2018江苏数学高考真题

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2018江苏数学高考真题

2018 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分,考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位 置作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式: 锥体的体积 ,其中 是锥体的底面积, 是锥体的高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1.已知集合 , ,那么 ▲ . 2.若复数 满足 ,其中 i 是虚数单位,则 的实部为 ▲ . 3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数的 平均数为 ▲ . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为 ▲ . 1 3V Sh= S h {0,1,2,8}A = { 1,1,6,8}B = − A B = z i 1 2iz⋅ = + z 5.函数 的定义域为 ▲ . 6.某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则恰好选中 2 名 女生的概率为 ▲ . 7.已知函数 的图象关于直线 对称,则 的值是 ▲ . 8.在平面直角坐标系 中,若双曲线 的右焦点 到一条渐近 线的距离为 ,则其离心率的值是 ▲ . 9.函数 满足 ,且在区间 上, 则 的值为 ▲ . 10.如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ . 2( ) log 1f x x= − sin(2 )( )2 2y x ϕ ϕπ π= + − < < 3x π= ϕ xOy 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( ,0)F c 3 2 c ( )f x ( 4) ( )( )f x f x x+ = ∈R ( 2,2]− cos ,0 2,2( ) 1| |, 2 0,2 x x f x x x π < ≤=   + < ≤ - ( (15))f f 11.若函数 在 内有且只有一个零点,则 在 上的 最大值与最小值的和为 ▲ . 12.在平面直角坐标系 中,A 为直线 上在第一象限内的点, ,以 AB 为 直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 ,则点 A 的横坐标为 ▲ . 13.在 中,角 所对的边分别为 , , 的平分线交 于点 D,且 ,则 的最小值为 ▲ . 14.已知集合 , .将 的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列 .记 为数列 的前 n 项和,则使得 成立的 n 的最小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在平行六面体 中, . 求证:(1) ; (2) . 16.(本小题满分 14 分) 已知 为锐角, , . (1)求 的值; (2)求 的值. 17.(本小题满分 14 分) 某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 (P 为此圆弧的中点) 和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距 离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的 地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为 ,要求 均在线段 上, 均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的 角为 . 3 2( ) 2 1( )f x x ax a= − + ∈R (0, )+∞ ( )f x [ 1,1]− xOy : 2l y x= (5,0)B 0AB CD⋅ =  ABC△ , ,A B C , ,a b c 120ABC∠ = ° ABC∠ AC 1BD = 4a c+ *{ | 2 1, }A x x n n= = − ∈N *{ | 2 , }nB x x n= = ∈N A B { }na nS { }na 112n nS a +> 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1,AA AB AB B C= ⊥ 1 1AB A B C平面∥ 1 1 1ABB A A BC⊥平面 平面 ,α β 4tan 3 α = 5cos( ) 5 α β+ = − cos2α tan( )α β− MPN CDP△ ,A B MN ,C D θ (1)用 分别表示矩形 和 的面积,并确定 的取值范围; (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 .求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 C 过点 ,焦点 ,圆 O 的直径为 . (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; ②直线 l 与椭圆 C 交于 两点.若 的面积为 , 求直线 l 的方程. 19.(本小题满分 16 分) 记 分别为函数 的导函数.若存在 ,满足 且 ,则称 为函数 与 的一个“S 点”. (1)证明:函数 与 不存在“S 点”; (2)若函数 与 存在“S 点”,求实数 a 的值; (3)已知函数 , .对任意 ,判断是否存在 ,使函 数 与 在区间 内存在“S 点”,并说明理由. 20.(本小题满分 16 分) 设 是首项为 ,公差为 d 的等差数列, 是首项为 ,公比为 q 的等比数列. (1)设 ,若 对 均成立,求 d 的取值范围; ( 2 ) 若 , 证 明 : 存 在 , 使 得 对 均成立,并求 的取值范围(用 表示). 