山东理科数学高考试题附答案和解析

山东理科数学高考试题附答案和解析

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 理科数学 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。‎ 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。‎ 第I卷（共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 若复数满足(为虚数单位)，则为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i ‎ ‎1、解析：.答案选A。‎ 另解：设，则根据复数相等可知，解得，于是.‎ ‎2.已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4}‎ ‎ 3.设 ，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 [来源:学,科,网Z,X,X,K]C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 ‎4.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为 ‎(A)7 (B)9 (C)10 (D)15‎ ‎5.设变量满足约束条件，则目标函数 的取值范围是 ‎ A. B.‎ 开始 ‎ 输出 ‎ 结束 ‎ 是 ‎ 否 ‎ 输入a ‎ C. D. ‎ ‎6.执行下面的程序图，如果输入，那么输出的n的值为 ‎（A）2 （B） 3（C） 4（D）5‎ ‎7.若，，则sin=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8.定义在上的函数满足，当时，，当-1≤x＜3时，.则 ‎（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012‎ ‎9.函数的图像大致为 ‎10.已知椭圆C：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ‎（A）232 (B)252 (C)472 (D)484‎ ‎12.设函数.若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,,则下列判断正确的是 ‎(A.当时，, (B). 当时, ,‎ ‎（C）.当时，, （D）. 当时，,‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。‎ ‎（13）若不等式的解集为，则实数= .‎ ‎（14）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。‎ ‎（15）设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。‎ ‎（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。‎ C D 三、解答题：本大题共6小题，共74分。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎17.已知向量m＝，n＝(),‎ ‎ 函数m·n的最大值为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，求在上的值域.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm。‎ ‎（21）（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。‎ ‎22(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y=‎ ‎ f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。‎ ‎（Ⅰ）求k的值；‎ ‎（Ⅱ）求f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，。‎ 答案解析：‎ ‎1、解析：.答案选A。‎ 另解：设，则根据复数相等可知，解得，于是.‎ ‎2、解析：。答案选C。‎ ‎3、解析：p：“函数在R上是减函数 ”等价于；q：“函数在R上是增函数”等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。‎ ‎4、解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个，故答案应选C。‎ ‎5、解析：作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，‎ 点处有最小值，即.答案应选A。‎ ‎6、解析：；‎ ‎；‎ ‎，。‎ 答案应选B。‎ ‎7、解析：由可得，，，答案应选D。另解：由及可得 ‎，‎ 而当时，结合选项即可得.答案应选D。‎ ‎8、解析：，而函数的周期为6，‎ ‎.‎ 答案应选B ‎9、解析：函数，为奇函数，‎ 当，且时；当，且时；‎ 当，，；当，，.答案应选D。‎ ‎10、解析：双曲线x²-y²＝1的渐近线方程为，代入可得，则，又由可得，则，‎ 于是。椭圆方程为，答案应选D。‎ ‎11、解析：,答案应选C。‎ 另解：.‎ ‎12、解析:令，则，设，‎ 令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B。‎ 另解：令可得。‎ 设 不妨设，结合图形可知，‎ 当时如右图，此时，即，此时，，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。‎ 二、填空 ‎13、解析：由可得，即，而，所以.‎ 另解：由题意可知是的两根，则，解得.‎ ‎14、解析：.‎ ‎15、解析：，解得.[来源:]‎ ‎16、解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转 了弧度，此时点的坐标为[来源:Z*xx*]‎ ‎.‎ 另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.‎ 三、 解答题 ‎17、解析：（Ⅰ），‎ 则;‎ ‎（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.‎ 当时，，.‎ 故函数g（x）在上的值域为.‎ 另解：由可得，令， ‎ 则，而，则，‎ 于是，‎ 故，即函数g（x）在上的值域为.‎ ‎18、解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,‎ 由余弦定理可知,‎ 即,在中，∠DAB=60°，，则为直角三角形，且 ‎。又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量.‎ 设向量为平面的法向量，则,即，‎ 取，则，则为平面的一个法向量.‎ ‎，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C的余弦值为。‎ ‎19、解析：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎,‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.‎ ‎20、解析：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，，于是，即.‎ ‎（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，‎ 即，而，由题意可知，‎ 于是 ‎，‎ 即.‎ ‎21、解析：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，‎ 而，，，‎ ‎，，‎ 由可得，，则，‎ 即，解得，点M的坐标为.[来源:学+科+网]‎ ‎（Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，。由可得，设，‎ 圆，‎ ‎，‎ 于是，令 ‎，‎ 设，，‎ 当时，，‎ 即当时.‎ 故当时，.‎ ‎22、解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；‎ ‎（Ⅱ），令可得，‎ 当时，；当时，。‎ 于是在区间内为增函数；在内为减函数。‎ 简证（Ⅲ），‎ 当时， ，.‎ 当时，要证。‎ 只需证，然后构造函数即可证明.‎