2013年广东高考理科数学试题及答案

2013年广东高考理科数学试题及答案

试卷类型：A ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）题目及答案 本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。‎ 锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1 . 设i为虚数单位，则复数=‎ A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i ‎ ‎2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM=‎ A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}‎ ‎3 若向量=（2,3），=（4,7），则=‎ A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)‎ ‎4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+‎ ‎5.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1‎ ‎6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A．12π B.45π C.57π D.81π ‎7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且a·b和b·a都在集合中，则 A． B‎.1 C. D. ‎ 16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎ (一）必做题（9-13题）‎ ‎9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。‎ ‎10. 的展开式中x³的系数为______。（用数字作答）‎ ‎11.已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=-4，则an=____。‎ ‎12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。‎ ‎13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为 。‎ （二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。‎ ‎15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。‎ 三． 解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π。‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）设，，，求cos（α＋β）的值。‎ ‎17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。‎ ‎（1）、证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（2）、若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列。‎ ‎（1）、求a1的值；‎ ‎（2）、求数列{an}的通项公式。‎ ‎（3）、证明：对一切正整数n，有.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e= ，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 设a＜1，集合 ‎（1）求集合D（用区间表示）‎ ‎（2）求函数在D内的极值点。‎ ‎2012年广东高考理科数学参考答案 一、选择题 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 D C A A B C D C 二、填空题 ‎９.　 ； 10.　； 11.　2n-1； 12.　y=2x+1； 13.　16；‎ ‎14.　 ； 15.　；‎ 三、解答题 ‎16．解：(1)=‎ ‎(2) ‎ ‎17.‎ ‎（1）由得 ‎（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 ‎ 随机变量的可能取值有0,1,2‎ ‎∴ ‎ ‎18.‎ ‎（1）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）设AC与BD交点为O，连 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 为二面角的平面角 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 在，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 二面角的平面角的正切值为3‎ ‎19.‎ ‎（1）在中 ‎ 令得：‎ ‎ 令得：‎ 解得：，‎ 又 解得 ‎（2）由 得 又也满足 所以成立 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎（3）‎ ‎（法一）∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎（法二）∵‎ ‎∴ ‎ 当时，‎ ‎………‎ 累乘得： ‎ ‎∴‎ ‎20.‎ ‎（1）由得，椭圆方程为 椭圆上的点到点Q的距离 当①即,得 当②即,得（舍）‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 椭圆方程为 ‎（2）‎ 当，取最大值，‎ 点O到直线距离 ‎∴‎ 又∵‎ 解得：‎ 所以点M的坐标为 的面积为 ‎21.‎ ‎（1）记 ‎ ‎ ① 当，即，‎ ② 当，‎ ③ 当，‎ ‎（2）由得 ‎① 当，‎ ② 当，∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ③ 当，则 又∵‎ ‎∴ ‎