωϕω =+=+= TxAyxAy ||:tan ω
πω == Txy
)()( axfaxf −=+ )0)(()2( >=− axfaxf ⇒ )(xf a2
αxy = )R∈α )1,0( ≠>= aaay x
)1,0(log ≠>= aaxy a xy sin=
xy cos= xy tan= 02 =++ cbxax
)0( ≠= kkxy )0( ≠= kx
ky )0( >+= ax
axy
①一般式： ；②顶点式： ， 为顶点；
③零点式： 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ) ， ———左“+”右“－”；
ⅱ) ———上“+”下“－”；
② 对称变换：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ ； ⅳ ；
③ 翻转变换：
ⅰ) ———右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉）；
ⅱ) ———上不动，下向上翻（| |在 下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点
仍在图像上；
（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称
中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；
注：①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（0,0）的对称曲线 C2 方程为：f(－x,－y)=0;
②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为：f(－x, y)=0;
曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为：f(x, －y)=0;
曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为：f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线 x= 对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,则 y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
13．导数
⑴导数定义：f(x)在点 x0 处的导数记作 ；
⑵常见函数的导数公式: ① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
⑷（理科）复合函数的导数：
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？
②利用导数判断函数单调性：
① 是增函数；② 为减函数；③ 为常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数 ；ⅱ）求方程 的根；ⅲ）列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。
2．三角函数定义:角α中边上任意一 P 点为 ,设 则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
5．⑴ 对称轴： ；对称中心： ；
⑵ 对称轴： ；对称中心： ；
cbxaxxf ++= 2)( khxaxf +−= 2)()( ),( kh
))(()( 21 xxxxaxf −−=
cbxaxy ++= 2
a
bx 2
−=
−−
a
bac
a
b
4
4
2
2
，
)()( axfyxfy ±=→= )0( >a
)0(,)()( >±=→= kkxfyxfy
)(xfy = → )0,0( )( xfy −−= )(xfy = → =0y )(xfy −=
)(xfy = → =0x )( xfy −= )(xfy = → =xy ( )x f y=
|)(|)( xfyxfy =→= )(xf y
|)(|)( xfyxfy =→= )(xf x
)(xfy =
)(xfy = )(xgy = )(xfy =
)(xgy =
2
ba +
0)( =xf
x
xfxxfxfy
xxx ∆
−∆+=′=′
→∆=
)()(lim)( 00
000
'C 0= 1')( −= nn nxx xx cos)(sin ' =
xx sin)(cos ' −= aaa xx ln)( ' = xx ee =')( axxa ln
1)(log ' =
xx 1)(ln ' =
;)(;)(;)( 2v
vuvu
v
uvuvuuvvuvu
′−′=′′+′=′′±′=′±
;xux uyy ′⋅′=′
)(0)( xfxf ⇒>′ )(0)( xfxf ⇒<′ )(0)( xfxf ⇒≡′
)(xf ′ 0)( =′ xf
π 180=
1801
π= 1 )180( π= '1857≈
Rl θ= RlRS 2
1
2
1 2 == θ
),( yx rOP =|| ,cos,sin r
x
r
y == αα
x
y=αtan
)sin( ϕω += xAy 2x k
πω ϕ π+ = + ))(0,( Zkk ∈−
ω
ϕπ
)cos( ϕω += xAy x kω ϕ π+ = ))(0,2( Zk
k
∈
−+
ω
ϕππ
6．同角三角函数的基本关系： ；
7．三角函数的单调区间：
的递增区间是 ，递减区间是
； 的递增区间是 ，递减区间是
， 的递增区间是 ， 的递减区间是
。
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
② ③ 。
9．二倍角公式：① ；
② ；③ 。
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （ 是 外接圆直径 ）
注：① ；② ；③
。
⑵余弦定理： 等三个；
等三个。
11。几个公式:
⑴三角形面积公式： ；
⑵内切圆半径 r= ；外接圆直径 2R=
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧= ；③体积：V=S 底 h
⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧= ；③体积：V= S 底 h：
⑶台体：①表面积：S=S 侧+S 上底 S 下底;②侧面积：S 侧= ;③体积：V= （S+ ）
h；
⑷球体：①表面积：S= ；②体积：V= 。
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理 4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:
5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）
点到平面的距离：①等体积法；②向量法： 。
6．结论：
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a，b，c，则对角线长为 ，全面积为
2ab+2bc+2ca，体积 V=abc。
⑵正方体的棱长为 a，则对角线长为 ，全面积为 6a2，体积 V=a3。
⑶长方体或正方体的外接球直径 2R 等于长方体或正方体的对角线长。
⑷正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的：
xx
xxx tancos
sin;1cossin 22 ==+
xy sin=
+−
2222
ππππ kk ， )( Zk ∈
++
2
3222
ππππ kk ，
)( Zk ∈ xy cos= [ ]πππ kk 22 ，− )( Zk ∈ [ ]πππ +kk 22 ，
)( Zk ∈ tgxy =
+−
22
ππππ kk ， )( Zk ∈ ctgxy =
( )πππ +kk ， )( Zk ∈
;sincoscossin)sin( βαβαβα ±=±
;sinsincoscos)cos( βαβαβα =± βα
βαβα
tantan1
tantan)tan(
±=±
ααα cossin22sin =
ααααα 2222 sin211cos2sincos2cos −=−=−= α
αα
2tan1
tan22tan −=
2(sin cos ) 1 2sin cos 1 sin 2α α α α α± = ± = ±
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
=== R2 ABC∆
CBAcba sin:sin:sin:: = CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ===
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin ++
++===
Abccba cos2222 −+=
bc
acbA 2cos
222 −+=
1 1 sin2 2ABCS ah ab C∆ = =
cba
S ABC
++
∆2 ;sinsinsin C
c
B
b
A
a ==
rhπ2
rlπ
3
1
lrr )( '+π
3
1 '' SSS +
24 Rπ 3
3
4 Rπ
⇒
cos | cos , |a bθ = < >
sin | cos , |AB nθ = < >
||
||
n
nABd
⋅=
2 2 2a b c+ +
3a
a
① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： 。
第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；
⑷两点式： ；⑸一般式： ，（A，B 不全为 0）。
2．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
3．两条直线的位置关系：
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
有斜率
已知 l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则 l1 ⊥l2 的充要条件是 A1A2+B1B2=0。
4．几个公式
⑴设 A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC 的重心 G：（ ）；
⑵点 P（x0,y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离： ；
⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 ；
5．圆的方程：
⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2－4AF>0；
6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（ 表示点到圆心的距离）
① 点在圆上；② 点在圆内；③ 点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离）
① 相切；② 相交；③ 相离。
⑶圆与圆的位置关系：（ 表示圆心距， 表示两圆半径，且 ）
① 相离；② 外切；③ 相交；
④ 内切；⑤ 内含。
8、直线与圆相交所得弦长
第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆： ；
⑵双曲线： ；⑶抛物线：|MF|=d
2．结论
⑴焦半径：①椭圆： （e 为离心率）； （左“+”右“-”）；
②抛物线：
⑵弦长公式：
注：⑴抛物线： ＝x1+x2+p；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线： ；②抛物线：
2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （ 同时大于 0 时表示椭圆，
时表示双曲线）；当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大；
⑷双曲线中的结论：
①双曲线 （a>0,b>0）的渐近线： ；
②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0）；
③双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直；
⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？
ah 3
6= a2
2 a12
6 a4
6
)( xxkyy −=− bkxy += 1=+
b
y
a
x
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
−
−=−
−
0=++ CByAx
222
111
:
:
bxkyl
bxkyl
+=
+=
21,21 bbkk ≠= 121 −=⋅ kk 21,ll
3,3
321321 yyyxxx ++++
22
00
BA
CByAxd
+
++=
22
21
BA
CCd +
−=
222 )()( rbyax =−+− 222 ryx =+
022 =++++ FEyDxyx )0422 >−+ FED
⇔
d
⇔= Rd ⇔< Rd ⇔> Rd
d
⇔= Rd ⇔< Rd ⇔> Rd
d rR, rR >
⇔+> rRd ⇔+= rRd ⇔+<<− rRdrR
⇔−= rRd ⇔−<< rRd0
2 2| | 2AB r d= −
|)|2(,2|||| 2121 FFaaMFMF >=+
|)|2(,2|||||| 2121 FFaaMFMF <=−
0201 , exaPFexaPF −=+=
20
pxPF +=
]4))[(1(1 21
2
21
2
12
2 xxxxkxxkAB −++=−⋅+=
AB
a
b 22
122 =+ nymx nm,
0
=x2+y1y2；
注：①|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；
① a·b 的几何意义：a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。
⑶cos= ；
⑷三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线 ；
（理科）P，A，B，C 四点共面 。
第八部分 数列
1．定义：
