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文档介绍
2012年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年北京市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(5分)(2012•北京)已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},则A∩B=( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,) C. ﹙,3﹚ D. (3,+∞) 考点: 一元二次不等式的解法;交集及其运算.菁优网版权所有 专题: 集合. 分析: 求出集合B,然后直接求解A∩B. 解答: 解:因为B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1或x>3}, 又集合A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x}, 所以A∩B={x|x}∩{x|x<﹣1或x>3}={x|x>3}, 故选:D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查计算能力. 2.(5分)(2012•北京)在复平面内,复数对应的点的坐标为( ) A. (1,3) B. (3,1) C. (﹣1,3) D. (3,﹣1) 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.菁优网版权所有 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由==1+3i,能求出在复平面内,复数对应的点的坐标. 解答: 解:∵= ==1+3i, ∴在复平面内,复数对应的点的坐标为(1,3), 故选A. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘积运算,是基础题.解题时要认真审题,注意复数的几何意义的求法. 3.(5分)(2012•北京)设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A. B. C. D. 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型.菁优网版权所有 专题: 概率与统计. 分析: 本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题中两个区域:由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可. 解答: 解:其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4, 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部, 面积为=4﹣π, ∴在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P= 故选:D. 点评: 本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到,本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值. 4.(5分)(2012•北京)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 考点: 循环结构.菁优网版权所有 专题: 算法和程序框图. 分析: 列出循环过程中S与K的数值,不满足判断框的条件即可结束循环. 解答: 解:第1次判断后S=1,k=1, 第2次判断后S=2,k=2, 第3次判断后S=8,k=3, 第4次判断后3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8. 故选C. 点评: 本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力. 5.(5分)(2012•北京)函数f(x)=的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的单调性,由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数,故函数f(x)为单调增函数,而f(0)<0,f()>0 由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点 解答: 解:函数f(x)的定义域为[0,+∞) ∵y=在定义域上为增函数,y=﹣在定义域上为增函数 ∴函数f(x)=在定义域上为增函数 而f(0)=﹣1<0,f(1)=>0 故函数f(x)=的零点个数为1个 故选B 点评: 本题主要考查了函数零点的判断方法,零点存在性定理的意义和运用,函数单调性的判断和意义,属基础题 6.(5分)(2012•北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( ) A. a1+a3≥2a2 B. a12+a32≥2a22 C. 若a1=a3,则a1=a2 D. 若a3>a1,则a4>a2 考点: 等比数列的性质.菁优网版权所有 专题: 等差数列与等比数列. 分析: a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立;,所以;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=﹣a2;若a3>a1,则a1q2>a1,而a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故可得结论. 解答: 解:设等比数列的公比为q,则a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确; ,∴,故B正确; 若a1=a3,则a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故C不正确; 若a3>a1,则a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故D不正确 故选B. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 7.(5分)(2012•北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ) A. 28+6 B. 30+6 C. 56+12 D. 60+12 考点: 由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 专题: 立体几何. 分析: 通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形, 一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,底边长为5,如图, 所以S底==10, S后=, S右==10, S左==6. 几何体的表面积为:S=S底+S后+S右+S左=30+6. 故选:B. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,注意表面积的求法,考查空间想象能力计算能力. 8.(5分)(2012•北京)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 考点: 函数的图象与图象变化;函数的表示方法.菁优网版权所有 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率,结合图象可得答案. 解答: 解:若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S,n)点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时,直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高, 故选C 点评: 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义,其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键. 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5分)(2012•北京)直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为 . 