高考数学试题分类函数与导数

高考数学试题分类函数与导数

第一部分 三年高考荟萃 ‎2011年高考题 一、选择题 ‎1.（安徽理3）设是定义在上的奇函数，当时，，则 ‎ （A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）３‎ ‎(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.‎ ‎【解析】.故选A.‎ y ‎0.5‎ ‎1‎ x O ‎0.5‎ ‎2.(安徽理10) 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是 ‎（A） (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究 ‎ 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.‎ ‎【解析】代入验证，当，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选B.‎ ‎3.（安徽文5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是 ‎（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)‎ ‎（5）D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.‎ ‎【解析】由题意，，即也在函数 图像上.‎ ‎4.‎0.5‎ ‎1‎ x y O ‎0.5‎ (安徽文10) 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是 ‎（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.‎ ‎【解析】代入验证，当时，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.‎ A.‎ ‎5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是 A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16‎ ‎【命题意图】本题考查分段函数求值问题，是中档题.‎ ‎【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，，选D。‎ ‎6.（北京文8）已知点,,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ‎ A. 4 B. ‎3 ‎ C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎7.（福建理5）等于 A.1 B. C. D.‎ ‎【命题意图】本题考查定积分的计算，是简答题.‎ ‎【解析】===，故选C.‎ ‎【答案】C ‎8.（福建理9）对于函数=(其中,,),选取,,的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 A.4和6 B.3和‎1 C.2和4 D.1和2‎ ‎【命题意图】本题考查函数的奇偶性和逻辑推理能力,是难题.‎ ‎【解析】∵=,=, ∴+=是偶数,‎ ‎∴，不可能是一奇一偶，故选D.‎ ‎【答案】D ‎9.（福建理10）已知函数=,对于曲线上横坐标成等差数列的三个点,,，给出以下判断：‎ ‎①一定是钝角三角形 ‎②可能是直角三角形 ‎③可能是等腰三角形 ‎④不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④‎ ‎【命题意图】本题考查等差中项、向量的数量积等知识，考查学生数据处理能力.‎ ‎【解析】∵=＞0，∴在（－∞，+∞）上单调递增，‎ 设,,三点的横坐标分别为，，（＞0），‎ 则（，）,（,），（,）,‎ ‎=(,),=(,),‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∵,＞0, ∴≥2,当且仅当，即=0时取等号，‎ 又∵＞0，∴＞2， ∴＜0，‎ ‎∵在（－∞，+∞）上是增函数，，＞0，‎ ‎∴，∴＜0，又＜0，∴＜0，即为钝角，‎ ‎∴是钝角三角形，显然①正确，排除②，‎ ‎∵=，||=，‎ ‎＜，∴，∴不可能是等腰三角形，故④正确，排除③，综上①④正确，故选B.‎ ‎【答案】B ‎10.（福建文6）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞，-2) ∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）‎ ‎【解析】或,答案应选C。‎ ‎11.（福建文8）.已知函数f（x）=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 A. -3 B. -1 C. 1 D. 3‎ ‎【解析】，答案应选A。‎ ‎12.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．9 ‎ ‎【解析】，，当且仅当时等号成立，答案应选D。‎ ‎13.（广东理4）设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ‎ A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 ‎【答案】A ‎【解析】因为 g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而+|g(x)|是偶函数,故选A.‎ ‎14.（广东文4）．函数的定义域是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【命题意图】本题考查函数的定义域求法和不等式解法，是容易题.‎ ‎【解析】要使式子有意义，则，解得，故选C.‎ ‎15.（广东文10）设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意,；．则下列等式恒成立的是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． D． ‎ ‎【命题意图】本题是新定义型题，考查学生学习、理解新知识、运用新知识的能力，属难度.‎ ‎【解析】由题知表示两个函数复合，表示两个函数相乘，故 对A：左==，‎ 右===，显然不等，‎ 对B：左==， ‎ 右===，显然正确，‎ 对C：左==，右==，显然不等，‎ 对D：左==，右==，显然不等，故选B.‎ ‎16.（湖北理6）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 ‎，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解析：由条件，，即 ‎，由此解得，，‎ 所以，，所以选B.‎ ‎17.（湖北理10）.