⑴等差数列
；
⑵等比数列
2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前 n 项和
性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 时 aman=apaq
③ 成 AP ③ 成 GP
④ 成 AP, ④ 成 GP,
3．数列通项的求法：
⑴定义法（利用 AP,GP 的定义）；⑵累加法（ 型）；⑶公式法：
⑷累乘法（ 型）；⑸构造法（ 型）；
⑺间接法（例如： ）；⑻（理科）数学归纳法。
4．前 项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。
5．等差数列前 n 项和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分 不等式
1．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②变形， 。
2．绝对值不等式：
3．不等式的性质：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；
；⑷ ； ；
=−
−=
21
21
xx
yyk AB
⇔ λ )R∈λ ⇔
⇔ ⇔
|||| ba
ba ⋅
⇔ x y 1OP xOA yOB= + + = 且
⇔ , x y z 1OP xOA yOB zOC= + + + + = 且
*),2(2( 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn ∈≥+=⇔=−⇔ −++ 为常数）｝｛
BnAnsbkna nn +=⇔+=⇔ 2
N)n2,(n)0(} 1n1-n
2
n
1n
n ∈≥⋅=⇔≠=⇔ +
+ aaaqqa
aa
n
｛
dnaan )1(1 −+= 1
1
−= n
n qaa
dnnnaaanS n
n 2
)1(
2
)(
1
1 −+=+=
q
qaa
q
qaSq
naSq
n
n
n
n
−
−=
−
−=≠
==
1
1
)1(1.2
;1.1
1
1
1
时，
时，
,,, 232 kkkkk SSSSS −− ,,, 232 kkkkk SSSSS −−
,,, 2mkmkk aaa ++ mdd =' ,,, 2mkmkk aaa ++
mqq ='
nnn caa =−+1
n
n
n ca
a =+1 bkaa nn +=+1
4114
1
11 =−⇒=−
−
−−
nn
nnnn aaaaaa
n
≥
≤
≤
≥
++ 0
0
0
0
11 n
n
n
n
a
a
a
a 或
22
22 babaab
+≤+≤
2)2(
22
2 babaab
+≤+≤
|||||||||||| bababa +≤±≤−
abba <⇔> cacbba >⇒>> , cbcaba +>+⇔> dcba >> ,
dbca +>+⇒ bdaccba >⇒>> 0, bcaccba <⇒<> 0, ,0>> ba
an=
S1 (n=1)
Sn－Sn-1 (n≥2)
;⑸ ;⑹
第十部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0；⑵z=a+bi 是虚数 b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b≠0(a,b∈R) z＋ ＝0（z≠0） z2<0；
⑷a+bi=c+di a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 =
(z2≠0) ;
3．几个重要的结论：
；⑶ ；⑷
⑸ 性质：T=4； ；
4．模的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ 。
第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件 B 包含事件 A：事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作 ；
⑵事件 A 与事件 B 相等：若 ，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生或 B 发生，记作 （或 ）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生且 B 发生，记作 （或 ） ；
⑸事件 A 与事件 B 互斥：若 为不可能事件（ ），则事件 A 与互斥；
﹙6﹚对立事件： 为不可能事件， 为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型： ；
⑶几何概型： ；
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n
的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将
总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数 ；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差 = ；
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：⑴ >0 时，变量 正相关； <0 时，变量 负相关；⑵① 越接近于 1，两个变
量的线性相关性越强；② 接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4．回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和：
；
⑵残差： ；⑶残差平方和： ；
0c d> >
ac bd⇒ > )(00 ∗∈>>⇒>> Nnbaba nn ⇒>> 0ba )( ∗∈> Nnba nn
⇔ ⇔ z ⇔ ⇔
⇔ ⇔ z ⇔
⇔
=−+
−+
))((
))((
dicdic
dicbia
idc
adbc
dc
bdac
2222 +
−++
+
222
2
2
1
2
21
2
21 )2();(2)1( zzzzzzzzzz ==⋅+=−++ ii 2)1( 2 ±=± ;1
1;1
1 ii
iii
i −=+
−=−
+
i iiiiii nnnn −=−=== +++ 3424144 ,1,,1 ;03424144 =+++ +++ nnn iiii
|||||| 2121 zzzz =
||
||||
2
1
2
1
z
z
z
z = nn zz |||| =
BA ⊆
ABBA ⊆⊆ ,
BA ∪ BA +
BA ∩ AB
BA ∩ φ=∩ BA
BA ∩ BA ∪
基本事件的总数
包含的基本事件的个数AAP =)(
等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的
积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP =)(
N
n
l
×
N
n
∑
=
=+⋅⋅⋅++=
n
i
in xnxxxnx
1
21
1)(1
])()()[(1 22
2
2
1
2 xxxxxx
n
S n −+⋅⋅⋅+−+−= 2
1
)(1 xxn
n
i
i −= ∑
=
])()()[(1 22
2
2
1 xxxxxxnS n −+⋅⋅⋅+−+−= 2
1
)(1 xxn
n
i
i −∑
=
∑ ∑
∑
= =
=
−−
−−
=
n
i
n
i
ii
n
i
ii
yyxx
yyxx
r
1 1
22
1
)()(
))((
r yx, r yx, || r
|| r
∑
=
−
n
i
i yy
1
2)(
∧∧
−= iii yye 2
1
)(∑
=
∧
−
n
i
yiyi
⑷回归平方和： － ；⑸相关指数 。
注：① 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
② 越接近于 1，，则回归效果越好。
5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十三部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；
③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0? 否 求 n 除以 i 的余数
输入 n 是
n 不是质素 n 是质数 i=i+1
i=2
i n 或 r=0?否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while 型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式
赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体 1
END IF ELSE
语句体 2
END IF
⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1． 四种命题：
⑴原命题：若 p 则 q； ⑵逆命题：若 q 则 p；
⑶否命题：若 p 则 q； ⑷逆否命题：若 q 则 p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
2．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；
（2）利用集合间的包含关系：例如：若 ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；
若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；
3．逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 p q； p q p q p q p
⑵或（or）：命题形式 p q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命题形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用 表示；
全称命题 p： ； 全称命题 p 的否定 p： 。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用 表示；
特称命题 p： ； 特称命题 p 的否定 p： ；
第十五部分 推理与证明
1．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、
类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推
理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特
征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
∑
=
−
n
i
i yy
1
2)( 2
1
)(∑
=
∧
−
n
i
yiyi
∑
∑
=
=
∧
−
−
−=
n
i
ii
n
i
ii
yy
yy
R
1
2
1
2
2
)(
)(
1
2R
2R
2K
≥
¬ ¬ ¬ ¬
BA ⊆
∧ ∧ ∨ ¬
∨
¬
∀
)(, xpMx ∈∀ ¬ )(, xpMx ¬∈∃
∃
)(, xpMx ∈∃ ¬ )(, xpMx ¬∈∀
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；
⑵小前提---------所研究的特殊情况； ⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明 ⑴综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列
的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由
因导果法。
⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证
明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫
分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而
证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数 有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当 取第一个值 是命题成立；
⑵假设当 命题成立，证明当 时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
② 的取值视题目而定，可能是 1，也可能是 2 等。
第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排列
=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式： （m≤n）, ；
⑶组合数性质： ；
⑷二项式定理：
①通项： ②注意二项式系数与系数的区别；
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若 n 为偶数，中间一项（第 ＋1 项）二项式系
数最大；若 n 为奇数，中间两项（第 和 ＋1 项）二项式系数最大；
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX＝ ;
注： ；
③二项分布（独立重复试验）：
若 X～B（n,p）,则 EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。
⑵条件概率：称 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
注：①0 P（B|A） 1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体的
平均数（期望值）与标准差；
（6）正态曲线的性质：
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线 x＝ 对称；
③曲线在 x＝ 处达到峰值 ；④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
n
n 0n
),( 0
∗∈≥= Nknkkn 1+= kn
0n
0n
m
nA )!(
!
