备战高考数学平面向量

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备战高考数学平面向量

学科网备战高考数学平面向量 ‎【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布 平面向量在高考试题中,主要考查有关的基础知识,突出向量的工具作用.平面向量的考查要求:第【考点pk】名师考点透析 考点一、向量的概念、向量的基本定理 ‎【名师点睛】‎ 了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。‎ 注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小。‎ 如果和是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2,使=λ1+λ2.‎ ‎ 注意:若和是同一平面内的两个不共线向量 ‎【试题演练】‎ ‎1、直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解:如图,将A放在坐标原点,则B点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角.所以k 的可能值个数是2,选B 点评:本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平面向量中的数形结合思想。‎ ‎2、如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,|| =‎ ‎,若=λ+μ(λ,μ∈R),‎ 则λ+μ的值为.‎ 解:过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由角BOC=90°角AOC=30°,=得平行四边形的边长为2和4,2+4=6‎ 点评:本题考查平面向量的基本定理,向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。‎ 二、向量的运算 ‎【名师点睛】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的【试题演练】‎ ‎1、设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=(  )‎ A.(-15,12)   B‎.0 C.-3 D.-11‎ 解:(a+2b),(a+2b)·c,选C 点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字。‎ ‎2、已知平面向量,且∥,则=(  )‎ ‎ A.(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)‎ 解:由∥,得m=-4,所以,‎ ‎=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),故选(C)。‎ 点评:两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的倍,也是共线向量,注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆。‎ ‎3、已知平面向量=(1,-3),=(4,-2),与垂直,则是( )‎ A. -1 B. ‎1 ‎ C. -2 D. 2‎ 解:由于 ‎∴,即,选A 点评:本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算,注意不要出现运算出错,因为这是一道基础题,要争取满分。‎ ‎4、在中,,若点满足,则=( ). A. B. C. D. ‎ ‎【解法一】∵∴‎ ‎∴.‎ ‎【试题演练】‎ 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与(   )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解:由定比分点的向量式得:同理,有:以上三式相加得所以选A.‎ 点评:利用定比分点的向量式,及向量的运算,是解决本题的要点.‎ 四、向量与三角函数的综合问题 ‎【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。‎ ‎【试题演练】‎ ‎1、已知向量 ,函数 ‎(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值.‎ 解:(1) . 所以,T=. ‎ ‎(2) 由得,‎ ‎∵,∴∴∴‎ ‎2、在中,角的对边分别为.‎ ‎(1)求;(2)若,且,求.‎ 解:(1) 又 解得.‎ ‎,是锐角. .‎ ‎(2)由, , .‎ ‎ 又. .‎ ‎. .‎ 点评:本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容。‎ ‎3、将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ 解: 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点,,则,代入到已知解析式中可得选A 点评:本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识,以平移公式切入,为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反,或死记硬背以为是先向右平移个单位,再向下平移2个单位,误选C 五、平面向量与函数问题的交汇 ‎【名师点睛】平面向量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围。‎ ‎【试题演练】已知向量=(cosx,sinx),=(),且x∈[0,].‎ ‎(1)求(2)设函数+,求函数的最值及相应的的值。‎ 解:由已知条件: , 得:‎ ‎ (2)‎ 因为:,所以:‎ 所以,只有当: 时, ,或时,‎ 点评:本题考查向量、三角函数、二次函数的知识,经过配方后,变成开口向下的二次函数图象,要注意sinx的取值范围,否则容易搞错。‎ 六、平面向量在平面几何中的应用 ‎【名师点睛】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标,这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.