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分. θ ABCD CDP△ sinθ 4:3 θ xOy 1( 3, )2 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 1 2F F ,A B OAB△ 2 6 7 ( ), ( )f x g x′ ′ ( ), ( )f x g x 0x ∈R 0 0( ) ( )f x g x= 0 0( ) ( )f x g x′ ′= 0x ( )f x ( )g x ( )f x x= 2( ) 2 2g x x x= + − 2( ) 1f x ax= − ( ) lng x x= 2( )f x x a= − + e( ) xbg x x = 0a > 0b > ( )f x ( )g x (0, )+∞ { }na 1a { }nb 1b 1 10, 1, 2a b q= = = 1| |n na b b− ≤ 1,2,3,4n = * 1 1 0, , (1, 2]ma b m q= > ∈ ∈N d ∈R 1| |n na b b− ≤ 2,3, , 1n m= + d 1, ,b m q 1.{1,8} 2.2 3.90 4.8 5.[2,+∞) 6. 7. 8.2 9. 10. 11.–3 12.3 13.9 14.27 二、解答题 15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象 能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明:(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥A1B1. 因为 AB 平面 A1B1C,A1B1 平面 A1B1C, 所以 AB∥平面 A1B1C. (2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABB1A1 为平行四边形. 又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1 为菱形, 因此 AB1⊥A1B. 又因为 AB1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以 AB1⊥BC. 又因为 A1B∩BC=B,A1B 平面 A1BC,BC 平面 A1BC, 所以 AB1⊥平面 A1BC. 因为 AB1 平面 ABB1A1, 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. 16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求 解能力.满分 14 分. 解:(1)因为 , ,所以 . 因为 ,所以 , 因此, . (2)因为 为锐角,所以 . 又因为 ,所以 , 因此 . 4tan 3 α = sintan cos αα α= 4sin cos3 α α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 9cos 25 α = 2 7cos2 2cos 1 25 α α= − = − ,α β (0,π)α β+ ∈ 5cos( ) 5 α β+ = − 2 2 5sin( ) 1 cos ( ) 5 α β α β+ = − + = tan( ) 2α β+ = − 3 10 π 6 − 2 2 4 3 ⊄ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ 因为 ,所以 , 因此, . 17.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解:(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H,则 PH⊥MN,所以 OH=10. 过 O 作 OE⊥BC 于 E,则 OE∥MN,所以∠COE=θ, 故 OE=40cosθ,EC=40sinθ, 则矩形 ABCD 的面积为 2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ), △CDP 的面积为 ×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ). 过 N 作 GN⊥MN,分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K,则 GK=KN=10. 令∠GOK=θ0,则 sinθ0= ,θ0∈(0, ). 当 θ∈[θ0, )时,才能作出满足条件的矩形 ABCD, 所以 sinθ 的取值范围是[ ,1). 答:矩形 ABCD 的面积为 800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP 的面积为 1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ 的取值范围是[ ,1). (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3, 设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k>0), 则年总产值为 4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0, ). 设 f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0, ), 则 . 令 ,得 θ= , 当 θ∈(θ0, )时, ,所以 f(θ)为增函数; 当 θ∈( , )时, ,所以 f(θ)为减函数, 因此,当 θ= 时,f(θ)取到最大值. 