mn
n
− n
nA
123)2()1(
)1()1(
! ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅
−−⋅⋅⋅−⋅==
mmm
mnnn
m
AC
m
nm
n 10 == n
nn CC
m
n
m
n
m
n
mn
n
m
n CCCCC 1
1; +
−− =+=
)()( 1110 ∗−− ∈+++++=+ NnbCbaCbaCaCba nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
);,...,2,1,0(1 nrbaCT rrnr
nr == −
+
2
n
2
1+n
2
1+n
;2;2 13120210 −=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++ n
nnnn
nn
nnnn CCCCCCCC
⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+−+− nn pEXxpEXxpEXx 2
2
2
21
2
1 )()()(
DXabaXDbaEXbaXE 2)(;)( =++=+
knkk
n ppCkXP −−== )1()(
)(
)()|( AP
ABPABP =
≤ ≤
,,
2
1)( 2
2
2
)(
Rxexf
x
∈=
−−
σ
µ
σπ
σµ,
µ
µ
πσ 2
1
① 当 一定时，曲线随 质的变化沿 x 轴平移；
② 当 一定时，曲线形状由 确定： 越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P =0.6826；P =0.9544
P =0.9974
第二篇章：经典训练题型及答案 （高考压轴题型）
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：
（3）德摩根定律：
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的
唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10. 如何求复合函数的定义域？
义域是_____________。
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
σ µ
µ σ σ
σ
)( σµσµ +≤<− x )22( σµσµ +≤<− x
)33( σµσµ +≤<− x
{ } { } { }如：集合 ， ， ， 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C= = = = = =| lg | lg ( , )| lg
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。∅
{ } { }如：集合 ，A x x x B x ax= − − = = =| |2 2 3 0 1
若 ，则实数 的值构成的集合为B A a⊂
（答： ， ， ）−
1 0 1
3
{ }（ ）集合 ， ，……， 的所有子集的个数是 ；1 21 2a a an
n
（ ）若 ， ；2 A B A B A A B B⊆ ⇔ = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B = =，
如：已知关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，求实数x ax
x a M M M a
−
− < ∈ ∉5 0 3 52
( )
（∵ ，∴ ·
∵ ，∴ ·
， ， ）
3 3 5
3 0
5 5 5
5 0
1 5
3 9 25
2
2
∈ −
− <
∉ −
− ≥
⇒ ∈
M a
a
M a
a
a
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ，“且” 和( ) ( )∨ ∧
“非”( ).¬
若 为真，当且仅当 、 均为真p q p q∧
若 为真，当且仅当 、 至少有一个为真p q p q∨
若 为真，当且仅当 为假¬p p
( )
( )例：函数 的定义域是y
x x
x
=
−
−
4
3 2lg
( ) ( ) ( )（答： ， ， ， ）0 2 2 3 3 4
[ ]如：函数 的定义域是 ， ， ，则函数 的定f x a b b a F(x f x f x( ) ) ( ) ( )> − > = + −0
[ ]（答： ， ）a a−
( )如： ，求f x e x f xx+ = +1 ( ).
12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解 x；②互换 x、y；③注明定义域）
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
∴a 的最大值为 3）
16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
令 ，则t x t= + ≥1 0
∴x t= −2 1
∴f t e tt( ) = + −−2 1 2 1
( )∴f x e x xx( ) = + − ≥−2 1 2 1 0
( )
( )如：求函数 的反函数f x
x x
x x
( ) =
+ ≥
− <
1 0
02
( )
( )（答： ）f x
x x
x x
− =
− >
− − <
1 1 1
0
( )
③设 的定义域为 ，值域为 ， ， ，则y f(x) A C a A b C f(a) = b f 1= ∈ ∈ ⇔ =− ( )b a
[ ] [ ]∴ = = = =− − −f f a f b a f f b f a b1 1 1( ) ( ) ( ) ( )，
[ ]（ ， ，则
（外层） （内层）
y f u u x y f x= = =( ) ( ) ( )ϕ ϕ
[ ] [ ]当内、外层函数单调性相同时 为增函数，否则 为减函数。）f x f xϕ ϕ( ) ( )
( )如：求 的单调区间y x x= − +log 1
2
2 2
（设 ，由 则u x x u x= − + > < <2 2 0 0 2
( )且 ， ，如图：log 1
2
21 1u u x↓ = − − +
u
O 1 2 x
当 ， 时， ，又 ，∴x u u y∈ ↑ ↓ ↓( ] log0 1 1
2
当 ， 时， ，又 ，∴x u u y∈ ↓ ↓ ↑[ ) log1 2 1
2
( )在区间 ， 内，若总有 则 为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x'( ) ( )≥ 0
零，不影响函数的单调性），反之也对，若 呢？f x'( ) ≤ 0
[ )如：已知 ，函数 在 ， 上是单调增函数，则 的最大a f x x ax a> = − + ∞0 13( )
（令f x x a x a x a'( ) = − = +
−
≥3 3 3 3 02
则 或x a x a≤ − ≥
3 3
由已知 在 ， 上为增函数，则 ，即f x a a( ) [ )1 3 1 3+ ∞ ≤ ≤
若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( )− = − ⇔ ⇔
若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f x f x y( ) ( ) ( )− = ⇔ ⇔
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函
数与奇函数的乘积是奇函数。
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T 是一个周期。）
如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗？
注意如下“翻折”变换：
（ ）若 是奇函数且定义域中有原点，则 。2 f(x) f(0) 0=
如：若 · 为奇函数，则实数f x a a a
x
x( ) = + −
+ =2 2
2 1
（∵ 为奇函数， ，又 ，∴f x x R R f( ) ( )∈ ∈ =0 0 0
即 · ，∴ ）a a a2 2
2 1 0 1
0
0
+ −
+ = =
又如： 为定义在 ， 上的奇函数，当 ， 时， ，f x x f x
x
x( ) ( ) ( ) ( )− ∈ = +1 1 0 1 2
4 1
( )求 在 ， 上的解析式。f x( ) −1 1
( ) ( )（令 ， ，则 ， ，x x f x
x
x
∈ − − ∈ − = +
−
−1 0 0 1 2
4 1( )
又 为奇函数，∴f x f x
x
x
x
x( ) ( ) = − + = − +
−
−
2
4 1
2
1 4
( )
又 ，∴
，
，
）f f x
x
x
x
x
x
x
x
( ) ( )
( )
0 0
2
4 1
1 0
0
2
4 1 0 1
= =
− +
∈ −
=
+ ∈
( )（若存在实数 （ ），在定义域内总有 ，则 为周期T T f x T f x f x≠ + =0 ( ) ( )
( )如：若 ，则f x a f x+ = − ( )
（答： 是周期函数， 为 的一个周期）f x T a f x( ) ( )= 2
( )又如：若 图象有两条对称轴 ，f x x a x b( ) = = ⇔
即 ，f a x f a x f b x f b x( ) ( ) ( ) ( )+ = − + = −
则 是周期函数， 为一个周期f x a b( ) 2 −
f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称−
f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称−
f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称− −
f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称− =1
f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2 − =
f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 ， 对称− −2 0
