高考数学函数专题习题集答案

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高考数学函数专题习题集答案

函数专题练习 (一) 选择题(12个)‎ ‎1.函数的反函数是(   )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎ ‎ ‎2.已知是上的减函数,那么的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间上的任意,恒成立”的只有 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.已知是周期为2的奇函数,当时,设则 ‎(A)   (B)   (C)   (D)‎ ‎5.函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ ‎6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. B. C. D. ‎ ‎7、函数的反函数的图像与轴交于点 ‎(如右图所示),则方程在上的根是 A.4 B‎.3 C. 2 D.1‎ ‎8、设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 ‎ (A)是奇函数 (B)是奇函数 ‎ ‎(C) 是偶函数 (D) 是偶函数 ‎9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则 A. B.‎ C. D.‎ ‎10、设 ‎(A)0  (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎11、对a,bR,记max{a,b}=,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是 ‎(A)0 (B) (C) (D)3‎ ‎12、关于的方程,给出下列四个命题:‎ ‎①存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;‎ ‎②存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;‎ ‎③存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;‎ ‎④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根;‎ 其中假命题的个数是 A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ (一) 填空题(4个)‎ ‎1.函数对于任意实数满足条件,若则_______________。‎ ‎2设则__________‎ ‎3.已知函数,若为奇函数,则________。‎ ‎4. 设,函数有最小值,则不等式的解集为 。‎ (二) 解答题(6个)‎ ‎1. 设函数.‎ ‎(1)在区间上画出函数的图像;‎ ‎(2)设集合. 试判断集合和之间的关系,并给出证明;‎ ‎(3)当时,求证:在区间上,的图像位于函数图像的上方.‎ ‎ ‎ ‎2、设f(x)=3ax,f(0)>0,f(1)>0,求证:‎ ‎(Ⅰ)a>0且-2<<-1;‎ ‎(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根. ‎ ‎3. 已知定义域为的函数是奇函数。‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;‎ ‎4.设函数f(x)=其中a为实数.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间.‎ ‎5. 已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.‎ ‎(I)用表示,并求的最大值;‎ ‎(II)求证:().‎ ‎6. 已知函数,是方程f(x)=0的两个根,是f(x)的导数;设,(n=1,2,……)‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)证明:对任意的正整数n,都有>a;‎ ‎ (3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。‎ (一) 创新试题 ‎1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于( )‎ A. B. C. −1 D. 1‎ 解答:‎ 一、选择题 ‎1解:由得:,所以为所求,故选D。‎ ‎2解:依题意,有‎0‎7a-1,当x>1时,logax<0,所以‎7a-1³0解得x³故选C ‎3解:|>1<1 |<|x1-x2|故选A ‎4解:已知是周期为2的奇函数,当时,设,,<0,∴,选D.‎ ‎5解:由,故选B.‎ ‎6解:B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.‎ ‎7解:的根是2,故选C ‎8解:A中则,‎ 即函数为偶函数,B中,此时与的关系不能确定,即函数的奇偶性不确定,‎ C中,,即函数为奇函数,D中,,即函数为偶函数,故选择答案D。‎ ‎9解:函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以是的反函数,即=,∴ ,选D.‎ ‎10解:f(f(2))=f(1)=2,选C ‎11解:当x<-1时,|x+1|=-x-1,|x-2|=2-x,因为(-x-1)-(2-x)=-3<0,所以2-x>-x-1;当-1£x<时,|x+1|=x+1,|x-2|=2-x,因为(x+1)-(2-x)=2x-‎ ‎1<0,x+1<2-x;当£x<2时,x+1³2-x;当x³2时,|x+1|=x+1,|x-2|=x-2,显然x+1>x-2;‎ 故据此求得最小值为。选C ‎12解:关于x的方程可化为…(1)‎ 或(-11,所以不等式 可化为x-1>1,即x>2.‎ 三、解答题 ‎1解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ (2)方程的解分别是和,由于在和上单调递减,在和上单调递增,因此 ‎. ‎ ‎ 由于. ‎ ‎ (3)[解法一] 当时,.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ . 又,‎ ‎ ① 当,即时,取,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ 则. ‎ ‎ ② 当,即时,取, =.‎ ‎ 由 ①、②可知,当时,,.‎ ‎ 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.‎ ‎ [解法二] 当时,.‎ 由 得,‎ ‎ 令 ,解得 或, ‎ 在区间上,当时,的图像与函数的图像只交于一点; 当时,的图像与函数的图像没有交点. ‎ 如图可知,由于直线过点,当时,直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方. ‎ ‎2(I)证明:因为,所以.‎ 由条件,消去,得;‎ 由条件,消去,得,.‎ 故.‎ ‎(II)抛物线的顶点坐标为,‎ 在的两边乘以,得.‎ 又因为而 所以方程在区间与内分别有一实根。‎ 故方程在内有两个实根.‎ ‎3解:(Ⅰ)因为是奇函数,所以=0,即 ‎ 又由f(1)= -f(-1)知 ‎ (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,易知在上 为减函数。又因是奇函数,从而不等式: ‎ 等价于,因为减函数,由上式推得:‎ ‎.即对一切有:,‎ 从而判别式 解法二:由(Ⅰ)知.又由题设条件得:         ,‎ ‎  即 :,‎ 整理得 ‎ 上式对一切均成立,从而判别式 ‎4解:(Ⅰ)的定义域为,恒成立,,‎ ‎,即当时的定义域为.‎ ‎(Ⅱ),令,得.‎ 由,得或,又,‎ 时,由得;‎ 当时,;当时,由得,‎ 即当时,的单调减区间为;‎ 当时,的单调减区间为.‎ ‎5解:(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同.‎ ‎,,由题意,.‎ 即由得:,或(舍去).‎ 即有.‎ 令,则.于是 当,即时,;‎ 当,即时,.‎ 故在为增函数,在为减函数,‎ 于是在的最大值为.‎ ‎(Ⅱ)设,‎ 则.‎ 故在为减函数,在为增函数,‎ 于是函数在上的最小值是.‎ 故当时,有,即当时,.‎ ‎6解析:(1)∵,是方程f(x)=0的两个根,‎ ‎∴;‎ ‎ (2),‎ ‎=,∵,∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴同,样,……,(n=1,2,……),‎ ‎ (3),而,即,‎ ‎,同理,,又 四、 创新试题 ‎1解:依题意,有x1=50+x3-55=x3-5,x1
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