2000高考数学全国卷及答案理

2000高考数学全国卷及答案理

‎2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎(1) 设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) 3‎ ‎(C) 4‎ ‎(D) 5‎ ‎(2) 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) 3‎ ‎(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是 ( )‎ ‎(A) 2‎ ‎(B) 3‎ ‎(C) 6‎ ‎(D) ‎ ‎(4) 已知，那么下列命题成立的是 ( )‎ ‎(A) 若、是第一象限角，则 ‎(B) 若、是第二象限角，则 ‎(C) 若、是第三象限角，则 ‎(D) 若、是第四象限角，则 ‎(5) 函数的部分图像是 ( )‎ ‎(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：‎ 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 ‎5%‎ 超过500元至2000元的部分 ‎10%‎ 超过2000元至5000元的部分 ‎15%‎ ‎…‎ ‎…‎ 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )‎ ‎(A) 800~900元 ‎(B) 900~1200元 ‎(C) 1200~1500元 ‎(D) 1500~2800元 ‎(7) 若，P=，Q=，R=，则 ( )‎ ‎(A) RPQ ‎(B) PQ R ‎(C) Q PR ‎(D) P RQ ‎(8) 以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(10) 过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(11) 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(12) 如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ 第II卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．‎ ‎(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答) ‎ ‎(14) 椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________‎ ‎(15) 设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，…)，则它的通项公式是=_______‎ ‎(16) 如图，E、F分别为正方体的面、面 的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎(17) (本小题满分12分)‎ 已知函数，．‎ ‎(I) 当函数取得最大值时，求自变量的集合；‎ ‎(II) 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？‎ ‎(18) (本小题满分12分)‎ 如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．‎ ‎(I) 证明：⊥BD；‎ ‎(II) 假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值；‎ ‎ (III) 当的值为多少时，能使平面？请给出证明．‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ 设函数，其中．‎ ‎(I) 解不等式；‎ ‎(II) 求的取值范围，使函数在区间上是单调函数．‎ ‎(20) (本小题满分12分)‎ ‎(I) 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；‎ ‎(II) 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．‎ ‎(21) (本小题满分12分)‎ 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．‎ ‎(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；‎ ‎ 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；‎ ‎(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？‎ ‎(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)‎ ‎(22) (本小题满分14分)‎ 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．‎ ‎2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．‎ ‎(13)252 (14)－ (15) (16)②③‎ 三．解答题 ‎(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．‎ 解：(Ⅰ)‎ y=cos2x＋sinxcosx＋1‎ ‎=(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1‎ ‎=cos2x＋sin2x＋=(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋‎ ‎=sin(2x＋)＋ ——6分 y取得最大值必须且只需 ‎2x＋=＋2kπ，k∈Z，‎ 即 x=＋kπ，k∈Z． ‎ 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 ‎{x|x=＋kπ，k∈Z } ——8分 ‎(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换：‎ ‎(i)把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x＋)的图像；‎ ‎(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；‎ ‎(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；‎ ‎(iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x＋)＋的图像；综上得到函数y=cos2x＋sinxcosx＋1的图像． ——12分 ‎(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．‎ ‎(Ⅰ)证明：连结A‎1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O．‎ ‎∵ 四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴ AC⊥BD，BD=CD．‎ 又∵∠BCC1=∠DCC1，C‎1C= C‎1C，‎ ‎∴ △C1BC≌△C1DC ‎∴ C1B=C1D，‎ ‎∵ DO=OB ‎∴ C1O⊥BD， ——2分 但AC⊥BD，AC∩C1O=O，‎ ‎∴ BD⊥平面AC1，‎ 又C‎1C平面AC1‎ ‎∴ C‎1C⊥BD． ——4分 ‎(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C1O⊥BD，‎ ‎∴ ∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．‎ 在△C1BC中，BC=2，C‎1C=，∠BCC1=60º，‎ ‎∴ C1B2=22＋()2－2×2××cos60º= ——6分 ‎∵ ∠OCB=30º，‎ ‎∴ OB=BC=1．‎ ‎∴C1O2= C1B2－OB2=，‎ ‎∴ C1O=即C1O= C‎1C．‎ 作 C1H⊥OC，垂足为H．‎ ‎∴ 点H是OC的中点，且OH=，‎ 所以cos∠C1OC==． ——8分 ‎(Ⅲ)当=1时，能使A‎1C⊥平面C1BD 证明一：‎ ‎∵ =1，‎ ‎∴ BC=CD= C‎1C，‎ 又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，‎ 由此可推得BD= C1B = C1D．‎ ‎∴ 三棱锥C－C1BD是正三棱锥． ——10分 设A‎1C与C1O相交于G．‎ ‎∵ A‎1 C1∥AC，且A‎1 C1∶OC=2∶1，‎ ‎∴ C‎1G∶GO=2∶1．‎ 又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，‎ ‎∴ 点G是正三角形C1BD的中心，‎ ‎∴ CG⊥平面C1BD．‎ 即A‎1C⊥平面C1BD． ——12分 证明二：‎ 由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，‎ ‎∵ A‎1 C平面AC1，∴BD⊥A‎1 C． ——10分 当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，‎ 同BD⊥A‎1 C的证法可得BC1⊥A‎1C，‎ 又BD⊥BC1=B，‎ ‎∴ A‎1C⊥平面C1BD． ——12分 ‎(19)‎ 本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．‎ 解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即 ‎≤1＋ax，‎ 由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．‎ 所以，原不等式等价于 即 ——3分 所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0}；‎ 当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}． ——6分 ‎(Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2．‎ f(x1)－f(x2)= －－a(x1－x2)‎ ‎ =－a(x1－x2)‎ ‎ =(x1－x2)(－a)． ——8分 ‎(ⅰ)当a≥1时 ‎∵ <1‎ ‎∴ －a<0，‎ 又x1－x2<0，‎ ‎∴ f(x1)－f(x2)>0，‎ 即f(x1)>f(x2)．‎ 所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数． ——10分 ‎(ii)当02pq，又a1、b1不为零，‎ 因此c1·c3，故{cn}不是等比数列． ——12分 ‎(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．‎ 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300． ——4分 ‎(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)－g(t)‎ 即h(t)= ——6分 当0≤t≤200时，配方整理得 h(t)=－(t－50)2＋100，‎ 所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；‎ 当20087.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分 ‎(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分． ‎ 解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．‎ 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称． ——2分 依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x0, y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．‎ 由定比分点坐标公式得 x0== ，‎ ‎．‎ 设双曲线的方程为，则离心率.‎ 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ‎， ①‎ ‎． ② ——7分 由①式得 ， ③‎ 将③式代入②式，整理得 ‎，‎ 故 ． ——10分 由题设得，．‎ 解得．‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为． ——14分