将 图象 左移 个单位
右移 个单位
y f x a a
a a
y f x a
y f x a
= > →
>
= +
= −( ) ( )
( )
( )
( )
0
0
上移 个单位
下移 个单位
b b
b b
y f x a b
y f x a b
( )
( )
( )
( )
> →
>
= + +
= + −
0
0
f x f x
f x f x
( ) ( )
( ) (| |)
→
→
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
的双曲线。
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
( )如：f x x( ) log= +2 1
( )作出 及 的图象y x y x= + = +log log2 21 1
y
y=log2x
O 1 x
(k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
( )（ ）一次函数：1 0y kx b k= + ≠
( ) ( )（ ）反比例函数： 推广为 是中心 ，2 0 0y k
x k y b k
x a k O a b= ≠ = + − ≠ '( )
( )（ ）二次函数 图象为抛物线3 0 2
4
4
2
2 2
y ax bx c a a x b
a
ac b
a
= + + ≠ = +
+ −
顶点坐标为 ， ，对称轴− −
= −b
a
ac b
a x b
a2
4
4 2
2
开口方向： ，向上，函数a y ac b
a
> = −
0 4
4
2
min
a y ac b
a
< = −
0 4
4
2
，向下， max
ax bx c x x y ax bx c x2
1 2
20 0+ + = > = + +， 时，两根 、 为二次函数 的图象与 轴∆
的两个交点，也是二次不等式 解集的端点值。ax bx c2 0 0+ + > <( )
如：二次方程 的两根都大于ax bx c k b
a k
f k
2 0
0
2
0
+ + = ⇔
≥
− >
>
∆
( )
y
(a>0)
O k x1 x2 x
一根大于 ，一根小于k k f k⇔ <( ) 0
( )（ ）指数函数： ，4 0 1y a a ax= > ≠
( )（ ）对数函数 ，5 0 1y x a aa= > ≠log
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20. 你在基本运算上常出现错误吗？
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，
导数法等。）
如求下列函数的最值：
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？
y
y=ax(a>1)
(01)
1
O 1 x
(0
y
O x
− k
k
指数运算： ，a a a a ap
p
0 1 0 1 0= ≠ = ≠−( () )
a a a a
a
a
m
n mn
m
n
mn
= ≥ = >−
( (0 1 0) )，
( )对数运算： · ，log log loga a aM N M N M N= + > >0 0
log log log log loga a a a
n
a
M
N M N M n M= − =， 1
对数恒等式：a xa xlog =
对数换底公式： log log
log log loga
c
c
a
n
ab b
a b n
m bm= ⇒ =
如：（ ） ， 满足 ，证明 为奇函数。1 x R f x f x y f x f y f x∈ + = +( ) ( ) ( ) ( ) ( )
（先令 再令 ，……）x y f y x= = ⇒ = = −0 0 0( )
（ ） ， 满足 ，证明 是偶函数。2 x R f x f xy f x f y f x∈ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]（先令 ·x y t f t t f t t= = − ⇒ − − =( )( ) ( )
∴f t f t f t f t( ) ( ) ( ) ( )− + − = +
∴ ……）f t f t( ) ( )− =
( )[ ]（ ）证明单调性： ……3 2 2 1 2f x f x x x( ) = − + =
（ ）1 2 3 13 4y x x= − + −
（ ）2 2 4
3
y x
x
= −
+
（ ） ，3 3 2
3
2
x y x
x
> = −
[ ]( )（ ） 设 ， ，4 4 9 3 02y x x x= + + − = ∈cosθ θ π
（ ） ， ，5 4 9 0 1y x x x= + ∈( ]
（ · ， · · ）扇l l= = =α αR S R R1
2
1
2
2
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
O R
1 弧度
R
sin cos tanα α α= = =MP OM AT， ，
y
T
A x
α
B S
O M
P
如：若 ，则 ， ， 的大小顺序是− < <π θ θ θ θ
8 0 sin cos tan
又如：求函数 的定义域和值域。y x= − −
1 2 2cos
π
（∵ ）1 2 2 1 2 0− −
= − ≥cos sin
π
x x
∴ ，如图：sin x ≤ 2
2
( )∴ ，2 5
4 2 4 0 1 2k x k k Z yπ π π π− ≤ ≤ + ∈ ≤ ≤ +
sin cosx x≤ ≤1 1，
y
x
O− π
2
π
2
π
y tgx=
对称点为 ， ，k k Z
π
2 0
∈
（x，y）作图象。
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
( )y x k k k Z= − +
∈sin 的增区间为 ，2 2 2 2
π π π π
( )减区间为 ，2 2 2 3
2k k k Zπ π π π+ +
∈
( ) ( )图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Zπ π π
0 2
= + ∈
[ ] ( )y x k k k Z= + ∈cos 的增区间为 ，2 2π π π
[ ] ( )减区间为 ，2 2 2k k k Zπ π π π+ + ∈
( )图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Zπ π π+
= ∈
2 0
y x k k k Z= − +
∈tan 的增区间为 ，π π π π
2 2
( ) ( )[ ]26. y = Asin x +正弦型函数 的图象和性质要熟记。 或ω ϕ ω ϕy A x= +cos
（ ）振幅 ，周期1 2| | | |A T = π
ω
( )若 ，则 为对称轴。f x A x x0 0= ± =
( ) ( )若 ，则 ， 为对称点，反之也对。f x x0 00 0=
（ ）五点作图：令 依次为 ， ， ， ， ，求出 与 ，依点2 0 2
3
2 2ω ϕ π π π πx x y+
（ ）根据图象求解析式。（求 、 、 值）3 A ω ϕ
如图列出
ω ϕ
ω ϕ π
( )
( )
x
x
1
2
0
2
+ =
+ =
解条件组求 、 值ω ϕ
( )∆正切型函数 ，y A x T= + =tan | |
ω ϕ π
ω
如： ， ， ，求 值。cos x x x+
= − ∈
π π π
6
2
2
3
2
（∵ ，∴ ，∴ ，∴ ）π π π π π π π π< < < + < + = =x x x x3
2
7
6 6
5
3 6
5
4
13
12
如：函数 的值域是y x x= +sin sin| |
[ ] [ ]（ 时， ， ， 时， ，∴ ， ）x ≥ = ∈ − < = ∈ −0 2 2 2 0 0 2 2y x x y ysin
（ ）点 （ ， ） ，
平移至
（ ， ），则1 P x y a h k P x y x x h
y y k
→= → = +
= +
( ) ' ' ' '
'
（ ）曲线 ， 沿向量 ， 平移后的方程为 ，2 0 0f x y a h k f x h y k( ) ( ) ( )= = − − =
→
如：函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的y x y x= −
− =2 2 4 1sin sin
π
图象？
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函
数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（ 横坐标伸长到原来的 倍y x y x= −
− → =
−
−2 2 4 1 2 2 1
2 4 12sin sin
π π
= −
− → = − → =2 4 1 4 2 1 21sin sin sinx y x y x
π
π左平移 个单位 上平移 个单位
纵坐标缩短到原来的 倍
）
1
2 → =y xsin
如： · ·1 4
2 2 2 2= + = − = = =sin cos sec tan tan cot cos sec tanα α α α α α α α π
= = =sin cos
π
2 0 ……称为 的代换。1
“ · ”化为 的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k
π α α
2
±
( )如： cos tan sin9
4
7
6 21
π π π+ −
+ =
又如：函数 ，则 的值为y y= +
+
sin tan
cos cot
α α
α α
( )
( )（ ，∵ ）y =
+
+
= +
+ > ≠
sin sin
cos
cos cos
sin
sin cos
cos sin
α α
α
α α
α
α α
α α α
2
2
1
1 0 0
( )sin sin cos cos sin sin sin cosα β α β α β α β α α α± = ± = → =令 2 2
( )cos cos cos sin sin cos cos sinα β α β α β α β α α α± = = → = −
令 2 2 2
( )tan tan tan
