2015高考数学人教A版本（12-2坐标系与参数方程）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（12-2坐标系与参数方程）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　)‎ A．两个圆　　　　　　　　 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 ‎[答案]　C ‎[解析]　原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线．‎ ‎(理)(2013·北京西城期末)在极坐标系中，已知点P(2，)，则过点P且平行于极轴的直线的方程是(　　)‎ A．ρsinθ＝1　　　　　 　　 B．ρsinθ＝ C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝ ‎[答案]　A ‎[解析]　点P(2，)的直角坐标为(，1)，‎ ‎∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k＝0.‎ 所求直线的普通方程为y＝1，化为极坐标方程为ρsinθ＝1，故选A.‎ ‎2．(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线(t为参数)被圆ρ＝3截得的弦长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　圆的直角坐标方程为x2＋y2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x－2y＋3＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d＝.所以弦长为2＝.‎ ‎(理)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|＝(　　)‎ A．1　　　　 B．2　　　　‎ C．3　　　　 D．4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x ‎＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.‎ ‎3．(文)(2013·北京海淀期末)已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为(　　)‎ A.，(1,0) B.，(－1,0)‎ C.，(1,0) D.，(－1,0)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵直线l的普通方程为x＋y＝0，‎ ‎∴直线l的倾斜角为.‎ 又∵圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4，‎ ‎∴圆心坐标为(1,0)，故选C.‎ ‎(理)(2013·山西太原测评)若直线(t为参数)被曲线(θ为参数，θ∈R)所截，则截得的弦的长度是(　　)‎ A. B. C. D．6 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵∴x＋2y＋3＝0.‎ ‎∵∴(x－1)2＋(y－1)2＝9，‎ ‎∴圆心(1,1)到直线x＋2y＋3＝0的距离 d＝＝，‎ 弦长为2＝，故选B.‎ ‎4．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝－＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.‎ ‎5．(文)在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线的方程是(　　)‎ A．ρcosθ＝ B．ρsinθ＝ C．ρ＝cosθ D．ρ＝sinθ ‎[答案]　B ‎[解析]　设P(ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsinθ＝2sin，∴ρsinθ＝，故选B.‎ ‎(理)(2013·安徽理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)‎ A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2‎ B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2‎ C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1‎ D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ 所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.‎ ‎6．(2012·淮南市二模)已知曲线C：(θ为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝(　　)‎ A. B．－ C．0 D．± ‎[答案]　D ‎[解析]　将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到＝1，解得b＝±.‎ 二、填空题 ‎7．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝______.‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　l1：(t为参数)‎ 化为普通方程为y－2＝－(x－1)，‎ l2：(s为参数)化为普通方程为y－1＝－2x，‎ ‎∵l1⊥l2，∴－·(－2)＝－1，k＝－1.‎ ‎8．(文)(2013·江西理，15)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．‎ ‎[答案]　ρcos2θ－sinθ＝0‎ ‎[解析]　由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y＝x2.‎ 由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.‎ ‎(理)(2013·陕西理，15)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．‎ ‎[答案]　(θ为参数)‎ ‎[解析]　由三角函数定义知＝tanθ(x≠0)，y＝xtanθ，‎ 由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，‎ 则y＝xtanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，‎ 又θ＝时，x＝0，y＝0也适合题意，‎ 故参数方程为(θ为参数)．‎ ‎[解法探究]　因为直线OP与圆的交点为P，所以点P与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程．‎ 将圆x2＋y2－x＝0配方得，(x－)2＋y2＝，‎ ‎∴圆的直径为1.‎ 设P(x，y)，则|OP|＝cosθ，‎ x＝|OP|cosθ＝cos2θ，‎ y＝|OP|sinθ＝sinθcosθ.‎ ‎∴圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎9．(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中，点P(1，)到直线l：ρcos(θ＋)＝上的点的最短距离为________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　注意到点P(1，)的直角坐标是(0,1)，直线l：ρcos(θ＋)＝的直角坐标方程是x－y－3＝0，因此点P(1，)到直线l上的点的最短距离，即点P到直线l的距离，等于＝2.‎ ‎(理)在极坐标系中，圆ρ＝4cosθ的圆心C到直线ρsin(θ＋)＝2的距离为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　注意到圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，圆心C的坐标是(2,0)．直线ρsin(θ＋)＝2的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于＝.‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2012·河南六市联考)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)将C1化为直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线C1与C2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，‎ 所以C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.‎ ‎(2)C2的直角坐标方程为3x－4y－1＝0，‎ C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．‎ 圆心C1(2,0)到直线C2的距离 d＝＝1<2.‎ 所以C1与C2相交．‎ 相交弦长|AB|＝2＝2.