‎ O x A C B a y A C B a Q P ‎【试题演练】‎ 如图在RtABC中,已知BC=a,若长为‎2a的线段PQ以A为中点,问与的夹角取何值时,的值最大?并求出这个最大值。 ‎ 解:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且|PQ|=‎2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),‎ ‎∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1,即=0(方向相同)时,的值最大,其最大值为0.‎ 点评:本题主要考查向量的概念,运算法则及函数的有关知识,平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。‎ ‎【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析 ‎2009高考试题及解析 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ,b=, 则向量 A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 ‎ C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,由及向量的性质可知,C正确.‎ ‎2.(2009广东卷理)一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为 A. 6B. ‎2 C. D. ‎ ‎【解析】,所以,选D.‎ ‎3.(2009浙江卷理)设向量,满足:,,.以,,的模为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )‎ A. B. C. D.答案:C ‎ ‎【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.‎ ‎5.(2009浙江卷文)已知向量,.若向量满足,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现 ‎∵a,b,若,则cab,dab, 显然,a与b不平行,排除A、B. 若,则cab,dab,即cd且c与d反向,排除C,故选D.‎ ‎6.(2009北京卷文)设D是正及其内部的点构成的集合,点是的中心,若集合,则集合S表示的平面区域是 ( )‎ A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ 如图,A、B、C、D、E、F为各边 三等分点,答案是集合S为六边形 ABCDEF,其中,‎ 即点P可以是点A.‎ ‎7.(2009北京理)已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么 ( ) A.且c与d同向 B.且c与d反向 C.且c与d同向 D.且c与d反向 ‎【答案】D【解析】取a,b,若,则cab,dab, 显然,a与b不平行,排除A、B.若,则cab,dab,即cd且c与d反向,排除C,故选D.‎ ‎8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点,,则(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】:因为,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B。答案:B。‎ ‎【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,‎ 集合,则A.{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕}C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}‎ ‎【解析】因为代入选项可得故选A.‎ ‎12.(2009全国卷Ⅱ理)已知向量,则 ‎ A. B. C. D. ‎ 解:。故选C ‎13.(2009辽宁卷理)平面向量a与b的夹角为,, 则 ‎ (A) (B) (C) 4 (D)12‎ ‎【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+‎4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴选B ‎14.(2009宁夏海南卷理)已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是的 ‎ (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 ‎(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)‎ 解析:;‎ ‎15.(2009湖北卷文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=‎ A‎.3a+b B. ‎3a-b C.-a+3b D. a+3b ‎【答案】B【解析】由计算可得故选B ‎17.(2009辽宁卷文)平面向量a与b的夹角为,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |=‎ ‎(A) (B)2 (C)4 (D)12‎ ‎【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+‎4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴‎ ‎18.(2009全国卷Ⅰ文)设非零向量、、满足,则( )‎ ‎(A)150°B)120° (C)60° (D)30°‎ ‎【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】向量=(-3-1,2),‎ ‎=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3-1,2)×(-1,2)=0,即3+1+4=0,解得:=,故选.A。‎ ‎21.(2009湖南卷理)对于非0向量,是“”的()‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【解析】由可得,即得,但,不一定 有,所以“”是“的充分不必要条件。‎ ‎22.