山东理科数学高考试题附答案和解析

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山东理科数学高考试题附答案和解析

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 理科数学 本试卷分第I卷和第II卷两部分,共4页。满分150分。考试用时120分钟,考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。‎ 参考公式:‎ 锥体的体积公式:V=Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。‎ 如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B)。‎ 第I卷(共60分)‎ 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 若复数满足(为虚数单位),则为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i ‎ ‎1、解析:.答案选A。‎ 另解:设,则根据复数相等可知,解得,于是.‎ ‎2.已知全集={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3,},B={2,4} ,则(CuA)B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4}‎ ‎ 3.设 ,则“函数在上是减函数 ”,是“函数在上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 [来源:学,科,网Z,X,X,K]C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 ‎4.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查,为此将他们随机编号为,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为,抽到的人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为 ‎(A)7 (B)9 (C)10 (D)15‎ ‎5.设变量满足约束条件,则目标函数 的取值范围是 ‎ A. B.‎ 开始 ‎ 输出 ‎ 结束 ‎ 是 ‎ 否 ‎ 输入a ‎ C. D. ‎ ‎6.执行下面的程序图,如果输入,那么输出的n的值为 ‎(A)2 (B) 3(C) 4(D)5‎ ‎7.若,,则sin=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎8.定义在上的函数满足,当时,,当-1≤x<3时,.则 ‎(A)335 (B)338 (C)1678 (D)2012‎ ‎9.函数的图像大致为 ‎10.已知椭圆C:的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎11.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 ‎(A)232 (B)252 (C)472 (D)484‎ ‎12.设函数.若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,,则下列判断正确的是 ‎(A.当时,, (B). 当时, ,‎ ‎(C).当时,, (D). 当时,,‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。‎ ‎(13)若不等式的解集为,则实数= .‎ ‎(14)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为____________。‎ ‎(15)设a>0.若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=______。‎ ‎(16)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为______________。‎ C D 三、解答题:本大题共6小题,共74分。‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎17.已知向量m=,n=(),‎ ‎ 函数m·n的最大值为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到的函数的图象,求在上的值域.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF。‎ ‎(Ⅰ)求证:BD⊥平面AED;‎ ‎(Ⅱ)求二面角F-BD-C的余弦值。‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎ 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。‎ ‎(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;‎ ‎(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX ‎(20)(本小题满分12分)‎ 在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对任意m∈N﹡,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm。‎ ‎(21)(本小题满分13分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为。‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,的最小值。‎ ‎22(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x) = (k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数),曲线y=‎ ‎ f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。‎ ‎(Ⅰ)求k的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数,证明:对任意x>0,。‎ 答案解析:‎ ‎1、解析:.答案选A。‎ 另解:设,则根据复数相等可知,解得,于是.‎ ‎2、解析:。答案选C。‎ ‎3、解析:p:“函数在R上是减函数 ”等价于;q:“函数在R上是增函数”等价于,即且a≠1,故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。‎ ‎4、解析:采用系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人,即,第k组的号码为,令,而,解得,则满足的整数k有10个,故答案应选C。‎ ‎5、解析:作出可行域,直线,将直线平移至点处有最大值,‎ 点处有最小值,即.答案应选A。‎ ‎6、解析:;‎ ‎;‎ ‎,。‎ 答案应选B。‎ ‎7、解析:由可得,,,答案应选D。另解:由及可得 ‎,‎ 而当时,结合选项即可得.答案应选D。‎ ‎8、解析:,而函数的周期为6,‎ ‎.‎ 答案应选B ‎9、解析:函数,为奇函数,‎ 当,且时;当,且时;‎ 当,,;当,,.答案应选D。‎ ‎10、解析:双曲线x²-y²=1的渐近线方程为,代入可得,则,又由可得,则,‎ 于是。椭圆方程为,答案应选D。‎ ‎11、解析:,答案应选C。‎ 另解:.‎ ‎12、解析:令,则,设,‎ 令,则,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需,整理得,于是可取来研究,当时,,解得,此时,此时;当时,,解得,此时,此时.答案应选B。‎ 另解:令可得。‎ 设 不妨设,结合图形可知,‎ 当时如右图,此时,即,此时,,即;同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。‎ 二、填空 ‎13、解析:由可得,即,而,所以.‎ 另解:由题意可知是的两根,则,解得.‎ ‎14、解析:.‎ ‎15、解析:,解得.[来源:]‎ ‎16、解析:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P旋转 了弧度,此时点的坐标为[来源:Z*xx*]‎ ‎.‎ 另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为,且,则点P的坐标为,即.‎ 三、 解答题 ‎17、解析:(Ⅰ),‎ 则;‎ ‎(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.‎ 当时,,.‎ 故函数g(x)在上的值域为.‎ 另解:由可得,令, ‎ 则,而,则,‎ 于是,‎ 故,即函数g(x)在上的值域为.‎ ‎18、解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,‎ 由余弦定理可知,‎ 即,在中,∠DAB=60°,,则为直角三角形,且 ‎。又AE⊥BD,平面AED,平面AED,且,故BD⊥平面AED; ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,设,则,建立如图所示的空间直角坐标系,,向量为平面的一个法向量.‎ 设向量为平面的法向量,则,即,‎ 取,则,则为平面的一个法向量.‎ ‎,而二面角F-BD-C的平面角为锐角,则 二面角F-BD-C的余弦值为。‎ ‎19、解析:(Ⅰ);‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎,‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.‎ ‎20、解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则,,于是,即.‎ ‎(Ⅱ)对任意m∈N﹡,,则,‎ 即,而,由题意可知,‎ 于是 ‎,‎ 即.‎ ‎21、解析:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,设M,,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,于是抛物线C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,‎ 而,,,‎ ‎,,‎ 由可得,,则,‎ 即,解得,点M的坐标为.[来源:学+科+网]‎ ‎(Ⅲ)若点M的横坐标为,则点M,。由可得,设,‎ 圆,‎ ‎,‎ 于是,令 ‎,‎ 设,,‎ 当时,,‎ 即当时.‎ 故当时,.‎ ‎22、解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;‎ ‎(Ⅱ),令可得,‎ 当时,;当时,。‎ 于是在区间内为增函数;在内为减函数。‎ 简证(Ⅲ),‎ 当时, ,.‎ 当时,要证。‎ 只需证,然后构造函数即可证明.‎
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