高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题三角函数学生版

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三角函数 一、高考预测 该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．从近几年全国各地的高考试题来看,三角函数这部分的试题有以下特点:‎ ‎ 1.考小题，重在基础运用 二、知识导学 要点1：三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用 ‎1．三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值。2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件。‎ 要点2：函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象问题 ‎，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。‎ ‎4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。‎ 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。‎ 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。‎ 要点3：与三角函数的性质有关的问题 ‎1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ‎2．三角函数的单调区间：的递增区间是，‎ 递减区间是；‎ 的递增区间是，递减区间是，‎ 的递增区间是，‎ ‎3．对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；‎ 的对称轴为，对称中心为；对于和 ‎、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。‎ 要点4：三角变换及求值 ‎1．两角和与差的三角函数；‎ ‎；。‎ ‎2．二倍角公式；；‎ ‎。‎ ‎3．三角函数式的化简 ‎4．三角函数的求值类型有三类 ‎（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；‎ ‎（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；‎ ‎（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。‎ 要点5：正、余弦定理的应用 ‎1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。‎ ‎（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）‎ sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。‎ ‎2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。‎ ‎（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。‎ ‎。（R为外接圆半径）‎ ‎（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。‎ 在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。‎ 要点6：三角函数的实际应用 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。‎ ‎（1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。‎ r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。‎ 在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。‎ 要点7：向量与三角函数的综合三、易错点点睛 命题角度1 三角函数的图象和性质 ‎1．函数=sinx+2|sinx|,x∈（0，2π）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 .‎ ‎ [考场错解] ∵=∴的值域为(0，3)，∵与y=k有交点，∴k∈[0，3]． ‎ ‎ ( ) ‎ A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 ‎ ‎ ‎ ‎[考场错解]∵将函数y=sin(2x+)的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得函数y=sin(x+)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=sin(x+)=cosx ‎ [专家把脉] 选B有两处错误，一是若将函数=sin(2x+)横坐标缩短到原来的倍，(纵坐标标不变)所得函数y==sin(4x+)，而不是=sin(x+)，二是将函数y=‎ ‎ [对症下药] 选C 将函数y=sin(2x+)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(x+)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=sin(x++)=cosx的图像．故选C．‎ ‎3．设函数=sin(2x+)(-π<<0)，y=图像的一条对称轴是直线x=. (1)求； (2)求函数y=的单调增区间； (3)画出函数y=在区间[0，π]上的图像． ‎ ‎[考场错解] (1)∵x=是函数y=的图像的对称轴，∴sin(2×+)=±1，∴ +=kπ+k ‎ [专家把脉]以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令处，因若把看成一个整体u，则y=sinu的周期为2π。故应令，解得的x范围才是原函数的递增区间.‎ 解得所以函数y=sin(2x-)的单调递增区间为（3）由知 x ‎0‎ π y ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ 故函数y=f(x)在区间[0,π]上图像是 ‎5. 求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间。‎ ‎ [考场错解] ‎ ‎ [对症下药]∵函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x ‎ ‎=sin2x-cos2x=2sin(2x-)．故该函数的最小正周期是π.‎ 当2x-=2kπ-时，即x=kπ-时，y有最小值 令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z．解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z．‎ 令K=0时，-≤x≤．又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， K=1时， π≤x≤π 又∵0≤x≤π.‎ 命题角度2三角函数的恒等变形 ‎ ‎1．设α为第四象限的角，若，则tan2α= . ‎ ‎[考场错解] 填±∵‎ ‎∴‎ ‎ [考场错解] (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-.‎ ‎ [专家把脉] 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误．即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx，用错了公式，因为 2sin2 =1-cosx．因此原式化简结果是错误的．‎ ‎ [对症下药]解法1(1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-．‎ ‎∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又∵- 0，sinx-cosx<0．‎ ‎∴sinx-cosx=． ‎ ‎(2) ‎ ‎①‎ ‎②‎ 解法2 (1)联立方程 由①得slnx=-cosx，将其代入②，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，∴cosx=-或(cosx=)‎ ‎∵-3sinx B．2x<3sinx C．2x=3sinx D．