导数历届高考压轴题

导数历届高考压轴题

‎1.已知函数的图象如图所示．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎2.已知函数．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．‎ ‎3.已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．‎ ‎（I）求实数的取值范围；‎ ‎（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；‎ ‎（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．‎ ‎4.已知常数，为自然对数的底数，函数，．‎ ‎（I）写出的单调递增区间，并证明；‎ ‎（II）讨论函数在区间上零点的个数．‎ ‎ ‎ ‎5.已知函数．‎ ‎（I）当时，求函数的最大值；‎ ‎ （II）若函数没有零点，求实数的取值范围 ‎6.已知函数 ‎ （I）讨论函数的单调性；‎ ‎ （II）证明：若 ‎7.设曲线：（），表示导函数．‎ ‎（I）求函数的极值；‎ ‎（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．‎ ‎8.定义，‎ ‎（I）令函数，写出函数的定义域；‎ ‎（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（III）当且时，求证．‎ ‎9.（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,‎ ‎(i)求函数f(x)的最大值；‎ ‎(ii)设0a；‎ ‎（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。‎ ‎ ‎ 14. ‎（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数,且，求：‎ ‎ (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；‎ ‎ （2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）‎ ‎15.设二次函数，方程的两根和满足．‎ ‎（I）求实数的取值范围；‎ ‎（II）试比较与的大小．并说明理由．‎ ‎ ‎ 16. ‎（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数 （1）如，求的单调区间；‎ ‎（2）若在单调增加，在单调减少，证明＜6. ‎ ‎17.已知函数 (1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；‎ (2) 若[0，1]，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。‎ 参考答案：‎ ‎1．‎ 解：函数的导函数为 …………（2分）‎ ‎（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且 得 …………（4分）‎ ‎（II）依题意 且 ‎ ‎ ‎ 解得 所以 …………（8分）‎ ‎（III）．可转化为：‎ 有三个不等实根，即：与轴有三个交点； ‎ ‎，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎． …………（10分）‎ 当且仅当时，有三个交点，‎ 故而，为所求． …………（12分）‎ ‎2．‎ 解：（I） （2分）‎ 当 当 当a=1时，不是单调函数 （5分）‎ ‎ （II）‎ ‎（6分）‎ ‎ （8分）（10分） （12分）‎ ‎3.‎ 解：（I）‎ ‎ 由，因为当时取得极大值，‎ ‎ 所以，所以；‎ ‎…………（4分）‎ ‎（II）由下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 ‎ 依题意得：，解得：‎ ‎ 所以函数的解析式是： ‎ ‎…………（10分）‎ ‎（III）对任意的实数都有 ‎ 在区间[-2，2]有： ‎ 函数上的最大值与最小值的差等于81，‎ ‎ 所以．‎ ‎…………（14分）‎ ‎4．‎ 解：（I），得的单调递增区间是， …………（2分）‎ ‎∵，∴，∴，即． …………（4分）‎ ‎（II），由，得，列表 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 当时，函数取极小值，无极大值．‎ ‎ …………（6分）‎ 由（I），∵，∴，∴‎ ‎， …………（8分）‎ ‎（i）当，即时，函数在区间不存在零点 ‎（ii）当，即时 ‎ 若，即时，函数在区间不存在零点 ‎ 若，即时，函数在区间存在一个零点；‎ ‎ 若，即时，函数在区间存在两个零点；‎ 综上所述，在上，我们有结论：‎ 当时，函数无零点；‎ 当 时，函数有一个零点；‎ 当时，函数有两个零点．‎ ‎ …………（12分）‎ ‎5．‎ 解：（I）当时，‎ 定义域为（1，+），令， ………………（2分）‎ ‎∵当，当，‎ ‎∴内是增函数，上是减函数 ‎∴当时，取最大值 ………………（4分）‎ ‎（II）①当，函数图象与函数图象有公共点，‎ ‎∴函数有零点，不合要求； ………………（8分）‎ ‎②当， ………………（6分）‎ 令，∵，‎ ‎∴内是增函数，上是减函数，‎ ‎∴的最大值是， ‎ ‎∵函数没有零点，∴，，‎ 因此，若函数没有零点，则实数的取值范围．………………（10分）‎ ‎6.（1）的定义域为，‎ ‎ 2分 ‎（i）若，则 故在单调增加．‎ ‎（ii）若 ‎ 单调减少，在（0，a-1），‎ ‎ 单调增加．‎ ‎（iii）若 ‎ 单调增加．‎ ‎（II）考虑函数 ‎ ‎ 由 ‎ ‎ 由于，从而当时有 ‎ ‎ 故，当时，有 ‎7.