tan tan
α β α β
α β± = ±
1 ·
= − = − ⇒2 1 1 22 2cos sinα α
tan tan
tan2 2
1 2
α α
α= −
cos cos
sin cos
2
2
1 2
2
1 2
2
α α
α α
= +
= −
( )a b a b b
asin cos sin tanα α α ϕ ϕ+ = + + =2 2 ，
sin cos sinα α α π+ = +
2 4
sin cos sinα α α π+ = +
3 2 3
( )（ ）角的变换：如 ， ……1 2 2 2
β α β α α β α β α β= + − + = −
− −
( ) ( )如：已知 ， ，求 的值。sin cos
cos tan tan
α α
α α β β α
1 2 1 2
3 2− = − = − −
（由已知得： ，∴sin cos
sin
cos
sin tan
α α
α
α
α α
2 2 1 1
22
= = =
( )又 tan β α− = 2
3
( ) ( )[ ] ( )
( )∴ · ·
）tan tan tan tan
tan tan
β α β α α β α α
β α α− = − − = − −
+ − =
−
+
=2 1
2
3
1
2
1 2
3
1
2
1
8
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34. 不等式的性质有哪些？
答案：C
35. 利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
余弦定理：a b c bc A A b c a
bc
2 2 2
2 2 2
2 2
= + − ⇒ = + −
cos cos
正弦定理： a
A
b
B
c
C R
a R A
b R B
c R Csin sin sin
sin
sin
sin
= = = ⇔
=
=
=
2
2
2
2
S a b C∆ = 1
2
· sin
∵ ，∴A B C A B C+ + = + = −π π
( )∴ ，sin sin sin cosA B C A B C+ = + =
2 2
如 中，∆ABC A B C2 2 2 12sin cos
+ + =
（ ）求角 ；1 C
（ ）若 ，求 的值。2 2 2 22 2
2
a b c A B= + −cos cos
( )（（ ）由已知式得：1 1 2 1 12− + + − =cos cosA B C
又 ，∴A B C C C+ = − + − =π 2 1 02cos cos
∴ 或 （舍）cos cosC C= = −1
2 1
又 ，∴0 3
< < =C Cπ π
（ ）由正弦定理及 得：2 1
2
2 2 2a b c= +
2 2 3
3
4
2 2 2 2sin sin sin sinA B C− = = =π
1 2 1 2 3
4
− − + =cos cosA B
∴ ）cos cos2 2 3
4A B− = −
[ ]反正弦： ， ， ，arcsin x x∈ −
∈ −π π
2 2 1 1
[ ] [ ]反余弦： ， ， ，arccosx x∈ ∈ −0 1 1π
( )反正切： ， ，arctan x x R∈ −
∈π π
2 2
（ ） ，1 0
0a b c ac bc
c ac bc
> > ⇒ >
< ⇒ <
（ ） ，2 a b c d a c b d> > ⇒ + > +
（ ） ，3 0 0a b c d ac bd> > > > ⇒ >
（ ） ，4 0 1 1 0 1 1a b a b a b a b
> > ⇒ < < < ⇒ >
（ ） ，5 0a b a b a bn n n n> > ⇒ > >
( )（ ） ， 或6 0| | | |x a a a x a x a x a x a< > ⇔ − < < > ⇔ < − >
如：若 ，则下列结论不正确的是（ ）1 1 0a b
< <
A a b B ab b. .2 2 2< <
C a b a b D a
b
b
a. | | | | | | .+ > + + > 2
( )a b ab a b R a b ab ab a b2 2
2
2 2 2
+ ≥ ∈ + ≥ ≤ +
+， ； ； 求最值时，你是否注
意到“ ， ”且“等号成立”时的条件，积 或和 其中之一为定a b R ab a b∈ ++ ( ) ( )
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
证明：
（按不等号方向放缩）
( )a b a b ab ab
a b a b R
2 2
2 2
2+ ≥ + ≥ ≥ + ∈ +，
当且仅当 时等号成立。a b=
( )a b c ab bc ca a b R2 2 2+ + ≥ + + ∈，
当且仅当 时取等号。a b c= =
a b m n> > > >0 0 0， ， ，则
b
a
b m
a m
a n
b n
a
b
< +
+ < < +
+ <1
如：若 ， 的最大值为x x x
> − −0 2 3 4
（设y x x
= − +
≤ − = −2 3 4 2 2 12 2 4 3
当且仅当 ，又 ，∴ 时， ）3 4 0 2 3
3 2 4 3x x x x y= > = = −max
又如： ，则 的最小值为x y x y+ = +2 1 2 4
（∵ ，∴最小值为 ）2 2 2 2 2 2 2 22 2 1x y x y+ ≥ =+
如：证明 …1 1
2
1
3
1 22 2 2
+ + + + <
n
( )（ …… ……1 1
2
1
3
1 1 1
1 2
1
2 3
1
12 2 2
+ + + + < + × + × + + −n n n
= + − + − + + − −
= − <
1 1 1
2
1
2
1
3
1
1
1
2 1 2
……
）
n n
n
( )37 0. ( )
( )
解分式不等式 的一般步骤是什么？f x
g x a a> ≠
( )( ) ( )如： x x x+ − − <1 1 2 02 3
如：对数或指数的底分 或 讨论a a> < <1 0 1
例如：解不等式| |x x− − + <3 1 1
（解集为 ）x x| >
1
2
41. | | | | | | | | | |会用不等式 证明较简单的不等问题a b a b a b− ≤ ± ≤ +
如：设 ，实数 满足f x x x a x a( ) | |= − + − <2 13 1
求证： f x f a a( ) ( ) (| | )− < +2 1
| ( ) ( )| |( ) ( )|f x f a x x a a− = − + − − +2 213 13
= − + − − <
= − + − < + −
≤ + +
|( )( )| ( | | )
| || | | |
| | | |
x a x a x a
x a x a x a
x a
1 1
1 1
1
又 ，∴| | | | | | | | | |x a x a x a− ≤ − < < +1 1
( )∴ f x f a a a( ) ( ) | | | |− < + = +2 2 2 1
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
43. 等差数列的定义与性质
0 的二次函数）
项，即：
44. 等比数列的定义与性质
如： 恒成立 的最小值a f x a f x< ⇔ <( ) ( )
a f x a f x> ⇔ >( ) ( )恒成立 的最大值
a f x a f x> ⇔ >( ) ( )能成立 的最小值
例如：对于一切实数 ，若 恒成立，则 的取值范围是x x x a a− + + >3 2
（设 ，它表示数轴上到两定点 和 距离之和u x x= − + + −3 2 2 3
( )u a amin = − − = > <3 2 5 5 5，∴ ，即
( ) ( )或者： ，∴ ）x x x x a− + + ≥ − − + = <3 2 3 2 5 5
( )定义： 为常数 ，a a d d a a n dn n n+ − = = + −1 1 1( )
等差中项： ， ， 成等差数列x A y A x y⇔ = +2
( ) ( )
前 项和n S a a n na n n dn
n= + = + −1
12
1
2
{ }性质： 是等差数列a n
（ ）若 ，则 ；1 m n p q a a a am n p q+ = + + = +
{ } { } { }（ ）数列 ， ， 仍为等差数列；2 2 1 2a a ka bn n n− +
S S S S Sn n n n n， ， ……仍为等差数列；2 3 2− −
（ ）若三个数成等差数列，可设为 ， ， ；3 a d a a d− +
（ ）若 ， 是等差数列 ， 为前 项和，则 ；4 2 1
2 1
a b S T n a
b
S
Tn n n n
m
m
m
m
= −
−
{ }（ ） 为等差数列 （ ， 为常数，是关于 的常数项为5 2a S an bn a b nn n⇔ = +
{ }S S an bn an n n的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界= +2
当 ， ，解不等式组 可得 达到最大值时的 值。a d a
a S nn
n
n1
1
0 0 0
0
> < ≥
≤
+
当 ， ，由 可得 达到最小值时的 值。a d a
a S nn
n
n1
1
0 0 0
0
< > ≤
≥
+
{ }如：等差数列 ， ， ， ，则a S a a a S nn n n n n= + + = = =− −18 3 11 2 3
（由 ，∴a a a a an n n n n+ + = ⇒ = =− − − −1 2 1 13 3 3 1
( )又 · ，∴S a a a a3
1 3
2 22 3 3 1 1
3
= + = = =
( ) ( )
∴ ·
S a a n a a n n
n
n n= + = + =
+
=−1 2 1
2 2
1
3 1
2 18
∴ =n 27）
定义： （ 为常数， ），a
a q q q a a qn
n
n
n+ −= ≠ =1
1
10
等比中项： 、 、 成等比数列 ，或x G y G xy G xy⇒ = = ±2
( )前 项和： （要注意 ）n S
na q
a q
q qn
n=
=
−
− ≠
1
1
1
1
1 1
( )
( )
!