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为 时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则 A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克 ‎【答案】D 解析：因为，则，解得，所以，那么（太贝克），所以选D.‎ ‎18.（湖南文7）曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B ‎【解析】，所以 ‎19.（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为 A． B． C． D．‎ 答案：B ‎【解析】由题可知，，若有则，即，解得。‎ ‎20.（湖南理6）由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ 答案：D ‎【解析】由定积分知识可得，故选D。‎ ‎21.（湖南理8）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ 答案：D ‎【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。‎ ‎22.（江西文3）若，则的定义域为( )‎ （1） ‎ B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ 【解析】 ‎ ‎23.（江西文4）曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎ ‎ ‎【解析】答案：A ‎ ‎24.（江西文6）观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ）‎ A.01 B.43 C.07 D.49‎ 答案：B ‎ ‎ 【解析】 ‎ ‎25.（江西理3）.若，则的定义域为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.‎ ‎26.（江西理4）若，则的解集为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.‎ ‎27.（江西理7）观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为 ‎ A．3125 B．5625 C．0625 D．8125‎ ‎【答案】D ‎【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而,故A也不正确, 所以选D.‎ ‎【解析】观察可知当指数为奇数时，末三位为125；又，即为第1004个指数为奇数的项，应该与第二个指数为奇数的项（）末四位相同，∴的末四位数字为8125‎ ‎28.（辽宁理9）设函数，则满足的x的取值范围是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]‎ 难度 中 正确答案D ‎【命题意图】 此题考查分段函数的性质，考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提.‎ ‎【分析】 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键.‎ ‎【解析】 易知，上是减函数，由所以的取值范围是.‎ ‎29.（辽宁理11）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）‎ 难度 中 正确答案B ‎【命题意图】 此题考查不等式的解法，考查学生构造能力，通过构造函数是解题的前提.‎ ‎【分析】 利用求导判断函数单调性是解题的关键.‎ ‎【解析】设,故上单调递增，又 所以当时，，即.‎ ‎30.（辽宁文6）6. 若函数为奇函数，则a=‎ A． B． C． D．1‎ 难度 中 正确答案A ‎【命题意图】 本题考查奇函数的性质.考查学生转化能力和计算能力.清晰奇函数的性质是解题的前提.‎ ‎【分析】 利用函数为奇函数则有恒成立进行转化是解题的关键.‎ ‎【解析】为奇函数，即恒成立，整理得：,故选A.‎ ‎31.（全国新课标理2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是 ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎【命题意图】本题考查函数的奇偶性及幂函数、一次函数、二次函数、指数函数单调性，是容易题.‎ ‎【解析】先考查奇偶性，显然是奇函数，排除A，‎ ‎∵=，显然在（0，+∞）是单调增函数，故选B.‎ ‎32.（全国新课标理9）.由曲线，直线及轴围成的图形的面积为 ‎（A） (B)4 (C) (D)6‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用积分求曲线围成曲边梯形的面积.‎ ‎【解析】解得（4,2），由图知，由曲线，直线及轴围成的图形的面积为==，故选C.‎ ‎33. (全国新课标理12) .函数的图像与函数（－2≤≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于 ‎（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ ‎【命题意图】本题考查函数的图像与性质反比例函数图像、三角函数图像、图像平移、对称性、数形结合思想等，是有难度的题目. ‎ ‎【解析】作出与（－2≤≤4），由图像知这两个函数都关于（1,0）对称，故其8个交点关于（1,0）对称，∴所有交点的横坐标之和等于2+2+2+2=8，故选D. ‎ ‎34.（全国新课标文4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎35. (全国新课标文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎36.（全国Ⅱ理2）函数的反函数为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】由原函数反解得,又原函数的值域为,所以函数的反函数为.【答案】B ‎【命题意图】：本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。‎ ‎37.（全国Ⅱ理8）曲线在点(0,2)处的切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)1 ‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.‎ ‎【解析】∴曲线在点(0,2)处的切线的斜率故切线方程是,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(, )，∴三角形的面积是.‎ ‎38.（全国Ⅱ理9）设是周期为2的奇函数，当时，,则 ‎(A) - (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.‎ ‎【解析】由是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得: .