(2009福建卷文)设,,为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足与不共线,∣∣=∣∣,则∣•∣的值一定等于 A.以,为邻边的平行四边形的面积 B. 以,为两边的三角形面积 C.,为两边的三角形面积 D. 以,为邻边的平行四边形的面积 解析 假设与的夹角为,∣•∣=︱︱·︱︱·∣cos<,>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以,为邻边的平行四边形的面积,故选A。‎ ‎23.(2009重庆卷理)已知,则向量与向量的夹角是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎1.(2009广东卷理)若平面向量,满足,平行于轴,,则.‎ ‎【解析】或,则或.‎ ‎2.(2009江苏卷)已知向量和向量的夹角为,,‎ 则向量和向量的数量积=。‎ ‎【解析】考查数量积的运算。 ‎ ‎3.(2009安徽理)给定两个长度为1的平面向量和,‎ 它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧 上变动.若其中,则 的最大值是________.‎ ‎[解析]设 ‎,即 ‎∴‎ ‎4.(2009安徽文)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或=+,其中,R ,则+= ______。‎ ‎【解析】设、则 , ,代入条件得【答案】4/3‎ ‎5.(2009江西卷文)已知向量,,,若则=.‎ 答案:【解析】因为所以.‎ ‎6.(2009江西卷理)已知向量,,,若∥,则=.‎ 答案:【解析】‎ ‎7.(2009湖南卷文)如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则 , . ‎ 解:作,设,,‎ 由解得故 ‎8.(2009辽宁文)在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为___________.‎ ‎2(2009湖南卷文)(每小题满分12分) 已知向量 ‎(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若求的值。‎ 解:(Ⅰ) 因为,所以于是,故 ‎(Ⅱ)由知,所以 从而,即,于是.又由 知,,所以,或.因此,或 ‎3(2009广东文理)已知向量与互相垂直,其中.(1)求和的值;(2)若,求的值.‎ 解:(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.‎ ‎(2)∵,,∴,则,∴.‎ ‎4.2009江苏卷)设向量 ‎(1)若与垂直,求的值;(2)求的最大值;‎ ‎(3)若,求证:∥.‎ ‎2008高考试题及解析 ‎(一)选择题 ‎1.(安徽理3文2)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则()‎ A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)‎ 解:因为,选B。‎ ‎2.(广东卷理8)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.‎ ‎3.(广东卷文3)已知平面向量,,且//,则=()‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【解析】排除法:横坐标为,选B.‎ ‎4.(海南宁夏卷理8文9)平面向量,共线的充要条件是()‎ A. ,方向相同 B. ,两向量中至少有一个为零向量 C. , D. 存在不全为零的实数,,‎ ‎【试题解析】:若均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数使得;【解析】由定比分点的向量式得:‎ 以上三式相加得 所以选A.‎ ‎8.(辽宁卷理5)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足,则 ‎ A. B. C. D.‎ 解析:本小题主要考查平面向量的基本定理。‎ 依题∴答案:A ‎9.(辽宁卷文5)已知四边形的三个顶点,,,且,则顶点的坐标为()A.B.C.D.‎ 解析:本小题主要考查平面向量的基本知识。‎ 且,答案:A ‎10.(全国Ⅰ卷理3文5)在中,,.若点满足,则 A.B.C. D.‎ A. 由,,;‎ ‎11.(四川卷文3)设平面向量,则( )‎ ‎(A)     (B)    (C)    (D)‎ ‎【解】:∵∴‎ 故选C;此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算 ‎12.(上海春卷13)已知向量,若,则等于( )‎ ‎(A). (B). (C). (D)‎ 解析:由题意得2-(-3)3=0,所以=。‎ ‎13.(湖南卷文7)在中,AB=3,AC=2,BC=,则 ( )‎ A.B.C. D.‎ ‎【解析】由余弦定理得所以选D.‎ ‎14.(浙江卷理9)已知,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是 ‎(A)1 (B)2 (C)(D)‎ 解析:本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。‎ 展开 则的最大值是;或者利用数形结合,,对应的点A,B在圆上,对应的点C在圆上即可. ‎ ‎17.(安徽卷理5)将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称,则向量的坐标可能为()A. B. C. D.‎ 解:设平移向量,则函数按向量平移后的表达式为 ‎,因为图象关于点中心对称,‎ 故代入得:,,‎ k=0得:,选C。本题也可以从选择支出发,逐个排除也可。‎ ‎18.(福建卷理9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数y=-f′(x)的图象,则m的值可以为A. B. C.- D.-‎ 解:,而的图象按向量平移后 得到,所以,故可以为.‎ ‎19.(福建卷文7)函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosxD.cosx 解:‎ ‎20.(湖北卷理5文7)将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是A. B. C. D. ‎ 解:平移得到图象的解析式为,对称轴方程,‎ 把带入得,令,‎ ‎21.