高考数学考点归纳之 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

高考数学考点归纳之 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

高考数学考点归纳之 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 一、基础知识 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝2π ω f＝1 T ＝ ω 2π ωx＋φ φ 2．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表 所示： ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x －φ ω π 2ω －φ ω π－φ ω 3π 2ω －φ ω 2π－φ ω y＝Asin(ωx＋ φ) 0 A 0 －A 0 3．由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 (1)两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变 换)再相位变换，平移的量是|φ| ω(ω>0)个单位长度． (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 x 而言的，即图象变换要看“自变量 x”发 生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 考点一 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 [典例] (1)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则 函数 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝2sin 1 2x＋π 4 B．f(x)＝2sin 1 2x＋3π 4 C．f(x)＝2sin 1 4x＋3π 4 D．f(x)＝2sin 2x＋π 4 (2)(2019·皖南八校联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，－π 2 ≤φ≤π 2 的图象上的一个最 高点和它相邻的一个最低点的距离为 2 2，且过点 2，－1 2 ，则函数 f(x)＝________________. [解析] (1)由题图可知 A＝2，T＝2× 3π 2 － －π 2 ＝4π，故2π ω ＝4π，解得ω＝1 2. 所以 f(x)＝2sin 1 2x＋φ . 把点 －π 2 ，2 代入可得 2sin 1 2 × －π 2 ＋φ ＝2， 即 sin φ－π 4 ＝1，所以φ－π 4 ＝2kπ＋π 2(k∈Z)， 解得φ＝2kπ＋3π 4 (k∈Z)． 又 0<φ<π，所以φ＝3π 4 . 所以 f(x)＝2sin 1 2x＋3π 4 . (2)依题意得 22＋ π ω 2＝2 2，则π ω ＝2，即ω＝π 2 ，所以 f(x)＝sin π 2x＋φ ，由于该函数 图象过点 2，－1 2 ，因此 sin(π＋φ)＝－1 2 ，即 sin φ＝1 2 ，而－π 2 ≤φ≤π 2 ，故φ＝π 6 ，所以 f(x)＝ sin π 2x＋π 6 . [答案] (1)B (2)sin π 2x＋π 6 [解题技法] 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－m 2 ，B＝M＋m 2 . (2)求ω，确定函数的周期 T，则ω＝2π T . (3)求φ，常用方法有以下 2 种 [题组训练] 1.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所 示，则 f 11π 24 的值为( ) A．－ 6 2 B．－ 3 2 C．－ 2 2 D．－1 解析：选 D 由图象可得 A＝ 2，最小正周期 T＝4× 7π 12 －π 3 ＝π，则ω＝2π T ＝2.由 f 7π 12 ＝ 2sin 7π 6 ＋φ ＝－ 2，|φ|<π 2 ，得φ＝π 3 ，则 f(x)＝ 2sin 2x＋π 3 ，所以 f 11π 24 ＝ 2sin 11π 12 ＋π 3 ＝ 2sin5π 4 ＝－1. 2.(2018·咸阳三模)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0， |φ|<π)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝2 3sin πx 8 ＋π 4 B．f(x)＝2 3sin πx 8 ＋3π 4 C．f(x)＝2 3sin πx 8 －π 4 D．f(x)＝2 3sin πx 8 －3π 4 解析：选 D 由图象可得，A＝2 3，T＝2×[6－(－2)]＝16， 所以ω＝2π T ＝2π 16 ＝π 8. 所以 f(x)＝2 3sin π 8x＋φ . 由函数的对称性得 f(2)＝－2 3， 即 f(2)＝2 3sin π 8 ×2＋φ ＝－2 3， 即 sin π 4 ＋φ ＝－1， 所以π 4 ＋φ＝2kπ－π 2(k∈Z)， 解得φ＝2kπ－3π 4 (k∈Z)． 因为|φ|<π，所以 k＝0，φ＝－3π 4 . 故函数的解析式为 f(x)＝2 3sin πx 8 －3π 4 . 