高考圆锥曲线解题技巧总结

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。‎ 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。‎ 第一部分：基础知识 ‎1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。‎ ‎2.圆锥曲线的几何性质：‎ ‎（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。‎ ‎（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。‎ ‎ （3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。‎ ‎3．直线与圆锥曲线的位置关系：‎ 判断的大小。‎ 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。‎ ‎4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。‎ ‎5、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，分别为A、B的纵坐标，则，特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。‎ ‎ 例 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角．‎ 特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！‎ 第二部分：解析几何万能解题套路 ‎ 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。‎ 高考解析几何剖析：‎ ‎1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题；‎ ‎2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。‎ 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作：‎ ‎1、几何问题代数化。‎ ‎2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。‎ 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（“翻译”）；‎ 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。‎ ‎1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；‎ ‎2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；‎ ‎3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化；‎ 步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。‎ 口诀：点代入直线、点代入曲线。‎ ‎1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；‎ ‎2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；‎ 这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得最后答案的基础，最后就是解方程组的问题了。‎ 在方程组的求解中，有时候能够直接求解，如果不能直接求解的，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单，具体过程：‎ ‎1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；‎ ‎2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；‎ ‎3、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；‎ ‎4、把这个一元二次方程的判别式列出来；‎ ‎5、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标（可设而不求）之间的相互关系式）。‎ 步骤三：（三化）图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化。‎ 前面几个步骤构成了解决所有问题的基础。在解析几何题目里，事实上就是附加了一些特殊条件的问题，如我们可以附加两条直线垂直的条件，也可以附加一条直线与一条曲线相切的条件，等等，当然，我们不用太担心，这些条件都是与我们教材上的基本数学概念相对应的，它们分别与一个或一组固定模式的方程相对应，而且，通过少数几条通用规则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的，就是针对这些特定条件选择合适的通用规则来列方程。这个步骤涉及的主要通用规则：‎ 1、 两点的距离 2、两个点的对称点 3、两条直线垂直 ‎ ‎ 4、两条直线平行 5、两条直线的夹角 6、点到直线的距离 ‎7、正余铉定理及面积公式 8、向量规则 9、直线与曲线的位置关系 把直线方程代入曲线方程，得形如的一元二次方程：‎ ‎①当时，直线与曲线有一个交点；‎ ‎②当时，直线与曲线相切；‎ ‎③当时，直线与曲线有两个交点；‎ ‎④当时，或当时，直线与曲线无交点；‎ 这个步骤的处理关键是根据条件的特点选择适当的通用规则组合。‎ 步骤四：（四处理）按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式。‎ 一般情况步骤1、2、3 完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。这个步骤就是方程组的求解了，解方程组实际上就是用加减乘除四则混合运算以及乘方、开方等来消除方程的参数。不过，这里我们也给出三条消参的原则：‎ ‎1、把方程中的所有未知量都视为参数。比如，如果某个点的坐标为，而都是未知的，我们把它们都视为方程组的参数。‎ ‎2、消参的原则是，把与答案无关的参数消去，留下与答案有关的参数。或者说在解方程组的时候，用与答案有关的参数来表示与答案无关的参数。‎ ‎3、消参完成后，把结果表示成答案要求的形式。‎ 例题分析：‎ ‎2011年全国卷Ⅱ理（21）文科（22）（本小题满分12分）‎ 已知为坐标原点，为椭圆 在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与两点，点满足.‎ ‎(I)证明：点在上；‎ ‎(II)设点关于点的对称点为，证明：四点在同一圆上.‎ ‎【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。‎ ‎【解析】(I),的方程为代入并化简得 ‎.   …………………………2分设,‎ 则 ‎   由题意得 所以点的坐标为.‎ ‎                                  满足方程,故点在椭圆上 …6分 ‎(II)由和题设知，的垂直平分线的方程为 ‎.           ①‎ 设的中点为的垂直平分线的方程为 ‎.             ②‎ 由①、②得的交点为.         …………………………9分 故 ‎ 又   ,‎ 所以 ‎ 由此知四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分 ‎【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，相对来讲比较有利的方面，也就是这道题的特点是没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，这个跟平时做的不太一样，反而同学不知道怎么下手，完成有难度。这两问出的非常巧妙，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个四点共圆，这都是平时很少涉及到的解析几何本质的内容。让学生掌握解析几何的本质，其实就是用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆心不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题，方法确定以后计算量其实比往年少。‎ 建议：‎ 多练多体会！‎ ‎（2009）（22）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B ‎ ‎ 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 ‎（Ⅰ）求a,b的值；‎ ‎（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？‎ 若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎（2010文）（20）（本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆E：+=1（）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。‎ ‎（Ⅰ）求 （Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值。‎ ‎（2012文）（20）（本小题满分12分）‎ 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。‎ ‎（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。‎ ‎21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ ‎（2013课标全国2理）（20）(本小题满分12分)‎ 平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为。‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值。‎ ‎（2014文、理）20. （本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎（2014预测题）21.(本题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率，且点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知、为椭圆上的动点,当时,求证:直线恒过一个定点.并求出该定点的坐标.‎