上海市闸北区高考二模数学文试题纯Word版

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‎2014年闸北区高考数学(文科)二模卷 一、填空题(54分)本大题共有9题，每个空格填对得6分，否则一律得零分.‎ ‎1.设，是虚数单位.若复数是纯虚数，则 .‎ ‎2.不等式的解集为______.‎ ‎3.若2是与的等差中项，则的最小值为______.‎ ‎4.设变量满足则的最大值为______.‎ ‎5.若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的体积分别 为和，则的值为 .‎ ‎6.设 ，向量，且 ，则______.‎ ‎7.如图，是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得、、、四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设cm.若要使包装盒的侧面积最大，则的值为______.‎ ‎8.设，，若是单调递减数列，则实数的取值范围为______.‎ ‎9.已知集合，，若集合中有且仅有 两个元素，则实数的取值范围是 .‎ 二、选择题(18分)本大题共有3题，每题选对得6分，否则一律得零分.‎ ‎10.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.函数，在区间上是增函数，且，则函数在区间上 ( )‎ A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 D.可以取得最小值 ‎12.现有某种细胞100个，其中有占约总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过10小时，细胞总数大约为 ( )‎ A.3844个 B.5766个 C.8650个 D.9998个 三、解答题(78分)本大题共有4题，请在答题纸内写出必要的步骤.‎ ‎13.本题满分18分，第1小题满分9分，第2小题满分9分 如右图，在正三棱柱中，，、分别为与的中点.‎ ‎(1)求异面直线与的夹角；‎ ‎(2)求四面体体积.‎ ‎14.本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分 设函数.‎ ‎(1)求函数的值域和零点；‎ ‎(2)请判断函数的奇偶性和单调性，并给予证明.‎ ‎15.本题满分20分，第1小题满分10分，第2小题满分10分 设是正数组成的数列，其前项和为，并且对任意的，与2的等差中项等于与2的等比中项.‎ ‎(1)求证：数列的通项公式为；‎ ‎(2)已知数列是以2为首项，公比为3的等比数列，其第项恰好是数列的第 项，求的值.‎ ‎16.本题满分22分，第1小题满分6分，第2小题满分16分 已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.‎ ‎(1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标；‎ ‎(2)设直线过点，且与双曲线交于、两点，与轴交于点.‎ ‎① 求、中点的轨迹方程；‎ ‎② 当，且时，求点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2014年闸北区高考数学(文科)二模卷 一、填空题 ‎1. 【解析】‎ 由题意得，又复数为纯虚数，所以，所以.‎ ‎2. 【解析】当时，，显然时不成立，当时，，即，所以不等式的解集为.‎ ‎3. 8【解析】由题得，所以，，又，所以，所以的最小值为.‎ ‎4. 3【解析】如图为不等式组表示的区域，如图所示，当其过点时 取得最大值.‎ ‎5. 【解析】因为圆柱截面为正方形，则圆柱高与底面直径长相等，设为2R,又上下底面圆周均在同一球面上，则球面半径为=R.所以==.‎ ‎6.【解析】则=，所以x-2=0x=2，得=(2,1),=(1,-2).==.‎ ‎7. 15【解析】由题意，AB=FB=xcm,则EF=(60-2x)cm,又阴影部分为等腰直角三角形，包装盒侧面高为(60-2x)cm=(30-x)cm,由勾股定理，长为xcm.则侧面积为=4(30-x)x=-8+240x=-8+1800,所以当x=15cm时，包装盒的侧面积最大,最大面积为1800. ‎ ‎8.(0，)【解析】，由于是单调递减数列，所以，，.所以的取值范围是.‎ ‎9.()【解析】当中集合中所有元素为正，过(0,0)点，至多有一个交点.当只有一个交点，所以，如图，可知只有斜率大于时有两个交点，所以.‎ 二、选择题 ‎10.D【解析】由题意知总共的抽法有,任取两个球，其颜色相同的取法有，所以任取两球颜色不同的取法有种，所以任取两球颜色不同的概率 ‎=.‎ ‎11. C【解析】因为函数在给定区间内是增函数，且在处分别取得最小值和最大值，则知,且，，由正弦函数与余弦函数图像的关系，知在此区间内先增后减，∴在区间[a,b]上可以取得最大值M.故选C.‎ ‎12. B【解析】由题意知细胞每次分裂之后都有一半的细胞在下一次具备分裂的能力，设，经过一个小时有细胞数为，经过两个小时有细胞数为，以此规律即可得经过十小时细胞总数为，把代入关系式得细胞总数约为5766.‎ 三、解答题 ‎13.本题满分18分，第1小题满分9分，第2小题满分9分 ‎【解】(1)过点作交于点，连结,即所求异面直线所成角(或补角)-----------2分 解得--------------------------------------------1分 ‎， ----------------------------------------------1分 ‎∴FC===，又=4，‎ ‎∴==, ----------------------------------------------2分 由余弦定理，有 ‎.