‎ ‎39.（山东理9）函数的图象大致是 ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.‎ ‎40.（山东理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）9‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为6个,选A.‎ ‎41.（山东文4）曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ‎ （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15‎ ‎【答案】C ‎42.（陕西理3）设函数（R）满足，，则函数的图像是 （ ）‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．‎ ‎【解析】选由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2‎ 的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．‎ ‎43.（陕西文4） 函数的图像是 （ ） ‎ ‎【答案】B ‎【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．‎ ‎【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．‎ ‎44.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）‎ ‎（A）. （B）. （C）. （D）.‎ ‎【答案】A ‎45.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎46.（四川理7）若是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图象大致是 ‎【答案】A ‎【解析】当时，函数单调递减，值域为，此时，其反函数单调递减且图象在与之间，故选A．‎ ‎47.（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是 ‎【答案】A ‎【解析】图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．‎ ‎48.（天津理2）函数的零点所在的一个区间是（　　）．‎ ‎　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解法1．因为，，，‎ 所以函数的零点所在的一个区间是．故选Ｂ．‎ 解法2．可化为．‎ 画出函数和的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且 ‎，由此可排除Ａ，故选Ｂ．‎ ‎49.（天津理8）设函数若，则实数的取值范围是（ 　 ）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　Ｂ．‎ ‎　　Ｃ．　　　　Ｄ．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，则，即，所以，‎ 若则，即，所以，‎ ‎。‎ 所以实数的取值范围是或，即．故选C．‎ ‎50.（天津文4）函数的零点所在的一个区间是（　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　Ｄ．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，‎ ‎，所以函数的零点所在的一个区间是．故选Ｃ．‎ ‎51.（天津文6）设，，，则（　　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　　　Ｂ． ‎ ‎　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，，‎ 所以，‎ 所以，故选Ｄ．‎ ‎52.（天津文10）设函数，则的值域是（　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　Ｂ．， ‎ ‎　　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解得，则或．因此 的解为：．于是 当或时，．‎ 当时，，则，‎ 又当和时，，所以．‎ 由以上，可得或，因此的值域是．故选Ｄ．‎ ‎53.（浙江理1）已知，则的值为 ‎ A．6 B．‎5 C．4 D．2‎ ‎【答案】B ‎54.（浙江文10）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是 ‎ ‎【答案】D ‎55.（重庆理5）下列区间中，函数=在其上为增函数的是 ‎ ‎（A）（- （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎56.（重庆理10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ‎（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13‎ ‎【答案】D ‎57. (重庆文3)曲线在点,处的切线方程为 A ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎58. (重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)　　　　　　　　　　(D)‎ ‎【答案】B ‎59. (重庆文7)若函数在处取最小值,则 ‎ ‎(A)　　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)3　　　　　　　　　　　　 (D)4‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎60. (重庆文15)若实数,,满足,，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎61.（浙江文11）设函数 ,若,则实数=________________________‎ ‎【答案】-1‎ ‎62.（天津文16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】解法1．显然，由于函数对是增函数，‎ 则当时，不恒成立，因此．‎ 当时，函数在 是减函数，‎ 因此当时，取得最大值，‎ 于是恒成立等价于的最大值，‎ 即，解得．于是实数的取值范围是．‎ 解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．‎ ‎，‎ 因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．‎ 解得．于是实数的取值范围是．‎ 解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．