考点二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换 [典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin 2x＋2π 3 ，则下面结论正确 的是( ) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个 单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 C2 [解析] 易知 C1：y＝cos x＝sin x＋π 2 ，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍， 纵坐标不变，得到函数 y＝sin 2x＋π 2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 π 12 个单位长度， 可得函数 y＝sin 2 x＋ π 12 ＋π 2 ＝sin 2x＋2π 3 的图象，即曲线 C2. [答案] D [解题技法] 三角函数图象变换中的 3 个注意点 (1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不 可弄错方向； (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 y＝Asin x 到 y＝Asin(x＋φ)的变换 量是|φ|个单位，而函数 y＝Asin ωx 到 y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是|φ ω|个单位． [题组训练] 1．将函数 y＝sin x＋π 6 的图象上所有的点向左平移π 4 个单位长度，再把图象上各点的横 坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( ) A．y＝sin 2x＋5π 12 B．y＝sin x 2 ＋5π 12 C．y＝sin x 2 － π 12 D．y＝sin x 2 ＋5π 24 解析：选 B 将函数 y＝sin x＋π 6 的图象上所有的点向左平移π 4 个单位长度，得到函数 y ＝sin x＋π 4 ＋π 6 ＝sin x＋5π 12 的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标 不变)，可得函数 y＝sin 1 2x＋5π 12 的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为 y＝ sin x 2 ＋5π 12 . 2．(2019·潍坊统一考试)函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象向右平移φ 0<φ<π 2 个单位长度 后，得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)为偶函数，则φ的值为( ) A. π 12 B.π 6 C.π 4 D.π 3 解析：选 B 由题意知 y＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－π 6 ，其图象向右平移φ个单位长 度后，得到函数 g(x)＝2sin 2x－2φ－π 6 的图象，因为 g(x)为偶函数，所以 2φ＋π 6 ＝π 2 ＋kπ，k ∈Z，所以φ＝π 6 ＋kπ 2 ，k∈Z，又因为φ∈ 0，π 2 ，所以φ＝π 6. 考点三 三角函数模型及其应用 [典例] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)＋B A>0，ω>0，|φ|<π 2 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元， 9 月份价格最低为 5 千元，则 7 月份的出厂价格为________元． [解析] 作出函数 f(x)的简图如图所示， 三角函数模型为：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B， 由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2π T ＝π 6. 将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π 6 ×3＋φ＝π 2 ，∴φ＝0， 故 f(x)＝2 000sinπ 6x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)． ∴f(7)＝2 000×sin7π 6 ＋7 000＝6 000. 故 7 月份的出厂价格为 6 000 元． [答案] 6 000 [解题技法] 三角函数模型在实际应用中的 2 种类型及解题策略 (1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意 义及自变量与函数之间的对应法则； (2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识 解决问题，其关键是建模． [题组训练] 1.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y＝3sin π 6x＋φ ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最 大值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：选 C 设水深的最大值为 M，由题意并结合函数图象可得 3＋k＝M， k－3＝2， 解得 M ＝8. 2 ． 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 函 数 y ＝ a ＋ Acos π 6 x－6 (x＝1,2,3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ℃，12 月份的 月平均气温最低为 18 ℃，则 10 月份的平均气温为________℃. 解析：由题意得 a＋A＝28， a－A＝18， 即 a＝23， A＝5， 所以 y＝23＋5cos π 6 x－6 ，令 x＝10，得 y＝20.5. 答案：20.5 [课时跟踪检测] A 级 1．函数 y＝sin 2x－π 3 在区间 －π 2 ，π 上的简图是( ) 解析：选 A 令 x＝0，得 y＝sin －π 3 ＝－ 3 2 ，排除 B、D.由 f －π 3 ＝0，f π 6 ＝0，排除 C，故选 A. 2．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为π 2 ，则 f π 6 的值 是( ) A．－ 3 B. 3 3 C．1 D. 3 解析：选 D 由题意可知该函数的周期为π 2 ， ∴π ω ＝π 2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x. ∴f π 6 ＝tan π 3 ＝ 3. 3．