2008-2012江苏高考数学试卷合集

2008-2012江苏高考数学试卷合集

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1.的最小正周期为，其中，则= ．‎ ‎2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ．‎ ‎3.表示为，则= ．‎ ‎4.A=，则A Z 的元素的个数 ．‎ ‎5.，的夹角为，， 则 ．‎ ‎6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ．‎ ‎7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。‎ 序号 ‎（i）‎ 分组 ‎（睡眠时间）‎ 组中值 ‎（Gi）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率 ‎（Fi）‎ ‎1‎ ‎[4，5]‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5，6]‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6，7]‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7，8]‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8，9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 ．‎ ‎8.设直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ．9在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上的一点（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别与边AC , AB 交于点E、F ，某同学已正确求得OE的方程：，请你完成直线OF的方程：（ ）.‎ ‎10．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2 3‎ ‎4 5 6‎ ‎7 8 9 10‎ ‎ 11 12 13 14 15‎ ‎． ． ． ． ． ． ． ‎ 按照以上排列的规律，数阵中第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．‎ ‎11.已知，满足，则的最小值是 ．‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1( 0)的焦距为2c，以点O为圆心，为半径作圆M，若过点P 所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为= ．‎ ‎13．满足条件AB=2, AC=BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ．‎ ‎14.设函数（x∈R），若对于任意，都有≥0 成立，则实数=‎ ‎ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点，已知A、B 的横坐标分别为．‎ ‎（Ⅰ）求tan()的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎16．如图，在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点E 、F分别是AB、BD 的中点，‎ 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；‎ ‎（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD ．‎ ‎17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．‎ ‎（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：‎ ‎①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；‎ ‎②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．‎ ‎（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．‎ ‎18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．‎ ‎（Ⅰ）求实数b 的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求圆C 的方程；‎ ‎（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．‎ ‎19.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：‎ ‎①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；‎ ‎（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．‎ ‎20.若，，为常数，函数f (x)定义为：对每个给定的实数x，‎ ‎（Ⅰ）求对所有实数x成立的充要条件（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为两实数，满足，且∈,若，求证：在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）．‎ ‎21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 A．选修4—1　几何证明选讲 B C E D A 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：．‎ B．选修4—2　矩阵与变换 在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．‎ C．选修4—4　参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．‎ D．选修4—5　不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：．‎ ‎22．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．‎ ‎23．【必做题】．请先阅读：‎ 在等式（）的两边求导，得：，‎ 由求导法则，得，化简得等式：．‎ ‎（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．‎ ‎（2）对于正整数，求证：‎ ‎（i）； （ii）； （iii）．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学参考答案 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 【答案】10‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的周期公式.‎ ‎2．【答案】‎ ‎【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故 ‎3. 【答案】1‎ ‎【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴＝0，＝1，因此 ‎4. 【答案】0‎ ‎【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．‎ ‎5. 【答案】7‎ ‎【解析】本小题考查向量的线性运算．‎ ‎=，7‎ ‎6. 【答案】‎ ‎【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．‎ ‎7. 【答案】6.42‎ ‎8. 【答案】ln2－1‎ ‎【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．‎ ‎9【答案】‎ ‎【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．‎ ‎11. 【答案】3‎ ‎【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得 ‎，当且仅当＝3 时取“＝”．‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，‎ 根据面积公式得=，根据余弦定理得 ‎，代入上式得 ‎=‎ 由三角形三边关系有解得，‎ 故当时取得最大值 ‎14. 【答案】4‎ ‎【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，‎ 设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；‎ 当x＜0 即时，≥0可化为，‎ ‎ 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4‎ 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．‎ 解：由已知条件及三角函数的定义可知，，‎ 因为,为锐角，所以=‎ 因此 ‎（Ⅰ）tan()= ‎ ‎（Ⅱ） ，所以 ‎∵为锐角，∴，∴=‎ ‎16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．‎ 解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，‎ ‎∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．‎ ‎（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.‎ ‎∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.