‎ ‎63.（天津理16）设函数．对任意，‎ 恒成立，则实数的取值范围是　　　　．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】解法１．不等式化为，即 ‎，‎ 整理得，‎ 因为，所以，设，．‎ 于是题目化为，对任意恒成立的问题．‎ 为此需求，的最大值．设，则．‎ 函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值．‎ ‎，所以，‎ 整理得，即，‎ 所以，解得或，‎ 因此实数的取值范围是．‎ 解法2．同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题．‎ 为此需求，的最大值．‎ 设，则．．‎ 因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值．‎ 从而有最大值．所以，整理得，‎ 即，所以，解得或，‎ 因此实数的取值范围是．‎ 解法3．不等式化为，即 ‎，‎ 整理得，‎ ‎　　令．‎ 由于，则其判别式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，‎ 所以为使对任意恒成立，必须使为最小值，‎ 即实数应满足 ‎　　　‎ ‎　解得，因此实数的取值范围是．‎ 解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，‎ 恒成立，‎ 则对，不等式也成立，‎ 把代入上式得，即 ‎，因为，上式两边同乘以，并整理得 ‎，即，所以，解得或，‎ 因此实数的取值范围是． ‎ ‎64.（四川理13）计算_______．‎ ‎【答案】－20‎ ‎【解析】．‎ ‎65.（四川理16）函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：‎ ‎①函数（xR）是单函数；‎ ‎②若为单函数，且，则；‎ ‎③若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；‎ ‎④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．‎ 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对于①，若，则，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意，若有两个及以上的原象，也即当时，不一定有，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．‎ ‎66.（上海文3）若函数的反函数为，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎67.（上海文12）行列式所有可能的值中，最大的是 ‎ ‎【答案】‎ ‎68.（上海文14）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 ‎ ‎【答案】‎ ‎69.（上海理1）函数的反函数为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎70.（上海理10）行列式所有可能的值中，最大的是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎71.（上海理13） 设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎72.（陕西文11）设，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．‎ ‎【解析】∵，∴，所以，即．‎ ‎73.（陕西理11）设，若，则 ．‎ ‎【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.‎ ‎【解析】因为，所以，又因为，‎ 所以，所以，．‎ ‎【答案】1‎ ‎74.（陕西理12）设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．‎ ‎【答案】3或4‎ ‎【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．‎ ‎【解析】，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知 符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．‎ ‎75.（山东理16）已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.‎ ‎76.（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是___________．‎ 难度 中 正确答案 ‎ ‎【命题意图】 本题考查函数的零点.考查学生的等价转化能力和计算能力.清晰导数法研究函数的性质是解题的前提.‎ ‎【分析】 利用“函数有零点，则”是解题的关键.‎ ‎【解析】 ，令，得，‎ 当时，在上是减函数 当时，在上是增函数，‎ 故，‎ 若函数有零点，则，即.‎ ‎77. （2011江苏理2）.函数的单调增区间是 。‎ ‎【解析】：答案为。本题考查了函数的单调性、对数函数的定义和性质，是B级要求，容易题。由，得，所以函数的单调增区间是 ‎。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。‎ ‎78.（江苏8）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值为 。‎ ‎【解析】：答案为4。本题考查了函数的图象及性质的应用，是B级要求,中档题。直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段长的最小，最小值为4；或设直线为，由方程组解得两点的坐标，再求线段长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用图象和性质快捷。合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法。要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题。‎ ‎【命题意图】本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.‎ ‎79.（（2011江苏理11）.已知实数，函数，若，则的值为 。‎ ‎【解析】：答案为。本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是A级要求， 中档题。由题意得，当时， ，，解之得，不合舍去；当时，，，解之得。本题只要根据题意对分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错。要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识。‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.‎ ‎80.（2011江苏12）在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值为 。‎ ‎【解析】：答案为。本题考查了函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值，是B级要求；直线方程的求法，C级要求，是中档题。设点坐标为，由得，的方程为，令得，‎ ‎，过点的的垂线方程为，令得，，所以，令，对函数求导，当时，函数的最大值为。要充分利用导数的特点，正确求导、计算，得出正确的结果。‎ ‎【命题意图】本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题. ‎ ‎81.（湖南文12）．已知为奇函数， ．‎ 答案：6‎ ‎【解析】，‎ 又为奇函数，所以。‎ ‎（2011湖北文3）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=（ ）‎ A. B. C.D.‎ 答案: D ‎【解析】 因为函数是奇函数，是偶函数，所以 .又因为，所以.‎ ‎82.（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：，其中A是测量仪器记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测量仪器记录的最大振幅是1000，此时标准地震振幅是0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 倍。 ‎ 答案: 6,10000‎ ‎【解析】 由知，，所以此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为，5级地震的最大振幅为，则 ‎.所以.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.‎ ‎83.（广东文12）设函数若，则 ．‎ ‎【命题意图】本题考查函数的奇偶性和函数求值,是简单题.‎ ‎【解析】∵，=，‎ ‎∴两式相加得，∴－9.‎ ‎【答案】－9‎ ‎84.（广东理12）函数在 处取得极小值.‎ ‎ 【答案】‎ ‎85.（北京理13）.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【命题意图】本题考查函数的图像与性质、数形结合思想，是常规题.‎ ‎【解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。‎ ‎86.（安徽文13函数的定义域是 . ‎ ‎(13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.‎ ‎【解析】由可得，即，所以.‎ 三、解答题 ‎87.（安徽理16）设，其中为正实数 ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.‎ ‎ 解：对求导得 ①‎ ‎ （I）当，若 ‎ 综合①,可知 ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 所以,是极小值点,是极大值点.‎ ‎ （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知 ‎ 在R上恒成立，因此由此并结合，知 ‎88.（北京理18）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对，，都有，求的取值范围。‎ ‎【命题意图】本题考运用导数知识求函数的单调性和求取值范围问题，考查运算求解能力，是中档题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 令，得.‎ 当k>0时，的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下 x ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是 ‎（Ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有 当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是 所以等价于 解得.‎ 故当时，k的取值范围是 ‎89.（北京文18）已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）令，得． 与的情况如下：‎ x ‎（）‎ ‎（‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↗‎ ‎ 所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是 ‎ （Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，所以（x）在区间[0，1]上的最小值为当时，由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；当时，函数在[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为 ‎90.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式=，其中3＜＜6，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。‎ ‎（I）求的值 ‎（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。‎ ‎【命题意图】本题考查运用函数、导数等基础知识解函数最优化应用题，考查应用意识、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题.‎ ‎【解析】（I）∵当=5时，=11，∴=11，解得=2；‎ ‎（II）由（I）知该商品每日的销售量=（3＜＜6），‎ ‎∴该商城每日的销售该商品的利润 ‎==（3＜＜6），‎ ‎∴==‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎（3,4）‎ ‎4‎ ‎（4,6）‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 单调递增 极大值42‎ 单调递减 由上表可得，=4是函数在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点，‎ ‎∴当=4时，=42.‎ 答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【点评】本题的第1小题很简单，是送分题，第2小题也是简单的三次函数在某个区间上的最值问题，也比较容易.‎ ‎91.（福建文22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。