解：（I），得 当变化时，与变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴当时，取得极大值，没有极小值； …………（4分）‎ ‎（II）（方法1）∵，∴，∴‎ 即，设 ‎，，是的增函数，‎ ‎∵，∴；‎ ‎，，是的增函数，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴函数在内有零点， …………（10分）‎ 又∵，函数在是增函数，‎ ‎∴函数在内有唯一零点，命题成立…………（12分）‎ ‎（方法2）∵，∴，‎ 即，，且唯一 设，则，‎ 再设，，∴‎ ‎∴在是增函数 ‎∴，同理 ‎∴方程在有解 …………（10分）‎ ‎∵一次函数在是增函数 ‎∴方程在有唯一解，命题成立………（12分）‎ 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分．‎ ‎8.解：（I），即 ……………………（2分）‎ 得函数的定义域是， ……………………（4分）‎ ‎（II）‎ 设曲线处有斜率为－8的切线，‎ 又由题设 ‎①②③‎ ‎∴存在实数b使得 有解， ……………………（6分）‎ 由①得代入③得， ‎ 有解， ……………………（8分）‎ 方法1：，因为，所以，‎ 当时，存在实数，使得曲线C在处有斜率为－8的切线 ‎………………（10分）‎ 方法2：得，‎ ‎ ………………（10分）‎ 方法3：是的补集，即 ………………（10分）‎ ‎（III）令 又令 ，‎ 单调递减. ……………………（12）分 单调递减， ‎ ‎，‎ ‎ ………………（14分） ‎ ‎9.‎ ‎(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),，令，解得x=0，当-10时,，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0‎ ‎(II)证法一：.‎ 由(I)的结论知，由题设0a时，因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)‎ 因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即 设,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即 ‎10.解: （I）‎ ‎ 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ‎⑴当时，在内为增函数； ‎ ‎⑵当时，在内为减函数；‎ ‎⑶当时，在内为增函数；‎ ‎（II）由（I），‎ 设，‎ 则 ‎⑴当时，在单调递增；‎ ‎⑵当时，，在单调递减。 ‎ 故 ‎11. （1）令，由x>0，∴t>1，‎ 原不等式等价于 令f(t)=t-1-lnt，‎ ‎∵当时，有，∴函数f(t)在递增 ‎∴f(t)>f(1) 即t-1g(1)=0‎ ‎∴‎ 综上得 ‎（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得 即得 ‎12.分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解析 由题意有．①又．．．②（消元）‎ 消去可得．又，且 ‎ ‎13.解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，‎ ‎∴；‎ ‎ （2），‎ ‎=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），‎ ‎ （3），而，即，‎ ‎，同理，，又 ‎14.解法一:(Ⅰ)依题意,得由.‎ 从而令 ‎ ‎①当a>1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。‎ ‎②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ‎③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎ 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；‎ ‎③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；‎ 线段MP的斜率Kmp当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.‎ ‎（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() (Ⅰ) 直线MP的方程为由 得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎15.本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．‎ 解法1：（Ⅰ）令，‎ 则由题意可得．‎ 故所求实数的取值范围是．‎ ‎（II），令．‎ 当时，单调增加，当时，‎ ‎，即．‎ 解法2：（I）同解法1．‎ ‎（II），由（I）知，‎ ‎．又于是 ‎，‎ 即，故．‎ 解法3：（I）方程，由韦达定理得 ‎，，于是 ‎．‎ 故所求实数的取值范围是．‎ ‎（II）依题意可设，则由，得 ‎，故．‎ ‎16. ‎ ‎(Ⅱ)‎ 由条件得：从而 因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得 于是 ‎ ‎17.解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上是减函数，则在R上恒成立，故，解之得 ‎（2）当[0，1]时，，即对任意的[0，1]，，即在[0，1]成立，由于，则必需满足或或，解得