高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
一、选择题
1. 已知△ABC 中，a＝c＝2，A＝30°，则 b＝( )
A. 3 B. 2 3
C. 3 3 D. 3＋1
答案：B
解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.
由余弦定理可得 b＝2 3.
2. △ABC 中，a＝ 5，b＝ 3，sinB＝ 2
2 ，则符合条件的三角形有( )
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 0 个
答案：B
解析：∵asinB＝ 10
2 ，
∴asinB
b B．a1
2.
∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.
5. 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. 5
18 B. 3
4
C.
3
2 D. 7
8
答案：D
解析：方法一：设三角形的底边长为 a，则周长为 5a，
∴腰长为 2a，由余弦定理知 cosα＝
(2a)2＋(2a)2－a2
2 × 2a × 2a ＝7
8.
方法二：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则 AC＝2a，CD＝a
2，∴sinα
2＝1
4，
∴cosα＝1－2sin2α
2
＝1－2× 1
16＝7
8.
6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积等于( )
A.
3
2 B.
3
4
C.
3
2 或 3 D.
3
2 或 3
4
答案：D
解析：∵sinC
3
＝sinB
1 ，
∴sinC＝ 3·sin30°＝ 3
2 .
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝1
2×1× 3＝ 3
2 ，
当 C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝1
2×1× 3sin30°＝ 3
4 .
即△ABC 的面积为 3
2 或 3
4 .
二、填空题
7．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，∠C＝2π
3 ，则 a＝________.
答案：1
解析：由正弦定理 b
sinB＝ c
sinC，即 1
sinB＝ 3
sin2π
3
，sinB＝1
2.
又 b0 知 B<π
2，
由已知得 cosB＝12
13，sin∠ADC＝4
5，
从而 sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝4
5×12
13－3
5× 5
13＝33
65.
由正弦定理得 AD
sinB＝ BD
sin∠BAD，
AD＝ BD·sinB
sin∠BAD＝
33 × 5
13
33
65
＝25.
12. (2010·安徽卷)设△ABC 是锐角三角形，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对边长，并
且 sin2A＝sin(π
3＋B )sin(π
3－B )＋sin2B.
(1)求角 A 的值；
(2)若AB
→
·AC
→
＝12，a＝2 7，求 b，c(其中 bb 知 c＝6，b＝4.
