新课标高考立体几何线面角的计算归类分析

新课标高考立体几何线面角的计算归类分析

新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析 深圳市第二实验学校 李平 作者简介 李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。‎ 摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. ‎ 关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法 线面角——直线和平面所成的角 ‎1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角.‎ 若直线平面, 则与所成角为;‎ 若直线平面或直线平面, 则与所成角为.‎ ‎2．线面角的范围: .‎ ‎3．线面角的求法：‎ ‎(1)定义法(垂线法)．‎ ‎(2)虚拟法(等体积法). ‎ ‎(3)平移法．‎ ‎(4)向量法.‎ 线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中.‎ 求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法. ‎ 总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想,‎ ‎ 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.‎ 本作者试就这一热点作一比较系统的归类与分析.希望对同学们进行有针对性的训练和复习有一定的帮助.‎ 例题分析 (1) 定义法(垂线法): 斜线与它在平面内的射影所成的角, 即为线面角；解决该类 问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角，在某一直角三角形内求解．‎ 例1[2011·天津卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，‎ ‎∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．‎ ‎(1)证明PB∥平面ACM；‎ ‎(2)证明AD⊥平面PAC；‎ ‎(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．‎ 证明：(1)连接BD，MO.‎ 在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，‎ 所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.‎ 因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.‎ ‎(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，‎ 所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.‎ 又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.‎ 而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.‎ ‎(3)取DO中点N，连接MN，AN.‎ 因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.‎ 由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．‎ 在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.‎ 从而AN＝DO＝.‎ 在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，‎ 即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎【点评】 求线面角, 解题时要明确线面角的范围, 利用转化思想, 将其转化为一个平面内的角, 通过解三角形来解决. 求解的关键是作出垂线, 即从斜线上选取异于斜足的一点作平面的垂线. 有时也可采用间接法和空间向量法, 借助公式直接求解.‎ ‎(2)虚拟法(等体积法)：线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到 平面的距离，利用可求. 即先运用等积法求点到平面的距离，后虚拟直角三角形求解. ‎ 例2．[2011·全国卷] 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．‎ ‎（I） 证明：平面；‎ ‎（II）求与平面所成的角的大小．‎ ‎（I）证明：取的中点，连接，，‎ ‎，，，.‎ E ‎∴，，.‎ ‎∴ 四边形是矩形．‎ ‎∴,.‎ 又∵,,.‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ , ∴ ，即.‎ 同理可证: , 又∵, ∴平面.‎ ‎（II）解: 线面角的求法还可以不用作出平面角,可求出线上某点到平面的距离,利用可求,故只需求点到面的距离即可.‎ 由等积转化思想可知， ① ， ② .‎ 设点到面的距离为,点到面的距离为.‎ 由（I）问可知, 平面, ∴ .‎ 又∵, .‎ 由②式可知, ,即 , .‎ 又∵平面, ∴, 又∵ , ∴.‎ ‎∴ , 又知,‎ ‎∴ , ∴.‎ ‎∴ , ‎ 又∵ .‎ 由①式可知, ,即 , .‎ 由可得, .‎ ‎【点评】 以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想，思路自然，属常规通法，是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法．‎ ‎(3)平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角，也可平移平面．‎ 例3．[2010·山东卷] 如图，在五棱锥P-ABCDE中，平面ABCDE，AB∥CD，‎ AC∥ED，AE∥BC，，三角形PAB是等腰三角形．‎ D C B A E P ‎（Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小．‎ 解：（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，‎ 所以在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 解得，所以，‎ 即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，‎ 又PA，所以，‎ 又AB∥CD，所以，‎ 又因为，所以平面PCD⊥平面PAC；‎ 解法一（平移直线法）：延长线段AE，CD，‎ 相交于点H，连结PH，构成四棱锥P-ABCH，‎ 如图所示.连结BH交AC于点M，取PH中点N，‎ 则MN∥PB，所以直线PB与平面PCD所成的角 就是直线MN与平面PCH所成的角.‎ 过点M作MG⊥PC于点G，因为平面PCD⊥平面PAC，‎ 所以MG⊥平面PCH，所以∠MNG就是直线MN与平面PCH所成的角，‎ 即直线PB与平面PCD所成的角.‎ 取PC的中点F，连结AF，由（1）知PA=AC=，‎ 所以AF⊥PC，因为平面PCD⊥平面PAC，所以AF⊥平面PCH.‎ 又因为MG⊥平面PCE，M为线段AC的中点，所以G为线段FC的中点，‎ 所以MG=AF=1，MN=PB=2，所以sin∠MNG==，所以∠MNG=，‎ 即直线PB与平面PCD所成角的大小为.‎ 解法二（平移平面法）：如图，构造三棱柱.取PC的中点F，连结AF，‎ 由（1）知PA=AC=，所以AF⊥PC，‎ 因为平面PCD⊥平面PAC，所以AF⊥平面PCD.‎ 过点B作点，所以⊥平面PCD. ‎ 连结，则就是PB在平面PCD上的射影，‎ ‎∠BPF′就是直线PB与平面PCD所成的角.‎ 因为sin∠BPF′=，‎ 所以∠BPF′=，即直线PB与平面PCD所成角的大小为.‎ ‎【点评】 利用平行线与平面所成的角的相等性，通过补充图形，完成合理转化.‎ ‎(4)向量法: 设平面的法向量为, 直线与平面所成的角为, 则 ‎.即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题, ‎ 可避免作角这一步骤, 从而降低了求解的难度.‎ 例4．[2007·全国卷]四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ 解：（Ⅰ）作，垂足为，连结，‎ 由侧面底面，得平面．‎ 因为，所以．‎ 又，为等腰直角三角形，．‎ 如图，以为坐标原点，为轴正向，‎ 建立直角坐标系，，，，，，，‎ ‎，所以．‎ ‎（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．‎ ‎，，与平面内两条相交直线，垂直．‎ 所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．，，所以，直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】 即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题, 可避免作角 这一步骤, 从而降低了求解的难度.‎ 参考文献：‎ ‎[1]张健．2011年高考数学试题分类解析（八）—立体几何．中国数学教育，2011(7-8)； [2]何小亚．2011 年广东高考立体几何大题分析.中学数学月刊，2011(8)； [3]赵建勋. 高考立体几何试题分类研究．中学数学研究，2003(3)。 ‎