4tan 3 α = 2 2tan 24tan 2 1 tan 7 αα α= = −− tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+ tan 2 tan( ) 11 α α βα β α α β α α β − +− = − + = = −+ 1 2 1 4 π 6 π 2 1 4 1 4 π 2 π 2 2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f θ θ θ θ θ θ θ θ= − − = − + − = − − +′ ( )=0f θ′ π 6 π 6 ( )>0f θ′ π 6 π 2 ( )<0f θ′ π 6 答:当 θ= 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、 直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.满分 16 分. 解:(1)因为椭圆 C 的焦点为 , 可设椭圆 C 的方程为 .又点 在椭圆 C 上, 所以 ,解得 因此,椭圆 C 的方程为 . 因为圆 O 的直径为 ,所以其方程为 . (2)①设直线 l 与圆 O 相切于 ,则 , 所以直线 l 的方程为 ,即 . 由 ,消去 y,得 .(*) 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 . 因为 ,所以 . 因此,点 P 的坐标为 . ②因为三角形 OAB 的面积为 ,所以 ,从而 . 设 , 由(*)得 , 所以 π 6 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F− 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 3, )2 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b  + =  − = 2 2 4, 1, a b  = = 2 2 14 x y+ = 1 2F F 2 2 3x y+ = 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2 0 0 3x y+ = 0 0 0 0 ( )xy x x yy = − − + 0 0 0 3xy xy y = − + 2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y  + =  = − + 2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x∆ = − − + − = − = 0 0, 0x y > 0 02, 1x y= = ( 2,1) 2 6 7 21 2 6 7AB OP⋅ = 4 2 7AB = 1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1,2 24 48 ( 2) 2(4 ) x y x xx y ± −= + 2 2 2 2 1 21( ) ( )xB y yxA = − + − . 因为 , 所以 ,即 , 解得 舍去),则 ,因此 P 的坐标为 . 综上,直线 l 的方程为 . 19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解 决问题以及逻辑推理能力.满分 16 分. 解:(1)函数 f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则 f′(x)=1,g′(x)=2x+2. 由 f(x)=g(x)且 f′(x)= g′(x),得 ,此方程组无解, 因此,f(x)与 g(x)不存在“S”点. (2)函数 , , 则 . 设 x0 为 f(x)与 g(x)的“S”点,由 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0),得 ,即 ,(*) 得 ,即 ,则 . 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 48 ( 2)(1 ) (4 ) x y x y x y −= + ⋅ + 2 2 0 0 3x y+ = 2 2 0 2 2 0 16( 2) 32 ( 1) 49 xAB x −= =+ 4 2 0 02 45 100 0x x− + = 2 2 0 0 5 ( 202x x= = 2 0 1 2y = 10 2( , )2 2 5 3 2y x= − + 2 2 2 1 2 2 x x x x  = + −  = + 2 1f x ax= −( ) ( ) lng x x= 12f x ax g x x ′ = ′ =( ) , ( ) 2 0 0 0 0 1 ln 12 ax x ax x  − =  = 2 0 0 2 0 1 ln 2 1 ax x ax  − = = 0 1ln 2x = − 1 2 0 ex −= 1 22 1 e 22(e ) a − = = 当 时, 满足方程组(*),即 为 f(x)与 g(x)的“S”点. 因此,a 的值为 . (3)对任意 a>0,设 . 因为 ,且 h(x)的图象是不间断的, 所以存在 ∈(0,1),使得 ,令 ,则 b>0. 函数 , 则 . 由 f(x)=g(x)且 f′(x)=g′(x),得 ,即 (**) 此时, 满足方程组(**),即 是函数 f(x)与 g(x)在区间(0,1)内的一个“S 点”. 因此,对任意 a>0,存在 b>0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+∞)内存在“S 点”. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分 16 分. 解:(1)由条件知: . 因为 对 n=1,2,3,4 均成立, 即 对 n=1,2,3,4 均成立, 即 1 1,1 d 3,3 2d 5,7 3d 9,得 . 因此,d 的取值范围为 . (2)由条件知: . 