{ }性质： 是等比数列a n
（ ）若 ，则 · ·1 m n p q a a a am n p q+ = + =
（ ） ， ， ……仍为等比数列2 2 3 2S S S S Sn n n n n− −
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
解：
［练习］
（2）叠乘法
解：
（3）等差型递推公式
［练习］
（4）等比型递推公式
［练习］
45. 由 求 时应注意什么？S an n
（ 时， ， 时， ）n a S n a S Sn n n= = ≥ = − −1 21 1 1
{ }如： 满足 ……a a a a nn n n
1
2
1
2
1
2 2 5 11 2 2+ + + = + < >
n a a= = × + =1 1
2 2 1 5 141 1时， ，∴
n a a a nn n≥ + + + = − + < >− −2 1
2
1
2
1
2 2 1 5 21 2 2 1 1时， ……
< > − < > =1 2 1
2 2得： n na
∴a n
n= +2 1
∴a
n
nn n
=
=
≥
+
14 1
2 21
( )
( )
{ }数列 满足 ， ，求a S S a a an n n n n+ = =+ +1 1 1
5
3 4
（注意到 代入得：a S S S
Sn n n
n
n
+ +
+= − =1 1
1 4
{ }又 ，∴ 是等比数列，S S Sn n
n
1 4 4= =
n a S Sn n n
n≥ = − = =−
−2 3 41
1时， …… ·
{ }例如：数列 中， ， ，求a a a
a
n
n an
n
n
n1
13 1
= = +
+
a
a
a
a
a
a
n
n
a
a n
n
n
n2
1
3
2 1 1
1
2
2
3
1 1· …… · …… ，∴
−
= − =
又 ，∴a a nn1 3 3= =
由 ， ，求 ，用迭加法a a f n a a an n n− = =−1 1 0( )
n a a f
a a f
a a f nn n
≥ − =
− =
− =
−
2 2
3
2 1
3 2
1
时，
…… ……
两边相加，得：
( )
( )
( )
a a f f f nn − = + + +1 2 3( ) ( ) ( )……
∴ ……a a f f f nn = + + + +0 2 3( ) ( ) ( )
{ } ( )数列 ， ， ，求a a a a n an n
n
n n1
1
11 3 2= = + ≥−
−
( )（ ）a n
n= −1
2 3 1
( )a ca d c d c c dn n= + ≠ ≠ ≠−1 0 1 0、 为常数， ， ，
( )可转化为等比数列，设a x c a xn n+ = +−1
( )⇒ = + −−a ca c xn n 1 1
令 ，∴( )c x d x d
c
− = = −1 1
∴ 是首项为 ， 为公比的等比数列a d
c a d
c cn + −
+ −1 11
∴ ·a d
c a d
c cn
n+ − = + −
−
1 11
1
∴a a d
c c d
cn
n= + −
− −
−
1
1
1 1
{ }数列 满足 ， ，求a a a a an n n n1 19 3 4= + =+
（5）倒数法
47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
解：
［练习］
（2）错位相减法：
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
［练习］
（ ）a n
n
= −
+
−
8 4
3 1
1
例如： ， ，求a a a
a an
n
n
n1 11 2
2
= = ++
由已知得： 1 2
2
1
2
1
1a
a
a an
n
n n+
= + = +
∴ 1 1 1
21a an n+
− =
∴
=1 1 1 1
21a an
为等差数列， ，公差为
( ) ( )∴ = + − = +1 1 1 1
2
1
2 1a n n
n
·
∴a nn = +
2
1
{ }如： 是公差为 的等差数列，求a d a an
k kk
n 1
11 +=
∑
( ) ( )由 ·
1 1 1 1 1 0
1 1a a a a d d a a d
k k k k k k+ +
= + = −
≠
∴ 1 1 1 1
11 11a a d a ak kk
n
k kk
n
+= +=
∑ ∑= −
= −
+ −
+ + −
= −
+
+
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 1
1 1
d a a a a a a
d a a
n n
n
……
求和： …… ……1 1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3
+ + + + + + + + + + + n
（ …… ……， ）a S nn n= = = − +2 1
1
{ } { } { }若 为等差数列， 为等比数列，求数列 （差比数列）前 项a b a b nn n n n
{ }和，可由 求 ，其中 为 的公比。S qS S q bn n n n−
如： ……S x x x nxn
n= + + + + + < >−1 2 3 4 12 3 1
( )x S x x x x n x nxn
n n· ……= + + + + + − + < >−2 3 4 1 22 3 4 1
( )< > − < > − = + + + + −−1 2 1 1 2 1： ……x S x x x nxn
n n
( )
( )x S
x
x
nx
xn
n n
≠ =
−
−
− −1
1
1 12时，
( )
x S n n n
n= = + + + + = +
1 1 2 3 1
2
时， ……
S a a a a
S a a a a
n n n
n n n
= + + + +
= + + + +
−
−
1 2 1
1 2 1
……
……
相加
( ) ( ) ( )2 1 2 1 1S a a a a a an n n n= + + + + + +− …… ……
已知 ，则f x x
x f f f f f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +
+ +
+ +
=
2
21 1 2 1
2 3 1
3 4 1
4
（由f x f x
x
x
x
x
x
x x( ) +
= + +
+
= + + + =1
1
1
1 1 1
1
1 1
2
2
2
2
2
2 2
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金 p 元，每期利率为 r，n 期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息
的借款种类）
若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第
一次还款日，如此下去，第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还 x 元，满足
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（ 2 ） 排 列 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 ， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一
（ 3 ） 组 合 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 并 组 成 一 组 ， 叫 做 从 n 个 不
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接
法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：
（2）中间两个分数相等
相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有 3，4，3 种，∴有 10 种。
∴共有 5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
∴原式 = + +
+ +
+ +
f f f f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 2 1
2 3 1
3 4 1
4
= + + + =1
2 1 1 1 3 1
2
）
( ) ( ) ( ) ( )
S p r p r p nr p n n n rn = + + + + + + = + +
1 1 2 1 1
2
…… ……等差问题
( ) ( ) ( )p r x r x r x r xn n n( )1 1 1 11 2+ = + + + + + + +− − ……
( )
( )
( )= − +
− +
= + −
x r
r x r
r
n n1 1
1 1
1 1
( )
( )∴x pr r
r
n
n
= +
+ −
1
1 1
（ ）分类计数原理： ……1 1 2N m m mn= + + +
（ 为各类办法中的方法数）mi
分步计数原理： · ……N m m mn= 1 2
（ 为各步骤中的方法数）mi
列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列，所有排列的个数记为n m A n
m .