‎ ‎(理)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：ρ＝1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)‎ ‎(1)当α＝时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．‎ ‎[解析]　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，‎ C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 法1：联立方程组 解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)，‎ 所以截得的弦长为＝1.‎ 法2：原点O到直线C1的距离为＝，‎ 又圆C2的半径为1，所以截得的弦长为2＝2×＝1.‎ ‎(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.‎ A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，‎ 故当α变化时，A点轨迹的参数方程为(α为参数)．‎ 所以A点轨迹的普通方程为x2＋y2－x＝0.‎ 能力拓展提升 一、填空题 ‎11．(2013·广东理，14)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．‎ ‎[答案]　ρsin(θ＋)＝ ‎[解析]　∵曲线C的参数方程为(t为参数)，‎ ‎∴其普通方程为x2＋y2＝2.‎ 又点(1,1)在曲线C上，∴曲线l的斜率k＝－1.‎ 故l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，‎ 即ρsin(θ＋)＝.‎ ‎12．(文)极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ ‎∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；‎ ‎∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，‎ 易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.‎ ‎(理)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　直线l方程化为x＋y－4＝0，‎ ‎⊙C方程化为x2＋y2－4x＋3＝0，‎ 即(x－2)2＋y2＝1.‎ 圆心C(2,0)到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴|PQ|min＝－1.‎ ‎13．(文)(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为________．‎ ‎[答案]　(2,5)‎ ‎[解析]　将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，‎ 由解得 故交点坐标为(2,5)．‎ ‎(理)以椭圆＋＝1的焦点为焦点，以直线 为渐近线的双曲线的参数方程为________________．‎ ‎[答案]　(θ≠kπ＋)‎ ‎[解析]　∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c＝3，‎ 又直线化为y＝2x，它是双曲线的渐近线，‎ ‎∴＝2，∴a2＝1，b2＝8，∴a＝1，b＝2，‎ ‎∴双曲线的参数方程为(θ≠kπ＋)．‎ ‎14．(2013·广东广州调研)已知圆C的参数方程为(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，则直线l被圆C所截得的弦长是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　圆C的参数方程化为普通方程为x2＋(y－2)2＝1，‎ 直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 圆心到直线的距离d＝＝，‎ 故圆C截直线l所得的弦长为2＝.‎ 二、解答题 ‎15．(文)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)设l与圆ρ＝2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．‎ ‎[解析]　(1)直线的参数方程是(t是参数)‎ ‎(2)因为点A、B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，圆ρ＝2化为直角坐标系的方程x2＋y2＝4.‎ 将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(＋1)t－2＝0①‎ 因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2，‎ ‎∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.‎ ‎(理)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(－1,2)，方向向量为n＝(－1，)的直线，圆方程ρ＝2cos(θ＋)．‎ ‎(1)求直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值．‎ ‎[解析]　(1)∵n＝(－1，)，∴直线的倾斜角α＝.‎ ‎∴直线的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)．‎ ‎(2)∵ρ＝2(cosθ＋sinθ)＝cosθ＋sinθ，‎ ‎∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.‎ ‎∴x2＋y2－x＋y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋2)t＋6＋2＝0.‎ ‎∴|t1t2|＝6＋2，即|PM|·|PN|＝6＋2.‎ ‎16．(文)(2013·贵州六校联考)已知圆C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)．‎ ‎(1)将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)圆C1、C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由得x2＋y2＝1，‎ 又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，‎ ‎∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.‎ ‎∴x2＋y2－x＋y＝0，‎ 即(x－)2＋(y＋)2＝1.‎ ‎(2)圆心距d＝ ‎＝1<2，得两圆相交．‎ 设交点为A，B，由 得A(1,0)，B(－，－)，‎ ‎∴|AB|＝＝.‎ ‎(理)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ ‎[解析]　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．‎ ‎(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.‎ A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，‎ 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)，‎ 消去参数得P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝，‎ 故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．‎ 考纲要求 ‎1．了解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2．了解极坐标的基本概念．会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．‎ ‎4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．‎ ‎5．了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ 补充说明 ‎1．极坐标系的概念 在平面内取一个定点O为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标．如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R.‎ ‎2．柱坐标系 ‎(1)如图，空间直角坐标系O－xyz中，设P是空间任意一点，它在xoy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面xoy上的极坐标．则点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞

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