考点: 直线与圆相交的性质.菁优网版权所有 专题: 直线与圆. 分析: 确定圆的圆心坐标与半径,求得圆心到直线y=x的距离,利用垂径定理构造直角三角形,即可求得弦长. 解答: 解:圆x2+(y﹣2)2=4的圆心坐标为(0,2),半径为2 ∵圆心到直线y=x的距离为 ∴直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为2= 故答案为: 点评: 本题考查直线与圆相交,考查圆的弦长,解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离,利用垂径定理构造直角三角形求得弦长. 10.(5分)(2012•北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2= 1 ,Sn= . 考点: 等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.菁优网版权所有 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的性质可求出公差,从而可求出第二项,以及等差数列的前n项和. 解答: 解:根据{an}为等差数列,S2=a1+a2=a3=+a2; ∴d=a3﹣a2= ∴a2=+=1 Sn== 故答案为:1, 点评: 本题主要考查了等差数列的前n项和,以及等差数列的通项公式,属于容易题. 11.(5分)(2012•北京)在△ABC中,若a=3,b=,,则∠C的大小为 . 考点: 正弦定理.菁优网版权所有 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理=,可求得∠B,从而可得∠C的大小. 解答: 解:∵△ABC中,a=3,b=,, ∴由正弦定理=得:=, ∴sin∠B=.又b<a, ∴∠B<∠A=. ∴∠B=. ∴∠C=π﹣﹣=. 故答案为:. 点评: 本题考查正弦定理,求得∠B是关键,易错点在于忽视“△中大变对大角,小边对小角”结论的应用,属于基础题. 12.(5分)(2012•北京)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= 2 . 考点: 对数的运算性质.菁优网版权所有 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,知f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lg(ab).由此能求出结果. 解答: 解:∵函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1, f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2 =lg(ab)2=2lg(ab)=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 13.(5分)(2012•北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为 1 . 考点: 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量转化,求出数量积即可. 解答: 解:因为====1. 故答案为:1 点评: 本题考查平面向量数量积的应用,考查计算能力. 14.(5分)(2012•北京)已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2.若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是 (﹣4,0) . 考点: 复合命题的真假;全称命题.菁优网版权所有 专题: 简易逻辑. 分析: 由于g(x)=2x﹣2≥0时,x≥1,根据题意有f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x>1时成立,根据二次函数的性质可求 解答: 解:∵g(x)=2x﹣2,当x≥1时,g(x)≥0, 又∵∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0 ∴此时f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面 则 ∴﹣4<m<0 故答案为:(﹣4,0) 点评: 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立,指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键 三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(13分)(2012•北京)已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的定义域和值域;复合三角函数的单调性.菁优网版权所有 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由sinx≠0可得x≠kπ(k∈Z),将f(x)化为f(x)=sin(2x﹣)﹣1即可求其最小正周期; (2)由(1)得f(x)=sin(2x﹣)﹣1,再由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z)即可求f(x)的单调递减区间. 解答: 解:(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z), 故求f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. ∵f(x)= =2cosx(sinx﹣cosx) =sin2x﹣cos2x﹣1 =sin(2x﹣)﹣1 ∴f(x)的最小正周期T==π. (2)∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z) ∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z) 得kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z) ∴f(x)的单调递减区间为:[kπ+,kπ+](k∈Z) 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦函数的单调性,注重辅助角公式的考察应用,求得f(x=sin(2x﹣)﹣1是关键,属于中档题. 16.(14分)(2012•北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2. (1)求证:DE∥平面A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由. 考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (1)D,E分别为AC,AB的中点,易证DE∥平面A1CB; (2)由题意可证DE⊥平面A1DC,从而有DE⊥A1F,又A1F⊥CD,可证A1F⊥平面BCDE,问题解决; (3)取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC,平面DEQ即为平面DEP,由DE⊥平面,P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,可证A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ. 解答: 解:(1)∵D,E分别为AC,AB的中点, ∴DE∥BC,又DE⊄平面A1CB, ∴DE∥平面A1CB. (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥A1D,又DE⊥CD, ∴DE⊥平面A1DC,而A1F⊂平面A1DC, ∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD, ∴A1F⊥平面BCDE, ∴A1F⊥BE. (3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC. ∵DE∥BC, ∴DE∥PQ. ∴平面DEQ即为平面DEP. 