--------------3分 所以，异面直线与的夹角为.---------1分 ‎(2)DE==,BD=,△BDE的高为，∴=6，‎ ‎∴的面积为6，--------------------------------------2分 ‎∵为等边三角形，E为中点，∴=，‎ ‎∴高为， ----------------------------------------3分 四面体体积.------------4分 ‎14.本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分 ‎【解】(1)，‎ ‎，∴3+>30<<0<<2,‎ ‎，故的值域为；----------------------------------------6分 令f(x)=0,即，解得，‎ ‎∴的零点为 ----------------------------------------2分 ‎(2)对任意的，‎ ‎， ----------------------------------------2分 故是非奇非偶函数. ---------------------------------------2分 所以，对任意的，，‎ ‎.-------------------------------2分 因为，‎ 所以. ----------------------------------------2分 故在定义域上是减函数. ---------------------------------------2分 ‎15.本题满分20分，第1小题满分10分，第2小题满分10分 ‎【解】(1)证法一：由题意，得 当时，，得；--------------------------------------------------------2分 当时，.‎ 所以，.‎ 整理，得.---------------------------------------------------------4分 由题意知，所以.---------------------------------------------------2分 所以数列为首项为2，公差为4的等差数列，即.-----------------------2分 证法二：用数学归纳法：‎ 当时，符合题意； ---------------------------------------------------------2分 假设(k∈)时，结论成立，即.-----------------------------------------1分 由题意有，‎ 将代入上式，得，解得. ------------------------------2分 由题意有，即.‎ 整理，得.‎ 由于，解得：.(k∈)----------------------------------4分 综上所述，对所有的，.---------------------------------------------------1分 ‎(2)由题意，，解得，，---------------6分 ‎. -------------------------------------------------4分 ‎16.本题满分22分，第1小题满分6分，第2小题满分16分 ‎【解】(1)由题意得：顶点：、， ---------------------------------2分 焦点：、为焦点.--------------------------------------4分 ‎(2)①直线斜率不存在或为0时显然不满足条件；‎ 设直线：(k≠0)，，，，---------------------1分 将代入，得， --------------------------------------1分 ‎，， --------------------------------------1分 ‎，， -------------------------------1分 ‎，， --------------------------------------1分 ‎， --------------------------------------2分 所以，、中点M的轨迹方程为().-----------------------1分 ‎②直线斜率不存在或为0时显然不满足条件； -------------------------------------1分 设直线：(k≠0)，，，则-----------------------1分 将代入，得， --------------------------------------1分 ‎，. -------------------------------------1分 ‎，，-----------1分 ‎，即， ‎ 解得， --------------------------------------2分 ‎. --------------------------------------1分 解二：将(k≠0)代入，‎ 得， ----------------------------1分 ‎， -----------------------------------------1分 ‎ -----------------------------------------1分 ‎，，.‎ 又，，即.‎ ‎， --------------------------------------2分 ‎. --------------------------------------1分