(2018·天津高考)将函数 y＝sin 2x＋π 5 的图象向右平移 π 10 个单位长度，所得图象对应 的函数( ) A．在区间 3π 4 ，5π 4 上单调递增 B．在区间 3π 4 ，π 上单调递减 C．在区间 5π 4 ，3π 2 上单调递增 D．在区间 3π 2 ，2π 上单调递减 解析：选 A 将函数 y＝sin 2x＋π 5 的图象向右平移 π 10 个单位长度后的解析式为 y＝ sin 2 x－ π 10 ＋π 5 ＝sin 2x，则函数 y＝sin 2x 的一个单调递增区间为 3π 4 ，5π 4 ，一个单调递减 区间为 5π 4 ，7π 4 .由此可判断选项 A 正确． 4.(2019·贵阳检测)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，－π 2<φ<π 2 的部 分图象如图所示，则φ的值为( ) A．－π 3 B.π 3 C．－π 6 D.π 6 解析：选 B 由题意，得T 2 ＝π 3 － －π 6 ＝π 2 ，所以 T＝π，由 T＝2π ω ，得ω＝2，由图可知 A ＝1，所以 f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为 f π 3 ＝sin 2π 3 ＋φ ＝0，－π 2<φ<π 2 ，所以φ＝π 3. 5.(2019·武汉调研)函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论： ①f(x)的最小正周期为 2； ②f(x)图象的一条对称轴为直线 x＝－1 2 ； ③f(x)在 2k－1 4 ，2k＋3 4 ，k∈Z 上是减函数； ④f(x)的最大值为 A. 则正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B 由题图可知，函数 f(x)的最小正周期 T＝2× 5 4 －1 4 ＝2，故①正确；因为 函数f(x)的图象过点 1 4 ，0 和 5 4 ，0 ，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1 2 1 4 ＋5 4 ＋kT 2 ＝3 4 ＋ k(k∈Z)，故直线 x＝－1 2 不是函数 f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当1 4 －T 4 ＋ kT≤x≤1 4 ＋T 4 ＋kT(k∈Z)，即 2k－1 4 ≤x≤2k＋3 4(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若 A>0， 则最大值是 A，若 A<0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为 2. 6．(2018·山西大同质量检测)将函数 f(x)＝tan ωx＋π 3 (0<ω<10)的图象向右平移π 6 个单位 长度后与函数 f(x)的图象重合，则ω＝( ) A．9 B．6 C．4 D．8 解析：选 B 函数 f(x)＝tan ωx＋π 3 的图象向右平移π 6 个单位长度后所得图象对应的函数 解析式为 y＝tan ω x－π 6 ＋π 3 ＝tan ωx－ωπ 6 ＋π 3 ，∵平移后的图象与函数 f(x)的图象重合， ∴－ωπ 6 ＋π 3 ＝π 3 ＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6. 7．已知函数 f(x)＝2sin π 3x＋φ |φ|＜π 2 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为 ____________，最小正周期 T 为__________，频率为___________，初相φ为___________． 解析：振幅 A＝2，最小正周期 T＝2π π 3 ＝6，频率 f＝1 6. 因为图象过点(0,1)， 所以 2sin φ＝1，所以 sin φ＝1 2 ， 又因为|φ|＜π 2 ，所以φ＝π 6. 答案：2 6 1 6 π 6 8.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示， 则 f(x)＝________. 解析：由图象可知 A＝2，3 4T＝11π 12 －π 6 ＝3π 4 ，∴T＝π，∴ω＝2， ∵当 x＝π 6 时，函数 f(x)取得最大值， ∴2×π 6 ＋φ＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)， ∴φ＝π 6 ＋2kπ(k∈Z)， ∵0<φ<π，∴φ＝π 6 ，∴f(x)＝2sin 2x＋π 6 . 答案：2sin 2x＋π 6 9．已知函数 f(x)＝sin π 3 －ωx (ω>0)向左平移半个周期得 g(x)的图象，若 g(x)在[0，π]上 的值域为 － 3 2 ，1 ，则ω的取值范围是________． 解析：由题意，得 g(x)＝sin π 3 －ω x＋π ω ＝sin －π－ ωx－π 3 ＝sin ωx－π 3 ， 由 x∈[0，π]，得ωx－π 3 ∈ －π 3 ，ωπ－π 3 . 因为 g(x)在[0，π]上的值域为 － 3 2 ，1 ， 所以π 2 ≤ωπ－π 3 ≤4π 3 ，解得5 6 ≤ω≤5 3. 故ω的取值范围是 5 6 ，5 3 . 答案： 5 6 ，5 3 10．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下 表是今年前四个月的统计情况： 月份 x 1 2 3 4 收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 ________________． 解析：设 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由题意得 A＝1，B＝6，T＝4， 因为 T＝2π ω ，所以ω＝π 2 ，所以 y＝sin π 2x＋φ ＋6. 因为当 x＝1 时，y＝6，所以 sin π 2 ＋φ ＝0， 故π 2 ＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π 2 ， 所以 y＝sin π 2x－π 2 ＋6＝－cosπ 2x＋6. 答案：y＝－cosπ 2x＋6 11．