若存在 d,使得 (n=2,3,···,m+1)成立, 11 2( ,) n n na n d b −= − = 1 1 2 |( ) 1| nn d −− − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 7 5 3 2d≤ ≤ 7 5[ , ]3 2 1 1 1( 1) , n n na b n d b b q −= + − = e 2a = 1 2 0 ex −= 0x e 2 3 2( ) 3h x x x ax a= − − + (0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a= > = − − + = − <, 0x 0( ) 0h x = 0 3 0 0 2 e (1 )x xb x = − 2 e( ) ( ) xbf x x a g x x = − + =, 2 e ( 1)( ) 2 ( ) xb xf x x g x x −= − =′ , ′ 2 2 e e ( 1)2 x x bx a x b xx x − + = −− = 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2 e e (1 ) 2 e ( 1)2 e (1 ) x x x x xx a xx x xx xx − + = ⋅ − −− = ⋅ − 0x 0x 1| |n na b b− ≤ 1| |n na b b− ≤ 即 , 即当 时,d 满足 . 因为 ,则 , 从而 , ,对 均成立. 因此,取 d=0 时, 对 均成立. 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值( ). ①当 时, , 当 时,有 ,从而 . 因此,当 时,数列 单调递增, 故数列 的最大值为 . ②设 ,当 x>0 时, , 所以 单调递减,从而 − 2,3, , 1n m= + 2,3, , 1n m= + 1 2{ }1 nq n − − − 1 { }1 nq n − − 2,3, , 1n m= + 2 n m≤ ≤ 1 1 12 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nq q nq q nq n q q q n n n n n n − − −− − − − + − − +− = =− − − 1 1 2 mq< ≤ 2n mq q≤ ≤ 1( ) 2 0n n nn q q q−− − + > 2 1n m≤ ≤ + 1 2{ }1 nq n − − − 1 2{ }1 nq n − − − 2mq m − ( ) ( )2 1xf x x= − ln 2 1( 0( n) l 2 2) xf x x′ = − − < ( )f x ( )f x 2 n m≤ ≤ 1 1 1 1 12 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n q q nn fq n n n n − −= ≤ − = < − 2 1n m≤ ≤ + 1 { }1 nq n − − 1 { }1 nq n − − mq m 1 1( 2)[ , ] m mb q b q m m − 1| |n na b b− ≤ 数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内 作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A.[选修 4—1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,圆 O 的半径为 2,AB 为圆 O 的直径,P 为 AB 延长线上一 点,过 P 作圆 O 的切线,切点为 C.若 ,求 BC 的长. B.[选修 4—2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 . (1)求 的逆矩阵 ; (2)若点 P 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ,求点 P 的坐标. C.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,直线 l 的方程为 ,曲线 C 的方程为 ,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. D.[选修 4—5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 若 x,y,z 为实数,且 x+2y+2z=6,求 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1=2,点 P,Q 分别为 A1B1,BC 的中点. (1)求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值; (2)求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值. 23.(本小题满分 10 分) 设 ,对 1,2,···,n 的一个排列 ,如果当 s ( , )s ti i 1 2 ni i i 1 2 ni i i 逆序数.例如:对 1,2,3 的一个排列 231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列 231 的逆序数为 2.记 为 1,2,···,n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个 数. (1)求 的值; (2)求 的表达式(用 n 表示). ( )nf k 3 4(2), (2)f f (2)( 5)nf n ≥ 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21.【选做题】 A.[选修 4—1:几何证明选讲] 本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 证明:连结 OC.因为 PC 与圆 O 相切,所以 OC⊥PC. 又因为 PC= ,OC=2, 所以 OP= =4. 又因为 OB=2,从而 B 为 Rt△OCP 斜边的中点,所以 BC=2. B.[选修 4—2:矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分. 