( )( ) ( ) ( ) ( )A n n n n m n
n m m nn
m = − − − + = − ≤1 2 1…… !
!
规定：0! 1=
同元素中取出 个元素的一个组合，所有组合个数记为m Cn
m .
( ) ( )
( )C A
A
n n n m
m
n
m n mn
m n
m
m
m
= = − − + = −
1 1……
!
!
! !
规定：Cn
0 1=
（ ）组合数性质：4
C C C C C C C Cn
m
n
n m
n
m
n
m
n
m
n n n
n n= + = + + + =− −
+， ， ……1
1
0 1 2
{ }x i x x x xi ∈ = < ≤ <89 90 91 92 93 1 2 3 4 1 2 3 4， ， ， ， ， ， ， ， 且满足 ，( )
（ ）中间两个分数不相等，1
有 （种）C5
4 5=
x x x x1 2 3 4< = <
( )a b C a C a b C a b C a b C bn
n
n
n
n
n
n
n
r n r r
n
n n+ = + + + + + +− − −0 1 1 2 2 2 … …
性质：
（3）最值：n 为偶数时，n＋1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
表示）
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。
（6）对立事件（互逆事件）：
二项展开式的通项公式： ， ……T C a b r nr n
r n r r
+
−= =1 0 1( )
Cn
r 为二项式系数（区别于该项的系数）
( )（ ）对称性： ， ， ，……，1 0 1 2C C r nn
r
n
n r= =−
（ ）系数和： …2 C C Cn n n
n n0 1 2+ + + =
C C C C C Cn n n n n n
n1 3 5 0 2 4 12+ + + = + + + = −… …
n C n nn
n
2 1 12+
+项，二项式系数为 ； 为奇数时， 为偶数，中间两项的二项式( )
系数最大即第 项及第 项，其二项式系数为n n C Cn
n
n
n+ + + =
− +1
2
1
2 1
1
2
1
2
( )如：在二项式 的展开式中，系数最小的项系数为 （用数字x −1 11
（∵ ＝n 11
∴共有 项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 或第 项12 12
2 6 7=
由 ，∴取 即第 项系数为负值为最小：C x rr r r
11
11 1 5 6− − =( )
− = − = −C C11
6
11
5 426
( ) ( )又如： …… ，则1 2 2004
0 1 2
2
2004
2004− = + + + + ∈x a a x a x a x x R
( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a0 1 0 2 0 3 0 2004+ + + + + + + + =…… （用数字作答）
（令 ，得：x a= =0 10
令 ，得： ……x a a a= + + + =1 10 2 2004
( )∴原式 …… ）= + + + + = × + =2003 2003 1 1 20040 0 1 2004a a a a
（ ）必然事件 ， ，不可能事件 ，1 1 0Ω ΩP P( = =) ( )φ φ
（ ）包含关系： ，“ 发生必导致 发生”称 包含 。2 A B A B B A⊂
A B
（ ）事件的和（并）： 或 “ 与 至少有一个发生”叫做 与3 A B A B A B A B+
（ ）事件的积（交）： · 或 “ 与 同时发生”叫做 与 的积。4 A B A B A B A B
A B· = φ
“ 不发生”叫做 发生的对立（逆）事件，A A A
A A A A = =Ω， φ
（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
（5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取 2 件都是次品；
（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；
（3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品；
解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴n＝103
而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特
征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每
部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同
特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估
计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参
赛队的概率为____________。
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
A B A B A B A B与 独立， 与 ， 与 ， 与 也相互独立。
P A A m
n( ) = =包含的等可能结果
一次试验的等可能结果的总数
( )（ ）若 、 互斥，则2 A B P A B P A P B+ = +( ) ( )
( ) ( ) ( )（ ）若 、 相互独立，则 · ·3 A B P A B P A P B=
（ ）4 1P A P A( ) ( )= −
( )k次的概率：P k C p pn n
k k n k( ) = − −
1
P C
C1
4
2
10
2
2
15
= =
P C C
C2
4
2
6
3
10
5
10
21
= =
∴ ·m C= +3
2 2 1 34 6 4
∴ · ·P C
3
3
2 2 3
3
4 6 4
10
44
125
= + =
∴ ，n A m C A A= =10
5
4
2
5
2
6
3
∴P C A A
A4
4
2
5
2
6
3
10
5
10
21
= =
( )（ ）算数据极差 ；1 x xmax min−
其中，频率 小长方形的面积 组距× 频率
组距
= =
( )样本平均值： ……x n x x x n= + + +1
1 2
( ) ( ) ( )[ ]样本方差： ……S n x x x x x xn
2
1
2
2
2 21= − + − + + −
（ ）C C
C
10
4
5
2
15
6
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
（7）向量的加、减法如图：
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
表示。
57. 平面向量的数量积
数量积的几何意义：
（ ）向量的模——有向线段的长度，2 | |a
→
（ ）单位向量 ，3 10 0| |
| |
a a a
a
→ →
→
→= =
（ ）零向量 ，4 0 0 0
→ →
=| |
（ ）相等的向量 长度相等
方向相同5 ⇔
=
→ →
a b
b a b b a
→ → → → → →
≠ ⇔ =∥ 存在唯一实数 ，使( )0 λ λ
OA OB OC
→
+
→
=
→
OA OB BA
→
−
→
=
→
e e a
→ → →
1 2， 是平面内的两个不共线向量， 为该平面任一向量，则存在唯一
实数对 、 ，使得 ， 、 叫做表示这一平面内所有向量λ λ λ λ1 2 1 1 2 2 1 2a e e e e
→ → → → →
= +
i j x y
→ →
， 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 ， ，使得
( )a x i y j x y a a x y
→ → → → →
= + =，称 ， 为向量 的坐标，记作： ， ，即为向量的坐标( )
( ) ( )设 ， ， ，a x y b x y
→ →
= =1 1 2 2
( ) ( ) ( )则 ， ， ，a b x y y y x y x y
→ →
± = ± = ± ±1 1 1 2 1 1 2 2
( ) ( )λ λ λ λa x y x y
→
= =1 1 1 1， ，
( ) ( )若 ， ， ，A x y B x y1 1 2 2
( )则 ，AB x x y y
→
= − −2 1 2 1
( ) ( )| |AB x x y y A B
→
= − + −2 1
2
2 1
2 ， 、 两点间距离公式
（ ） · · 叫做向量 与 的数量积（或内积）。1 a b a b a b
→ → → → → →
=| | | |cosθ
[ ]θ θ π为向量 与 的夹角， ，a b
→ →
∈ 0
B
b
O θ
D A
a
（2）数量积的运算法则
［练习］
答案：
答案：2
答案：
58. 线段的定比分点
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：
线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：
a b a b a b
→ → → → →
· 等于 与 在 的方向上的射影 的乘积。| | | |cosθ
① · ·a b b a
→ → → →
=
② · ·( )a b c a c b c
→ → → → → → →
+ = +
( ) ( )③ · ， · ，a b x y x y x x y y
→ →
= = +1 1 2 2 1 2 1 2
注意：数量积不满足结合律 · · · ·( ) ( )a b c a b c
→ → → → → →
≠
( ) ( )（ ）重要性质：设 ， ， ，3 1 1 2 2a x y b x y
→ →
= =
① ⊥ · · ·a b a b x x y y
→ → → →
⇔ = ⇔ + =0 01 2 1 2
② ∥ · · 或 · ·a b a b a b a b a b
→ → → → → → → → → →
⇔ = = −| | | | | | | |
⇔ = ≠
→ → →
a b bλ λ（ ， 惟一确定）0
⇔ − =x y x y1 2 2 1 0