由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC, ∴DE⊥A1C, 又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, ∴A1C⊥DP, ∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ, 故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ. 点评: 本题考查直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定与性质,考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力,综合性强,属于难题. 17.(13分)(2012•北京)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨); “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值. (求:S2=[++…+],其中为数据x1,x2,…,xn的平均数) 考点: 模拟方法估计概率;极差、方差与标准差.菁优网版权所有 专题: 概率与统计. 分析: (1)厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨,故可求厨余垃圾投放正确的概率; (2)生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故可求生活垃圾投放错误的概率; (3)计算方差可得=,因此有当a=600,b=0,c=0时,有s2=80000. 解答: 解:(1)由题意可知:厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨,故厨余垃圾投放正确的概率为; (2)由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为; (3)由题意可知:∵a+b+c=600,∴a,b,c的平均数为200 ∴=, ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2,因此有当a=600,b=0,c=0时,有s2=80000. 点评: 本题考查概率知识的运用,考查学生的阅读能力,属于中档题. 18.(13分)(2012•北京)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=﹣9时,函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值; (2)当a=3,b=﹣9时,设h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2﹣9x+1,求导函数,确定函数的极值点,进而可得k≤﹣3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(﹣3)=28;﹣3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28,由此可得结论. 解答: 解:(1)f(x)=ax2+1(a>0),则f′(x)=2ax,k1=2a, g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b, 由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ① 又f(1)=a+1,g(1)=1+b, ∴a+1=1+b, 即a=b,代入①式,可得:a=3,b=3. (2)当a=3,b=﹣9时,设h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2﹣9x+1 则h′(x)=3x2+6x﹣9, 令h'(x)=0, 解得:x1=﹣3,x2=1; ∴k≤﹣3时,函数h(x)在(﹣∞,﹣3)上单调增,在(﹣3,1]上单调减,(1,2)上单调增,所以在区间[k,2]上的最大值为h(﹣3)=28 ﹣3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28 所以k的取值范围是(﹣∞,﹣3] 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导函数. 19.(14分)(2012•北京)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点M,N, (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.菁优网版权所有 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为,可建立方程组,从而可求椭圆C的方程; (Ⅱ)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2 )x2﹣4k2x+2k2﹣4=0,从而可求|MN|,A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离,利用△AMN的面积为,可求k的值. 解答: 解:(Ⅰ)∵椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为, ∴ ∴b= ∴椭圆C的方程为; (Ⅱ)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=, ∴|MN|== ∵A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离为 ∴△AMN的面积S= ∵△AMN的面积为, ∴ ∴k=±1. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,解题的关键是正确求出|MN|. 20.(13分)(2012•北京)设A是如下形式的2行3列的数表, a b c d e f 满足性质P:a,b,c,d,e,f∈[﹣1,1],且a+b+c+d+e+f=0. 记ri(A)为A的第i行各数之和(i=1,2),Cj(A)为A的第j列各数之和(j=1,2,3);记k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值. (1)对如下数表A,求k(A)的值 1 1 ﹣0.8 0.1 ﹣0.3 ﹣1 (2)设数表A形如 1 1 ﹣1﹣2d d d ﹣1 其中﹣1≤d≤0.求k(A)的最大值; (Ⅲ)对所有满足性质P的2行3列的数表A,求k(A)的最大值. 考点: 进行简单的演绎推理.菁优网版权所有 专题: 推理和证明. 分析: (1)根据ri(A)为A的第i行各数之和(i=1,2),Cj(A)为A的第j列各数之和(j=1,2,3);记k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值可求出所求; (2)k(A)的定义可求出k(A)=1+d,然后根据d的取值范围可求出所求; (III)任意改变A三维行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*仍满足性质P,并且k(A)=k(A*) 因此,不防设r1(A)≥0,c1(A)≥0,c2(A)≥0,然后利用不等式的性质可知3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A),从而求出k(A)的最大值. 解答: 解:(1)因为r1(A)=1.2,r2(A)=﹣1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=﹣1.8, 所以k(A)=0.7 (2)r1(A)=1﹣2d,r2(A)=﹣1+2d,c1(A)=c2(A)=1+d,c3(A)=﹣2﹣2d 因为﹣1≤d≤0, 所以|r1(A)|=|r2(A)|≥1+d≥0,|c3(A)|≥1+d≥0 所以k(A)=1+d≤1 当d=0时,k(A)取得最大值1 (III)任给满足性质P的数表A(如下所示) a b c d e f 任意改变A三维行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*仍满足性质P,并且k(A)=k(A*) 因此,不防设r1(A)≥0,c1(A)≥0,c2(A)≥0, 由k(A)的定义知,k(A)≤r1(A),k(A)≤c1(A),k(A)≤c2(A), 从而3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=(a+b+c+d+e+f)+(a+b﹣f)=a+b﹣f≤3 所以k(A)≤1 由(2)可知,存在满足性质P的数表A使k(A)=1,故k(A)的最大值为1. 点评: 本题主要考查了进行简单的演绎推理,同时分析问题的能力以及不等式性质的应用,同时考查了转化的思想,属于中档题. 查看更多