‎ ‎（Ⅰ）求实数b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。‎ 解：（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a＜‎ ‎0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值为1，M的最大值为2。‎ ‎92.（广东理21）‎ ‎（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：‎ ‎；‎ 解：（１），‎ 直线AB的方程为，即，‎ ‎，方程的判别式，‎ 两根或，‎ ‎，，又，‎ ‎，得，‎ ‎．‎ ‎（２）由知点在抛物线L的下方，‎ ‎①当时，作图可知，若，则，得；‎ 若，显然有点； ．‎ ‎②当时，点在第二象限，‎ 作图可知，若，则，且；‎ 若，显然有点； ‎ ‎．‎ 根据曲线的对称性可知，当时，，‎ 综上所述，（*）；‎ 由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，‎ 同理点M在直线上，方程的两根或，‎ 若，则不比、、小，‎ ‎，又，‎ ‎；又由（１）知，；‎ ‎，综合（*）式，得证．‎ ‎（３）联立，得交点，可知，‎ 过点作抛物线L的切线，设切点为，则，‎ 得，解得，‎ 又，即，‎ ‎，设，，‎ ‎，又，；‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎93.（广东文19）设,讨论函数 的单调性．‎ ‎【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系及分类整合思想等，有一定的难度.‎ ‎【解析】∵= ,‎ 当=1时，当＞0时，=＞0，∴在（0，+∞）是增函数；‎ 当≠1时，设=（＞0），‎ 当△≤0时，即≤＜1时，＞0，≥0，即≥0，∴在（0，+∞）是增函数；‎ 当△＞0时，即0＜＜或＞1，令=0得，=，=，‎ 当0＜＜时，＞0，0＜＜，由＞0得，0＜＜或＞，‎ 由＜0得，＜＜，‎ ‎∴的增区间为（0，），（，+∞），‎ 减区间为（，）；‎ 当＞1时，＜0，＜0＜，由＞0得，0＜＜，由＜0得，＞，‎ 的增区间为(0，)，减区间为（，+∞），‎ 综上所述：‎ 当0＜＜时，的增区间为（0，），（，+∞），‎ 减区间为（，）；‎ 当≤≤1时，的增区间为（0，+∞）；‎ 当＞1时，的增区间为(0，)，减区间为（，+∞）.‎ ‎94.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）‎ 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.‎ 解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设 ‎，显然在是减函数，由已知得，解得 故函数的表达式为=‎ ‎（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 所以，当时，在区间上取得最大值．‎ 综上，当时，在区间上取得最大值，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎95.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设…，均为正数，证明：‎ ‎（1）若……，则；‎ ‎（2）若…=1，则…+。‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，令，‎ 在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值 ‎（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时有即，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵∴即 ‎（2）①先证，令，则 由（1）知 ‎∴；‎ ‎②再证…+，记 则于是由（1）得 所以…+。综合①②，（2）得证 ‎96.（湖北文20）设函数，，其中为常数，已知曲线与在点处有相同的切线l。‎ ‎(I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；‎ ‎(II)若方程有三个互不相同的实根，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。‎ ‎（Ⅰ），.‎ 由于曲线与在点处有相同的切线，‎ 所以即解得 故切线的方程为.‎ ‎(II)由（Ⅰ）得，所以 依题意，方程有三个互不相同的实根0、x1、x2，‎ 故x1、x2是方程的两相异的实根.‎ 所以△=9-4（2-m）>0，即 又对任意的成立.‎ 特别地，取时，成立，得m<0.‎ 由韦达定理，可得故 对任意的，有，，x>0.‎ 则又 所以函数在的最大值为0.‎ 于是当m<0时，对任意的，恒成立.‎ 综上，m的取值范围是.‎ ‎97.（湖南文22）设函数 ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（I）的定义域为 ‎ ‎ 令 (1) 当故上单调递增．‎ (2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ (1) 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 ‎98.（湖南理20如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。‎ ‎【解析】（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故.‎ ‎（II）由(I)知，当时，‎ 当时，‎ 故。‎ ‎(1)当时，是关于的减函数.故当时，。‎ ‎(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。‎ ‎99.（湖南理22） 已知函数() =，g ()=+。‎ ‎ （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .‎ ‎【解析】（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而，则在内无零点；‎ 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎（II）记的正零点为，即。‎ ‎（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.‎ ‎100.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为‎60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.‎ ‎【解】（1）根据题意有 ‎（0

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