③ ， · ·a a x y a b a b
→ → → → → →
= = + ≤
2
2
1
2
1
2| | | | | | | |
④ ·
· ·
cos
| | | |
θ = = +
+ +
→ →
→ →
a b
a b
x x y y
x y x y
1 2 1 2
1
2
1
2
2
2
2
2
（ ）已知正方形 ，边长为 ， ， ， ，则1 1ABCD AB a BC b AC c
→
=
→
=
→
=
→ → →
| |a b c
→ → →
+ + =
2 2
( ) ( )（ ）若向量 ， ， ， ，当 时 与 共线且方向相同2 1 4a x b x x a b
→ → → →
= = =
（ ）已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么3 60 3a b a bo
→ → → →
+ =| |
13
( ) ( ) ( )设 ， ， ， ，分点 ， ，设 、 是直线 上两点， 点在P x y P x y P x y P P P1 1 1 2 2 2 1 2 l
l 上且不同于 、 ，若存在一实数 ，使 ，则 叫做 分有向线段P P P P PP P1 2 1 2λ λ λ
→
=
→
P P P P P P P P1 2 1 2 1 20 0
→
> <所成的比（ ， 在线段 内， ， 在 外），且λ λ
x x x
y y y P P P
x x x
y y y
= +
+
= +
+
= +
= +
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
1
2
2
λ
λ
λ
λ
， 为 中点时，
( ) ( ) ( )如： ， ， ， ， ， ，∆ABC A x y B x y C x y1 1 2 2 3 3
则 重心 的坐标是 ，∆ABC G x x x y y y1 2 3 1 2 3
3 3
+ + + +
线∥线 线∥面 面∥面
判定 线⊥线 线⊥面 面⊥面 性质
线∥线 线⊥面 面∥面
← → ← →
→ ← → ← → ←
← → ← →
a b b a a∥ ， 面 ， ∥面⊂ ⊄ ⇒α α α
a
b
α
α α α β α β∥面 ， 面 ， ∥⊂ = ⇒ b a b
线面垂直：
面面垂直：
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂线定理法：A∈α作或证 AB⊥β于 B，作 BO⊥棱于 O，连 AO，则 AO⊥棱 l，∴∠AOB
为所求。）
PA AO PO⊥面 ， 为 在 内射影， 面 ，则α α αa ⊂
a OA a PO a PO a AO⊥ ⊥ ； ⊥ ⊥⇒ ⇒
α
a
P
O
a b a c b c b c O a⊥ ， ⊥ ， ， ， ⊥⊂ = ⇒α α
a
O
α b c
a a⊥面 ， 面 ⊥α β β α⊂ ⇒
面 ⊥面 ， ， ， ⊥ ⊥α β α β α β = ⊂ ⇒l la a a
α a
l
β
a b a b⊥面 ， ⊥面 ∥α α ⇒
面 ⊥ ，面 ⊥ ∥α β α βa a ⇒
a b
α
θ α α＝ 时， ∥ 或0 bo b ⊂
（ ）二面角：二面角 的平面角 ，3 0 180α β θ θ− − < ≤l o o
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA 为α的斜线 OB 为其在α内射影，OC 为α内过 O 点任一直线。
（2）如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1＝8，BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30
°。
①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角；
②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角；
③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。
（3）如图 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面 ABCD，且 PD＝AD，求面 PAB 与面 PCD
所成的锐二面角的大小。
（∵AB∥DC，P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点，作 PF∥AB，则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交
线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者
用等积转化法）。
如：正方形 ABCD—A1B1C1D1 中，棱长为 a，则：
（1）点 C 到面 AB1C1 的距离为___________；
（2）点 B 到面 ACB1 的距离为____________；
（3）直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________；
（4）面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________；
（5）点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
证明： ·cos cos cosγ θ β=
A
O B
γ C
D
α
θ
β
（ 为线面成角，∠ ，∠ ）θ γ βAOC = BOC =
D1 C1
A1 B1
H
G
D C
A B
（① ；② ；③ ）arcsin arcsin3
4 60 6
3
o
P F
D C
A E B
D C
A B
D1 C1
A1 B1
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素？
63. 球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R：
r＝3：1。
积为（ ）
答案：A
64. 熟记下列公式了吗？
（2）直线方程：
65. 如何判断两直线平行、垂直？
66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE∆ ∆ ∆ ∆， ， 和
S C h C h正棱锥侧 · （ ——底面周长， 为斜高）= 1
2 ' '
V锥 底面积×高= 1
3
（ ）球心和截面圆心的连线垂直于截面1 2 2r R d= −
（ ） ，球 球4 4 4
3
2 3S R V R= =π π
如：一正四面体的棱长均为 ，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2
A B C D. . . .3 4 3 3 6π π π π
[ )（ ） 直线的倾斜角 ， ， ，1 0 2
2 1
2 1
1 2l α π α α π∈ = = −
− ≠ ≠
k y y
x x x xtan
( ) ( ) ( )P x y P x y a k1 1 1 2 2 2 1， ， ， 是 上两点，直线 的方向向量 ，l l
→
=
( )点斜式： （ 存在）y y k x x k− = −0 0
斜截式：y kx b= +
截距式： x
a
y
b
+ = 1
一般式： （ 、 不同时为零）Ax By C A B+ + = 0
( )（ ）点 ， 到直线 ： 的距离3 00 0
0 0
2 2
P x y Ax By C d Ax By C
A B
l + + = = + +
+
（ ） 到 的到角公式：4 11 2
2 1
1 2
l l tanθ = −
−
k k
k k
l l1 2
2 1
1 21
与 的夹角公式： tanθ = −
−
k k
k k
A B A B
A C A C
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2
=
≠
⇔ l l∥
k k l1 2 1 2= ⇒ l ∥ （反之不一定成立）
A A B B1 2 1 2 1 20+ = ⇔ l l⊥
k k1 2 1 21· ⊥= − ⇒ l l
68. 分清圆锥曲线的定义
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0
的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0 下进行。）
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
联立方程组 关于 （或 ）的一元二次方程 “ ”
相交； 相切； 相离
⇒ ⇒
> ⇔ = ⇔ < ⇔
x y ∆
∆ ∆ ∆0 0 0
第一定义
椭圆 ，
双曲线 ，
抛物线
⇔ + = > =
⇔ − = < =
⇔ =
PF PF a a c F F
PF PF a a c F F
PF PK
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2
第二定义：e PF
PK
c
a
= =
0 1 1 1< < ⇔ > ⇔ = ⇔e e e椭圆； 双曲线； 抛物线
y
b
O
F1 F2 a x
x a
c
=
2
( )x
a
y
b a b
2
2
2
2 1 0+ = > >
( )a b c2 2 2= +
( )x
a
y
b a b
2
2
2
2 1 0 0− = > >，
( )c a b2 2 2= +
F
k
e>1 e=1
0
如：椭圆 与直线 交于 、 两点，原点与 中点连mx ny y x M N MN2 2 1 1+ = = −
线的斜率为 ，则 的值为2
2
m
n
m
n
= 2
2
（由 ， ， ）a x x b y y x a x y b y= + = + ⇒ = − = −' ' ' '2 2 2 2
( )只要证明 ， 也在曲线 上，即A a x b y C f x y' ( ') '2 2− − =
（ ）点 、 关于直线 对称 ⊥
中点在 上2 A A AA
AA
' '
'
l l
l
⇔
⇔ = −
k k
AA
AA'
'
·
中点坐标满足 方程
l
l
1
74 2 2 2. cos
sin
圆 的参数方程为 （ 为参数）x y r x r
y r
+ = =
=
θ
θ θ
椭圆 的参数方程为 （ 为参数）x
a
y
b
x a
y b
2
2
2
2 1+ = =
=
cos
sin
θ
θ θ