(辽宁卷理8文8)将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则 A. B. C. D.‎ 解析:本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数的图象得到函数的图象,需将函数的图象向左平移1个单位,向下平移1个单位;故 ‎22.(重庆卷理7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P,则点P分有向线段所成的比的值为(A)- (B) - (C) (D) ‎ 解:设点,则,选 A ‎23.(重庆卷文4)若点P分有向线段所成的比为-,则点B分有向线段所成的比是 ‎(A)- (B)- (C) (D)3‎ ‎【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知,B点是有向线段PA的外分点,,故选A。‎ ‎(二)填空题 ‎1.(北京卷理10)已知向量与的夹角为,且,那么的值为.‎ ‎【标准答案】: 0‎ ‎【试题分析】: 利用数形结合知,向量a与‎2a+b垂直。‎ ‎【备考提示】:向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起注意。‎ ‎2.(北京卷文11)已知向量与的夹角为,且,那么的值为.‎ ‎【答案】【解析】‎ ‎3.(江苏卷5)的夹角为,,则。‎ ‎【解析】本小题考查向量的线性运算.‎ ‎=,7【答案】7‎ ‎4.(江西卷理13)直角坐标平面上三点,若为线段的三等分点,则=.‎ ‎【答案】【解析】由已知得,则 ‎5.(江西卷文16)如图,正六边形中,有下列四个命题:‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).‎ ‎【解析】,∴对取的中点,则,‎ ‎∴对设, 则,而,∴错 又,∴对∴真命题的代号是 ‎6.(陕西卷理15文15)关于平面向量.有下列三个命题:‎ ‎①若,则.②若,,则.③非零向量和满足,则与的夹角为.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)‎ 解:①,向量与垂直②‎ ‎③构成等边三角形,与的夹角应为所以真命题只有②。‎ ‎7.(上海卷理5文5)若向量、满足||=1,||=2,且与的夹角为,则|+|=‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎8.(天津卷理14)如图,在平行四边形中,,‎ 则.‎ 解析:令,,则 所以.‎ ‎9.(天津卷文14)已知平面向量,,若,则.‎ 解析:因为,所以.‎ ‎10.(浙江卷文16)已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是。答案:‎ ‎(舍负).‎ ‎(三)解答题 ‎1.(福建卷理17) 已知向量m=(sinA,cosA),n=,m·n=1,且A为锐角.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求函数的值域.‎ 解:(Ⅰ)由题意得 ‎     由A为锐角得 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎ 所以 ‎ 因为x∈R,所以,因此,当时,f(x)有最大值.‎ ‎ 当时,有最小值-3,所以所求函数的值域是 ‎2.(福建卷文17)已知向量,且 ‎(Ⅰ)求tanA的值;(Ⅱ)求函数R)的值域.‎ 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力,满分12分.‎ 解:(Ⅰ)由题意得m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanA=2得 因为xR,所以.当时,f(x)有最大值,当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是 ‎2007高考试题及解析 一、选择题 ‎1(北京4)已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎2(辽宁3)若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为( D )‎ A.0 B. C. D.‎ ‎3(辽宁6)若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎4(宁夏,海南4)已知平面向量,则向量( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(福建4)对于向量和实数,下列命题中真命题是( B )‎ A.若,则或 B.若,则或 C.若,则或 D.若,则 ‎6(湖北2)将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为( A )‎ A. B.C. D.‎ ‎7(湖北文9)设,在上的投影为,在轴上的投影为2,且,则为( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎8(湖南4)设是非零向量,若函数的图象是一条直线,则必有( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎9(湖南文2)若是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10(四川7)设A{a,1},B{2,b},C{4,5},为坐标平面上三点,O为坐标原点,若上的投影相同,则a与b满足的关系式为 ( A )‎ ‎(A)(B) (C) (D)‎ ‎11(天津10)设两个向量和,其中为实数.若,则的取值范围是( A )A.[-6,1] B. C.(-6,1] D.[-1,6]‎ ‎12(浙江7)若非零向量满足,则( C )‎ A. B. C. D. ‎ ‎13(浙江文9)若非零向量、满足|一|=||,则(A)  ‎ ‎(A) |2|>|一2| (B) |2|<|一2|‎ ‎(C) |2|>|2一| (D) |2|<|2一|‎ ‎14(山东11)在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是( C )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎15(山东文5)已知向量,若与垂直,则( C )‎ A. B. C. D.4‎ ‎16(重庆5)在中,,,,则( A )‎ D C A B 题(10)图 A. B. C. D.