高考题汇编函数
2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）17.若是方程式 的解，则属于区间 （ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解析：
知属于区间（1.75，2）
（2010湖南文数）8.函数y=ax2+ bx与y= (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是D
（2010湖南文数）3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
A. B.
C. D.
（2010浙江理数）（10）设函数的集合
，
平面上点的集合
，
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题
（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..
【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.
（2010全国卷2理数）（2）.函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
（2010陕西文数）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 [B]
（A）y＝[] （B）y＝[] （C）y＝[] （D）y＝[]
解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
法二：设，
，所以选B
（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C]
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
解析：本题考查幂的运算性质
（2010辽宁文数）（12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是
(A)[0,) (B) （C） (D)
解析：选D.，，
即，
（2010辽宁文数）（10）设，且，则
（A） （B）10 （C）20 （D）100
解析：选A.又
（2010辽宁文数）（4）已知，函数，若满足关于的方程
，则下列选项的命题中为假命题的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：选C.函数的最小值是
等价于，所以命题错误.
（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是
(A)[0,) (B) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。
【解析】因为，即tan a≥-1,所以
（2010全国卷2文数）（7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A） (B)
(C) (D)
【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ ，∴ ，在切线，∴
（2010全国卷2文数）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴
（2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。
（2010江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。
（2010安徽文数）（7）设，则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
7.A
【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
（2010安徽文数）（6）设,二次函数的图像可能是
6.D
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010重庆文数）（4）函数的值域是
（A） （B）
（C） （D）
解析：
（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若∈（1，），
∈（，+），则
（A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＜0，f()＞0
（C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＞0，f()＞0
解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
（2010浙江文数）2.已知函数 若 =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析：+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
（2010重庆理数）(5) 函数的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
解析： 是偶函数，图像关于y轴对称
（2010山东文数）（11）函数的图像大致是
答案：A
（2010山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
（A）13万件 (B)11万件
(C) 9万件 (D)7万件
答案：C
（2010山东文数）（5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则
（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3
答案：A
（2010山东文数）(3)函数的值域为
A. B. C. D.
答案：A
（2010北京文数）(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
答案：B
（2010北京文数）⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数
答案：A
（2010四川理数）（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是
（A） （B） （C） （D）
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ ，于是－＝1 Þ m＝－2
答案：A
（2010四川理数）（3）2log510＋log50.25＝
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
（2010四川理数）（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是
（A） （B） （C） （D）
解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.
答案：D
（2010天津文数）（10）设函数，则的值域是
（A） （B） （C）（D）
【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知，
（2010天津文数）(6)设
(A)a
0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。
否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。
【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。
（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
3．D．．
（2010广东文数）3.若函数与的定义域均为R，则
A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数
C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数
解:由于,故是偶函数,排除B、C
由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C
在，，故，选D
（2010广东文数）2.函数的定义域是
A. B. C. D.
解：，得，选B.
（2010福建文数）7．函数的零点个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
（2010全国卷1文数）(7)已知函数.若且，，则的取值范围是
(A) (B)(C) (D)
7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=
又0f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由00，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，即，解得或
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
（2010广东理数）9. 函数=lg(-2)的定义域是 .
9． (1,+∞) ．∵，∴．
（2010广东文数）
（2010全国卷1理数）(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .
（2010湖南理数）14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
（2010福建理数）15．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：
①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得
”。
其中所有正确结论的序号是 。
【答案】①②④
【解析】对①，因为，所以，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。
【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。
（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=________________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
5. （2010江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_____。
[解析] 考查分段函数的单调性。
（2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为，则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，
，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令，则：
故当时，S的最小值是。
2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) ,kÎZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．
（2010湖南文数）21．（本小题满分13分）
已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
（2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x10),
由已知得 =alnx，
=， 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
（2）由条件知
Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。
所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2
Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1
因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值
所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1
（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.
（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分
（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。
（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。
（2010江西理数）19. （本小题满分12分）
设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间。
（2）若在上的最大值为，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令
当为增区间；当为减函数。
（2） 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量a的值。
当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。。
（2010安徽文数）20.（本小题满分12分）
设函数，，求函数的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
（2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数（a-b）0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
（1） 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此21时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
（2010福建文数）22．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2
(Ⅰ)求实数a,b的值；
(Ⅱ)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数。
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
（2010福建文数）21．(本小题满分12分)
某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。
（2010全国卷1理数）(20)(本小题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
（2010四川文数）（22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时，恒有成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由.
（2010湖北文数）21.（本小题满分14分）
设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1
（Ⅰ）确定b、c的值
（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。
（2010湖北文数）19.（本小题满分12分）
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2
），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）
（2010山东理数）(22)(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有，又已知存在，使，所以，，
即存在，使，即，即，
所以，解得，即实数取值范围是。
【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。
（2010湖南理数）20.（本小题满分13分）
已知函数对任意的，恒有。
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。
解析：
（2010湖北理数）17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。
（2010福建理数）20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，。
（i）求函数的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点
，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段
（Ⅱ）对于一般的三次函数（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
【解析】（Ⅰ）（i）由得=，
当和时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。
（2010湖北理数）
（2010安徽理数）17、（本小题满分12分）
设为实数，函数。
(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，。
（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。