‎ 又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．‎ ‎17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．‎ 解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故 ‎，又OP＝10－10ta，‎ 所以， ‎ 所求函数关系式为 ‎②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=‎ 所求函数关系式为 ‎（Ⅱ）选择函数模型①，‎ 令0 得sin ，因为，所以=，‎ 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 km处。‎ ‎18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．‎ 解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；‎ 令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．‎ 令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．‎ 证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，‎ 所以圆C 必过定点（0，1）．‎ 同理可证圆C 必过定点（－2，1）．‎ ‎19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。‎ 解：首先证明一个“基本事实”：‎ 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0‎ 事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则 a2=(d-d0)(a+d0)‎ 由此得d0=0‎ ‎（1）(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3‎ ‎①若删去，则由a1,a3,a4 成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)‎ 因d≠0，故由上式得a1=－4d，即=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。‎ ‎②若删去a3，则由a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)‎ 因d≠0，故由上式得a1=d，即=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。‎ 综上可知，的值为－4或1。‎ ‎(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,……,an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.‎ 当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。‎ 当n=5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故 ‎(a1+d)2=a1(a1+3d)‎ 及 ‎ (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)‎ 分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。‎ 综上可知，n只能为4.‎ ‎（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+ d′,……，b1+(n-1) d′(b1 d′≠0)，其中三项b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列，这里0≤m10，使得，则称函数具有性质.‎ ‎（1）设函数，其中为实数 ‎（ⅰ）求证：函数具有性质；‎ ‎（ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围.‎ ‎ 【理科附加题】‎ ‎21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）‎ (1) 几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC (2) 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值 (3) 参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值 (4) 不等式证明选讲 已知实数a,b≥0，求证：‎ 22、 ‎（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 （1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23、 ‎（10分）已知△ABC的三边长为有理数 （1） 求证cosA是有理数 （2） 对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ Read a，b If a>b Then ‎ m←a Else ‎ ‎ m←b End If Print m ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2．函数的单调增区间是 ▲ ．‎ ‎3．设复数满足（为虚数单位），则的实部是 ▲ ．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的的值为 ▲ ．‎ ‎5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ‎ ▲ ．‎ ‎6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差 ‎ ▲ ．‎ ‎7．已知，则的值为 ▲ ．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是 ▲ ．‎ ‎9．函数（，，是常数，，）的部分图象如图所示，则的值是 ▲ ．‎ ‎10．已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎11．已知实数，函数，若，则的值为 ‎ ▲ ．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎13．设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎14．设集合，，，，若， 则实数的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，，，分别是的中点．‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为‎60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．‎ ‎（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．‎ ‎（1）当直线平分线段，求的值；‎ ‎（2）当时，求点到直线的距离；‎ ‎（3）对任意，求证：．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知是实数，函数，，和是和的导函数．若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．‎ ‎（1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立．‎ ‎（1）设，，求的值；‎ ‎（2）设，求数列的通项公式．‎ ‎‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．‎ 若多做，则按作答的前两题评分．‎ 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4-1：几何证明选讲 ‎（本小题满分10分）‎ 如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与（）．圆的弦交圆于点（不在上）．‎ 求证：为定值．‎ B．选修4-2：矩阵与变换 ‎（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，向量．求向量，使得．‎ C．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程．‎ D．选修4-5：不等式选讲 ‎（本小题满分10分）‎ 解不等式：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点，点在上．‎ 设二面角的大小为．‎ ‎（1）当时，求的长；‎ ‎（2）当时，求的长．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，．‎ ‎（1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求．‎ ‎ ‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学 ‎（全卷满分160分，考试时间120分钟）‎ 棱锥的体积，其中为底面积，为高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．（2012年江苏省5分）已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】集合的概念和运算。‎ ‎【分析】由集合的并集意义得。‎ ‎2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】分层抽样。‎ ‎【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。‎ ‎3．（2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】复数的运算和复数的概念。