与x的取值有关 ‎[考场错解] 选A 设=2x-3sinx，∴= 2-3cosx，∵00．‎ ‎∴在(0，)上是增函数 ∴>=0．即2x>3sinx，选A ‎ ‎[专家把脉]∵=3(-cosx)．当00，由②式知tan(an-1，-an)< 0．由此可知an+1-an必在第二象限∴0是=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈(+kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限内．由①式=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：‎ X ‎()‎ 的符号 K为奇数 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ K为偶数 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 所以满足=0的正根x0都为f(x)的极值点．由题设条件，a1,a2，…，an…为方程x=-tanx的全部正实根且满足a10，且a+λb≠μ(λa+b)(其中μ k,μ>0)由(a+λb)· (λa+b)>0，得|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b>0即3λ2+11λ +3>0，解得λ>．由a+λb≠μ (λa+b)，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，综上所述实数λ的取值范围是(-∞，,1)∪(1，+∞)． ‎ ‎3．已知O为△ABC所在平面内一点且满足，则△AOB与△AOC的面积之比为 ( )‎ ‎ A．1 B. D．2‎ ‎ ‎ ‎△AOB的面积与△AOC的面积之比为3：2，选B．‎ ‎(2)不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.‎ 命题角度5 平面向量与三角、数列 ‎ (2)函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)平移后得到y=2sin2(x+m)-n的图像，即y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(x+‎ y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(‎ ‎2.已知i,j分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，‎ ‎（1）求 ‎[考场错解]（1）由已知有 ‎[专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与实数混为一谈，出现了很多知识性的错误.‎ ‎[对症下药] （1） ‎ ‎ ‎ ‎3.在直角坐标平面中，已知点P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整数，对平面上任一点Ao，记A1为Ao关于点P1的对称点，A2为A1，关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点．‎ ‎ [考场错解] 第(2)问，由(1)知=(2，4)，依题意，将曲线C按向量(2，4)平移得到 因此，曲线C是函数y=g(x)的图像，其中g(x)是以 3为周期的周期函数，且当x∈(-2，1)时，g(x)=‎1g(x+2)-4，于是，当x∈(1，4)时，g(x)=‎1g(x-1)-4．‎ 专家会诊 向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目，综合性强、能力要求较高． ‎ 命题角度6平面向量与平面解析几何 ‎ ‎1．(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点F(-m，0)(m是大于0的常数．)‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎ (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、 Q的直线l与y 轴交于点M，若，求化时出现错误，依题意应转化为再分类求解k ‎ ‎ [对症下药] (1)设所求椭圆方程为1 (a>b>O)． 由已知得c=m，2．梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=AC⊥BD，M为CD的中点． (1)求点M的轨迹方程； (2)过M作AB的垂线，垂足为N，若存在常数λo，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程．‎ ‎ [考场错解] 第(2)问：设P(x，y)，M(xo，yo)，则N(0，yo) ‎ ‎ ∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y)，∴λo=-1．‎ ‎ [专家把脉] 对分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M、N、P三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出λo=-1是错误的．‎ ‎ [对症下药] (1)解法1：设M(x，y)，则C(x，-1+‎ 即(x，y-1)·(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x≠0，∴M的轨迹方程是:x2+y2=1(x≠0)‎ 解法2：设AC与BD交于E，连结EM、EO，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又M、O分 ‎3．ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在AD上，记为B'；折痕l与AB交于点E，使M满足关系式 ‎ (1)建立适当坐标系，求点M的轨迹方程； (2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的 ‎ [对症下药] (1)解法1以AB所在的直线为y轴，AB的中点为坐标原点，建立如图6-6所示的直角坐标系，别 A(0，1)，B(0，-1)，设E(0，t)，则由已知有0≤t≤1，由(2)由(1)结合已知条件知C的方程是x2=-4y (-2≤x≤2)，由知F(0，)，设过F的直线的斜率为k，则方程为y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x1=-λx2，联立直线方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2知上述方程在[-2，2]内有两个解，由；次函数的图像知，由x=-λx2可得由韦达定理得8k2=. ‎ ‎ [考场错解] (1)设椭圆方程为，F(c，0)联立y=x-c与得([专家把脉]与(3，-1)共线，不是相等，错解中，认为(3，-1)，这是错误的，共线是比例相等．‎ ‎ (x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)， ∴M(x，y)在椭圆上， ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2．‎ ‎ 即λ2()+2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2．①‎ ‎ 由(1)知x2+x2=∴ ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)‎ ‎=4x1x2-3(x1+x2)c+‎3c2==0．‎ ‎ 又又，代入①得 λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．‎ ‎ ‎ ‎1．在△ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tanA的值和△ABC的面积．‎ ‎=sin(45°+60°)= 当A=165°时，tanA=tan(45°+ 120°)=-2+，sinA=sin(45°+120°)‎ ‎ [对症下药] 解法1．∵sinA+cosA=<180°，‎ ‎∴A-45°=60°，得A=105°．∴tanA=tan(45°+60°)=-2-，sinA=sin(45°+60°)= ,‎ S△ABC=‎ ‎ 解法2 ∵sinA+cosA=又0°0,cosA<0, ‎ ‎.‎ ‎[专家把脉]没有考虑x的范围，由于三角形的两边之差应小于第三边，两边之和应大于第三边，∴1

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