设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) ω>0，－π 2<φ<0 的最小正周期为π，且 f π 4 ＝ 3 2 . (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象． 解：(1)因为 T＝2π ω ＝π，所以ω＝2， 又因为 f π 4 ＝cos 2×π 4 ＋φ ＝cos π 2 ＋φ ＝－sin φ＝ 3 2 且－π 2<φ<0，所以φ＝－π 3. (2)由(1)知 f(x)＝cos 2x－π 3 . 列表： 2x－π 3 －π 3 0 π 2 π 3π 2 5π 3 x 0 π 6 5π 12 2π 3 11π 12 π f(x) 1 2 1 0 －1 0 1 2 描点，连线，可得函数 f(x)在[0，π]上的图象如图所示． 12．(2019·湖北八校联考)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π 2 在它的某一个周期内的单调 递减区间是 5π 12 ，11π 12 .将 y＝f(x)的图象先向左平移π 4 个单位长度，再将图象上所有点的横坐 标变为原来的1 2(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为 g(x)． (1)求 g(x)的解析式； (2)求 g(x)在区间 0，π 4 上的最大值和最小值． 解：(1)∵T 2 ＝11π 12 －5π 12 ＝π 2 ，∴T＝π，ω＝2π T ＝2， 又∵sin 2×5π 12 ＋φ ＝1，|φ|<π 2 ， ∴φ＝－π 3 ，f(x)＝sin 2x－π 3 ， 将函数 f(x)的图象向左平移π 4 个单位长度得 y＝sin 2 x＋π 4 －π 3 ＝sin 2x＋π 6 ， 再将 y＝sin 2x＋π 6 的图象上所有点的横坐标变为原来的1 2(纵坐标不变)得 g(x)＝ sin 4x＋π 6 . ∴g(x)＝sin 4x＋π 6 . (2)∵x∈ 0，π 4 ，∴4x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ， 当 4x＋π 6 ＝π 2 时，x＝ π 12 ， ∴g(x)在 0， π 12 上为增函数，在 π 12 ，π 4 上为减函数， 所以 g(x)max＝g π 12 ＝1， 又因为 g(0)＝1 2 ，g π 4 ＝－1 2 ，所以 g(x)min＝－1 2 ， 故函数 g(x)在区间 0，π 4 上的最大值和最小值分别为 1 和－1 2. B 级 1．(2019·惠州调研)函数 f(x)＝Asin(2x＋θ) A>0，|θ|≤π 2 的部分图象如图 所示，且 f(a)＝f(b)＝0，对不同的 x1，x2∈[a，b]，若 f(x1)＝f(x2)，有 f(x1＋x2) ＝ 3，则( ) A．f(x)在 －5π 12 ， π 12 上是减函数 B．f(x)在 －5π 12 ， π 12 上是增函数 C．f(x)在 π 3 ，5π 6 上是减函数 D．f(x)在 π 3 ，5π 6 上是增函数 解析：选 B 由题图知 A＝2，设 m∈[a，b]，且 f(0)＝f(m)，则 f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝ 3， ∴2sin θ＝ 3，sin θ＝ 3 2 ，又∵|θ|≤π 2 ，∴θ＝π 3 ，∴f(x)＝2sin 2x＋π 3 ，令－π 2 ＋2kπ≤2x＋π 3 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z，解得－5π 12 ＋kπ≤x≤ π 12 ＋kπ，k∈Z，此时 f(x)单调递增．所以选项 B 正确． 2．(2019·福州四校联考)函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 π 12 个单位长度得到函数 y ＝g(x)的图象，并且函数 g(x)在区间 π 6 ，π 3 上单调递增，在区间 π 3 ，π 2 上单调递减，则实数ω 的值为( ) A.7 4 B.3 2 C．2 D.5 4 解析：选 C 因为将函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 π 12 个单位长度得到函数 y＝ g(x)的图象，所以 g(x)＝sin ω x－ π 12 ，又因为函数 g(x)在区间 π 6 ，π 3 上单调递增，在区间 π 3 ，π 2 上单调递减，所以 g π 3 ＝sinωπ 4 ＝1 且2π ω ≥π 3 ，所以{ω＝8k＋2k∈Z， 0<ω≤6， 所 以ω＝2. 3.(2018·南昌模拟)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的部 分图象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心； (2)若方程 f(x)＋2cos 4x＋π 3 ＝a 有实数解，求 a 的取值范围． 解：(1)由图可得 A＝2，T 2 ＝2π 3 －π 6 ＝π 2 ， 所以 T＝π，所以ω＝2. 当 x＝π 6 时，f(x)＝2，可得 2sin 2×π 6 ＋φ ＝2， 因为|φ|<π 2 ，所以φ＝π 6. 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin 2x＋π 6 . 令 2x＋π 6 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝kπ 2 － π 12(k∈Z)， 所以函数 f(x)图象的对称中心为 kπ 2 － π 12 ，0 (k∈Z)． (2)设 g(x)＝f(x)＋2cos 4x＋π 3 ， 则 g(x)＝2sin 2x＋π 6 ＋2cos 4x＋π 3 ＝2sin 2x＋π 6 ＋2 1－2sin2 2x＋π 6 ， 令 t＝sin 2x＋π 6 ，t∈[－1,1]， 记 h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4 t－1 4 2＋9 4 ， 因为 t∈[－1,1]， 所以 h(t)∈ －4，9 4 ， 即 g(x)∈ －4，9 4 ，故 a∈ －4，9 4 . 故 a 的取值范围为 －4，9 4 .