高考数学一轮复习基本初等函数导数及其应用时知识过关检测理新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第12课时）（新人教A版）
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．0
0或a<－4
解析：选C.∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，
所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．
记g(x)＝－(2x2＋2x)，00；当x∈(20,30)时，V′<0，
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
一、选择题
1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
解析：选D.由题意得，总成本函数为
C＝C(x)＝20000＋100x，
所以总利润函数为P＝P(x)＝R(x)－C(x)
＝，
而P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；
②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于0.
其中正确的结论有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0，
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴，即.
解得a＝0，b＝－4，
∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2,2]，
∴极值点有两个．
∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.
∴①③正确，故选C.
二、填空题
3．(2013·嘉兴质检)不等式ln(1＋x)－x2≤M恒成立，则M的最小值是________．
解析：设f(x)＝ln(1＋x)－x2，
则f′(x)＝[ln(1＋x)－x2]′
＝－x＝，
∵函数f(x)的定义域需满足1＋x＞0，即x∈(－1，＋∞)．
令f′(x)＝0得x＝1，
当x＞1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，
∴函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝ln2－.
∴要使ln(1＋x)－x2≤M恒成立，
∴M≥ln2－，即M的最小值为ln2－.
答案：ln2－
4．将边长为1 m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为·(x＋1)··(1－x)，所以s＝＝·(0＜x＜1)．
由s(x)＝·，得
s′(x)＝·
＝·.
令s′(x)＝0，且0＜x＜1，解得x＝.
当x∈时，s′(x)＜0；当x∈时，s′(x)＞0.
故当x＝时，s取最小值.
答案：
三、解答题
5．(2013·大同调研)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(a、b为常数，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值．
解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴，解得：.
∴f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2.
令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，
∴当x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，g(x)单调递减，
当x∈(－，)时，g(x)单调递增，
又g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
