高考物理步步高 专题强化五
专题强化五 地球同步卫星 双星或多星模型
专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．
2．学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用，加深力和运动关系的理解．
3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．
命题点一 地球同步卫星
1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．
2．“七个一定”的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝ ＝3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝ma得a＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．
例1 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
答案 B
解析
地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示．
卫星的轨道半径为r＝＝2R
由＝得
＝.
解得T2≈4 h.
解决同步卫星问题的“四点”注意
1．基本关系：要抓住：G＝ma＝m＝mrω2＝mr.
2．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
3．物理规律
(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
(2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．
4．重要条件
(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
(3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s .
1．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”．
如图1所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图1
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
答案 D
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G＝ma，由题目中数据可以得出，r1
a2>a3，选项D正确．
2．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
答案 A
解析 地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由＝m(R＋h)，得h＝ －R，T变大，h变大，A正确．
由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误．
由＝，得v＝ ，r增大，v减小，C错误．
由ω＝可知，角速度减小，D错误．
3．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1
，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是( )
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
答案 AD
解析 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝，选项D正确．
命题点二 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图2所示．
图2
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
图3
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
例2 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
图4
(1)A星体所受合力大小FA；
(2)B星体所受合力大小FB；
(3)C星体的轨道半径RC；
(4)三星体做圆周运动的周期T.
答案 (1)2G (2)G (3)a (4)π
解析 (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G＝G＝FCA
方向如图所示
则合力大小为FA＝FBA·cos 30°＋FCA·cos 30°＝2G
(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
FAB＝G＝G
FCB＝G＝G
方向如图所示，
由余弦定理得合力为：
FB＝＝G
(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m
通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点
则RC＝ ＝a
(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝m()2RC，可得T＝π .
4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
答案 B
解析 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，
双星靠彼此的引力提供向心力，则有
G＝m1r1
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L
解得T＝2π
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时
T′＝2π＝·T
故选项B正确．
5．银河系的恒星中大约四分之一是双星．如图5所示，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．由天文观察测得它们的运动周期为T，若已知S1和S2的距离为r，引力常量为G，求两星的总质量M.
图5
答案
解析 设星体S1、S2的质量分别为m1、m2，运动的轨道半径分别为R1、R2，则运动的角速度为ω＝
根据万有引力定律和向心力公式有
G＝m1ω2R1＝m2ω2R2
又R1＋R2＝r
联立解得两星的总质量为
M＝m1＋m2＝＋＝＝.
一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较
如图6所示，a为近地卫星，半径为r1；b为同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3.
图6
近地卫星
同步卫星
赤道上随地球自转的物体
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r1r3＝r1
角速度
由＝mrω2得ω＝ ，故ω1>ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1>ω2＝ω3
线速度
由＝得v＝，故v1>v2
由v＝rω得v2>v3
v1>v2>v3
向心加速度
由＝ma得a＝，故a1>a2
由a＝rω2得a2>a3
a1>a2>a3
二、卫星追及相遇问题
典例 (多选)如图7所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
图7
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
点评 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之
分，但它们都处在同一条直线上，由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻，而本题中a、b、c三个质点初始位置不在一条直线上，故在列式时要注意初始角度差．
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D对．
题组1 同步卫星
1．(多选)
据报道，北斗卫星导航系统利用其定位、导航等功能加入到马航MH370失联客机搜救工作，为指挥中心调度部署人力、物力提供决策依据，保证了搜救船只准确抵达相关海域，帮助搜救船只规划搜救航线，避免搜救出现遗漏海域，目前北斗卫星导航定位系统由高度均约为36 000 km的5颗静止轨道卫星和5颗倾斜地球同步轨道卫星以及高度约为21 500 km的4颗中轨道卫星组网运行，下列说法正确的是( )
A．中轨道卫星的周期比同步卫星的周期大
B．所有卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上
C．同步卫星和中轨道卫星的线速度均小于第一宇宙速度
D．赤道上随地球自转的物体的向心加速度比同步卫星的向心加速度大
答案 BC
解析 由开普勒第三定律可知，轨道半径较小的中轨道卫星的周期比同步卫星的周期小，A项错；由题意知，北斗导航系统的卫星轨道高度一定，因此卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上，B项正确；第一宇宙速度是卫星绕地球的最大运行速度，C项正确；赤道上物体与同步卫星的角速度相同，由a＝ω2r可知，同步卫星的向心加速度较大，D项错．
2．如图1所示，轨道Ⅰ是近地气象卫星轨道，轨道Ⅱ是地球同步卫星轨道，设卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上都绕地心做匀速圆周运动，运行的速度大小分别是v1和v2，加速度大小分别是a1和a2，则( )
图1
A．v1>v2 a1v2 a1>a2
C．v1a2
答案 B
解析 根据G＝m＝ma，可知v＝ ，a＝，所以v1>v2，a1>a2.选项B正确．
3．设地球的质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G.“神舟九号”绕地球运行时离地面的高度为h，则“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度的比值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度分别为g神九、g同步，则m神九g神九＝G，m同步g同步＝G＝，联立可得＝，故C正确．
4．“神舟八号”飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞行轨道在地球表面的投影如图2所示，图中标明了飞船相继飞临赤道上空所对应的地面的经度．设“神舟八号”飞船绕地球飞行的轨道半径为r1，地球同步卫星飞行轨道半径为r2.则r∶r等于( )
图2
A．1∶24 B．1∶156
C．1∶210 D．1∶256
答案 D
解析 从图象中可以看出，飞船每运行一周，地球自转22.5°，故飞船的周期为T1＝×24 h＝1.5 h，同步卫星的周期为24 h，由开普勒第三定律可得＝＝()2＝，故选D.
题组2 双星、多星模型
5．(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图3所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( )
图3
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案 ABC
解析 由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝＝R.由牛顿第二定律得·2cos 30°＝m＝mω2r＝mr＝ma，可解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π，a＝，故A、B、C均正确，D错误．
6．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图4所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×105 m，太阳质量M＝2×1030 kg，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )
图4
A．102 Hz B．104 Hz C．106 Hz D．108 Hz
答案 A
解析 A、B的周期相同，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力，
有G＝MArA①
G＝MBrB②
有MArA＝MBrB，rA＋rB＝L，
解得rA＝L＝L＝L.
由①得T＝ ，
则f＝＝ ＝ Hz≈1.6×102 Hz.
7．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．
(1)计算出该双星系统的运动周期T；
(2)若该实验中观测到的运动周期为T观测，且T观测∶T＝1∶(N>1)．为了理解T观测与T的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．
答案 (1)πL (2)
解析 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝M2·，解得T＝πL.
(2)N>1，根据观测结果，星体的运动周期为T观测＝T
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