三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 立体几何中的翻折问题 文

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第56课 立体几何中的翻折问题 ‎ ‎1.（2019东城一模）如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，.（如图）‎ ‎（1）若为中点，求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：.‎ 证明：（1）取中点，连结．‎ 在中，分别为的中点，‎ ‎ ∴∥，且． ‎ ‎ ∴∥,且，‎ ‎ ∴∥，且． ‎ ‎ ∴四边形为平行四边形，∴∥． ‎ ‎ 又∵平面，且平面，‎ ‎ ∴∥平面． ‎ ‎（2） 取中点，连结.‎ ‎∴，而，‎ 即是正三角形. ‎ 又∵, ∴. ‎ ‎∴在图2中有. ‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴⊥平面. ‎ 又平面，∴⊥. ‎ ‎2．（2019海淀一模）已知菱形中，， （如图1所示），将菱形沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点，，分别是，，的中点．‎ ‎（1）证明： //平面；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）当时，求线段的长．‎ 证明：（1）∵点分别是的中点，‎ ‎ 又平面，平面，‎ ‎ ∴平面． ‎ ‎ （2）在菱形中，设为的交点，‎ ‎　　　　 则． ‎ ‎　　 ∴ 在三棱锥中，‎ ‎　　　　又 　‎ ‎∴ 平面． ‎ ‎　　　　　又平面，∴．‎ ‎　　　（3）连结．‎ 在菱形中，，‎ ‎　　　 　∴ 是等边三角形，‎ ‎　　　　　∵ 为中点，‎ ‎ 又 ，．‎ ‎ ∴平面，即平面．‎ ‎ 又 平面，∴ ．‎ ‎3．（2019汕头二模）如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长．‎ ‎【解析】（1）证明：在菱形中，‎ ‎∵平面⊥平面，‎ 平面平面，且平面，‎ ‎∴平面， ‎ ‎∵平面，∴． ‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎（2）设．‎ 由（1）知，平面， ‎ ‎∴为三棱锥及四棱锥的高， ‎ ‎4．（2019西城一模）如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）若，求证：； ‎ ‎（3）求四面体体积的最大值．‎ ‎【解析】（1）证明：∵四边形，都是矩形，‎ ‎ ∴ 四边形是平行四边形， ‎ ‎ ∵ 平面，∴ ∥平面．‎ ‎（2）证明：设．‎ ‎∵平面平面，且， ‎ ‎∴ 平面， ∴ ． ‎ 又 ， ∴四边形为正方形，‎ ‎∴ 平面， ∴ ． ‎ ‎（3）设，则，其中．‎ 由（1）得平面，‎ ‎∴四面体的体积为 当且仅当，即时，取等号，‎ ‎∴时，四面体的体积最大． ‎