解:(1)因为 , ,所以 A 可逆, 从而 . (2)设 P(x,y),则 ,所以 , 因此,点 P 的坐标为(3,–1). C.[选修 4—4:坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分. 解:因为曲线 C 的极坐标方程为 , 所以曲线 C 的圆心为(2,0),直径为 4 的圆. 因为直线 l 的极坐标方程为 , 则直线 l 过 A(4,0),倾斜角为 , 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点. 设另一个交点为 B,则∠OAB= . 连结 OB,因为 OA 为直径,从而∠OBA= , 2 3 2 2PC OC+ 2 3 1 2  =   A det( ) 2 2 1 3 1 0= × − × = ≠A 1−A 2 3 1 2 − =  −  2 3 3 1 2 1 x y      =           1 3 3 1 1 x y −     = =     −     A =4cosρ θ πsin( ) 26 ρ θ− = π 6 π 6 π 2 所以 . 因此,直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 . D.[选修 4—5:不等式选讲] 本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 证明:由柯西不等式,得 . 因为 ,所以 , 当且仅当 时,不等式取等号,此时 , 所以 的最小值为 4. 22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用 空间向量解决问题的能力.满分 10 分. 解:如图,在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中,设 AC,A1C1 的中点分别为 O,O1,则 OB⊥ OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以 为基底,建立空间直角坐标系 O−xyz. 因为 AB=AA1=2, 所以 . (1)因为 P 为 A1B1 的中点,所以 , 从而 , 故 . π4cos 2 36AB = = 2 3 2 2 2 2 2 2 2( )(1 2 2 ) ( 2 2 )x y z x y z+ + + + ≥ + + 2 2 =6x y z+ + 2 2 2 4x y z+ + ≥ 1 2 2 x y z= = 2 4 4 3 3 3x y z= = =, , 2 2 2x y z+ + 1,{ },OB OC OO   1 1 10, 1,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,( ) ( ) ( ) ( ) (2 , 3,0,2 , 0,1,2) ( )A B C A B C− − 3 1( , ,2)2 2P − 1 3 1( , ,2) (0,2,22 2 ),BP AC= =− −  1 1 1 | | | 1 4 | 3 10| cos , | 20| | | | 5 2 2 BP ACBP AC BP AC ⋅ − += = = ⋅ ×      因此,异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 . (2)因为 Q 为 BC 的中点,所以 , 因此 , . 设 n=(x,y,z)为平面 AQC1 的一个法向量, 则 即 不妨取 , 设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 , 则 , 所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 . 23.【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证 能力.满分 10 分. 解:(1)记 为排列 abc 的逆序数,对 1,2,3 的所有排列,有 , 所以 . 对 1,2,3,4 的排列,利用已有的 1,2,3 的排列,将数字 4 添加进去,4 在新排列 中的位置只能是最后三个位置. 因此, . (2)对一般的 n(n≥4)的情形,逆序数为 0 的排列只有一个:12…n,所以 . 逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所 以 . 为计算 ,当 1,2,…,n 的排列及其逆序数确定后,将 n+1 添加进原排列,n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此, . 3 10 20 3 1( , ,0)2 2Q 3 3( , ,0)2 2AQ = 1 1(0,2,2), (0,0,2)AC CC= =  1 0, 0, AQ AC   ⋅ = ⋅ =   n n 3 3 0,2 2 2 2 0. x y y z  + =  + = ( 3, 1,1)= −n θ 1 1 1 | | 2 5sin | cos |, | | | 55 2 CCCC CC | θ = = ⋅ × ⋅ = =   nn n 5 5 ( )abcτ (123)=0 (132)=1 (213)=1 (231)=2 (312)=2 (321)=3τ τ τ τ τ τ, , , , , 3 3 3(0) 1 (1) (2) 2f f f= = =, 4 3 3 3(2) (2) (1) (0) 5f f f f= + + = (0) 1nf = (1) 1nf n= − 1(2)nf + 1(2) (2) (1) (0) (2)n n n n nf f f f f n+ = + + = + 当 n≥5 时, , 因此,n≥5 时, . 1 1 2 5 4 4(2) [ (2) (2)] [ (2) (2)] [ (2) (2)] (2)n n n n nf f f f f f f f− − −= − + − + + − +… 2 4 2( 1) ( 2) 4 (2) 2 n nn n f − −= − + − +…+ + = (2)nf = 2 2 2 n n− −
查看更多

相关文章

您可能关注的文档