‎ ‎【分析】由得，所以， 。‎ ‎4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】程序框图。‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：‎ 是否继续循环 k 循环前 ‎0‎ ‎0‎ 第一圈 是 ‎1‎ ‎0‎ 第二圈 是 ‎2‎ ‎－2‎ 第三圈 是 ‎3‎ ‎－2‎ 第四圈 是 ‎4‎ ‎0‎ 第五圈 是 ‎5‎ ‎4‎ 第六圈 否 输出5‎ ‎ ∴最终输出结果k=5。‎ ‎5．（2012年江苏省5分）函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎。‎ ‎6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列，概率。‎ ‎【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。‎ ‎7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质，棱锥的体积。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。由 ‎8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎ ∵，∴，∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为，则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点，∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ ‎10．（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】周期函数的性质。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ ‎11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离 ‎【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。‎ ‎∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1‎ 为半径的圆与圆有 公共点；‎ ‎∴存在，使得成立，即。‎ ‎∵即为点到直线的距离，∴，解得。‎ ‎∴的最大值是。‎ ‎13．（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】函数的值域，不等式的解集。‎ ‎【解析】由值域为，当时有，即， ‎ ‎∴。‎ ‎ ∴解得，。‎ ‎∵不等式的解集为，∴，解得。‎ ‎14．（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】可行域。‎ ‎【解析】条件可化为：‎ ‎。‎ ‎ 设，则题目转化为：‎ 已知满足，求的取值范围。‎ ‎ 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切 线的斜率，设过切点的切线为， ‎ ‎ 则，要使它最小，须。‎ ‎ ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。‎ ‎ 当（）对应点时， ，‎ ‎ ∴的最大值在处，为7。‎ ‎ ∴的取值范围为，即的取值范围是。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．‎ ‎15．（2012年江苏省14分）在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴，即。‎ ‎ 由正弦定理，得，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴即。‎ ‎ （2）∵ ，∴。∴。‎ ‎ ∴，即。∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。‎ ‎【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。‎ ‎16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。（lb ylfx）‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。‎ ‎17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用。‎ ‎【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。‎ ‎ （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。‎ ‎18．（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 ‎ 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。‎ ‎ （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。‎ ‎19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ （2）根据已知条件，用待定系数法求解。‎ ‎20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎]数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4 - 1：几何证明选讲] （2012年江苏省10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．‎ 求证：．‎ ‎【答案】证明：连接。‎ ‎ ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。‎ ‎ ∴（垂直的定义）。‎ ‎ 又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。‎ ‎ ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。‎ ‎ ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。‎ ‎ 又∵为圆上位于异侧的两点，‎ ‎ ∴（同弧所对圆周角相等）。‎ ‎ ∴（等量代换）。‎ ‎【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另 一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。‎ ‎ 本题还可连接，利用三角形中位线来求证。‎ B．[选修4 - 2：矩阵与变换] （2012年江苏省10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值． ‎ ‎【答案】解：∵，∴。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∴矩阵的特征多项式为。‎ ‎ 令，解得矩阵的特征值。‎ ‎【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。‎ ‎【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得。‎ ‎ ∴圆的圆心坐标为（1，0）。‎ ‎ ∵圆经过点，∴圆的半径为。‎ ‎ ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。‎ ‎【考点】直线和圆的极坐标方程。‎ ‎【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲] （2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：求证：．‎ ‎【答案】证明：∵，‎ ‎ 由题设∴。∴。 ‎ ‎【考点】绝对值不等式的基本知识。‎ ‎【解析】根据绝对值不等式的性质求证。‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（2012年江苏省10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎ ∴共有对相交棱。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ ‎ ∴ ，。‎ ‎ ∴随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎【考点】概率分布、数学期望等基础知识。‎ ‎【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。‎ ‎ （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。‎ ‎23．（2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用表示）．‎ ‎【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，‎ ‎ ∴ =4。 ‎ ‎ ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。‎ 由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。‎ 于是是否属于，由是否属于确定。‎ 设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。‎ 当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】集合的概念和运算，计数原理。‎ ‎【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。‎ ‎ （2）由题设，根据计数原理进行求解。‎