‎ ‎17(重庆10)如题(10)图,在四边形中,,‎ ‎,,‎ 则的值为( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎18(上海14)直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是( B )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎19(全国Ⅰ3)已知向量,,则与( A )‎ A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 ‎20(全国Ⅱ5)在中,已知是边上一点,若,则( A )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎1(安徽13)在四面体中,为的中点,为的中点,则(用表示). ‎ ‎2(北京11.)已知向量.若向量,则实数的值是 ‎3(北京12.)在中,若,,,则 ‎4(广东10. )若向量、满足的夹角为120°,则=.‎ ‎5(湖南12.)在中,角所对的边分别为,若,b=,,则.‎ ‎7(江西15.)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为 2 .‎ ‎8(江西文13.)在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点分别为,‎ ‎,则.‎ ‎9(陕西15. )如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.‎ ‎10(天津15.)如图,在中,,是边上一点,,则.‎ ‎11(天津文15)在中,,,是边的中点,则.‎ ‎12(重庆文(13))在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=。‎ ‎13(上海文6.)若向量的夹角为,,则.‎ 三、解答题:‎ ‎1.(广东)16已知△顶点的直角坐标分别为.‎ ‎ (1)若,求sin∠的值;(2)若∠是钝角,求的取值范围.‎ 解:(1) , 当c=5时,‎ 进而 ‎(2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>‎ 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[,+)‎ ‎(1)求;(2)若,且,求.‎ 解:(1) 又 解得.‎ ‎,是锐角. .‎ ‎(2), ,.又.‎ ‎. . .‎ ‎【两年模拟】 ‎ ‎08名校模拟题及其答案 一、选择题 ‎1.(江苏省启东中学高三综合测试四)在中,=a,=b,M为OB的中点,N为AB的中点,ON,AM交于点P,则= ()‎ A.a-b B.-a+b C.a-b D.-a+b答案B ‎2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知向量,,若与共线,则等于( )A.; B.; C.; D.;答案A ‎3.(江西省五校2008届高三开学联考)已知向量≠,||=1,对任意t∈R,恒有|-t|≥|-|,则 ( )A.⊥B.⊥(-) C.⊥(-) D.(+)⊥(-)答案:B ‎4.(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知向量a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若a//b,则x=( )A.4 B‎.5 ‎C.6 D.7答案C ‎5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量,其中、均为非零向量,则的取值范围是( )A. B. C. D.答案B ‎6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知A,B,C是平面上不共线上三点,动点P满足,则P的轨迹一定通过的 A.内心 B. 垂心 C.重心 D.AB边的中点答案C ‎7.(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)下列式子中(其中的a、b、c为平面向量),正确的是 ( ) A. B.a(b·c)=(a·b)c ‎ C. D.答案C ‎8.(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知单位向量a,b的夹角为,那么 ( )‎ A.B.C.2D.答案B ‎9.(东北三校2008年高三第一次联考)已知向量( )A.1 B. C.2 D.4答案B ‎10.(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知平面上三点A、B、C满足的值等于 ( )A 25 B ‎24 ‎C.-25 D -24答案C ‎11.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界),设,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m、n满足( )‎ A.m>0, n>0 B.m>0, n<‎‎0 ‎ C.m<0, n>0 D.m<0, n<0答案 B ‎12.(湖北省荆门市2008届上期末)如图,在△ABC中,= ()‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 二、填空题 ‎13.(江苏省省阜中2008届高三第三次调研) O为平面上定点,A,B,C是平面上不共线的三 若()·()=0,则DABC的形状是.答案 等腰三角形 ‎14.( 江苏省滨海县2008高三第三次联考数学试卷)不共线的向量,的模都为2,若,,则两向量与 的夹角为答案 90°‎ ‎15.(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知向量,,则的值为.答案1‎ ‎16.(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知,且,∠AOB=60°,则=____;与的夹角为_____.答案2, ‎17.(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知Rt△ABC的斜边BC=5,则的值等于.答案-25‎ 三、解答题 ‎19.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知, ,,.(Ⅰ)当时,求使不等式成立的x的取值范围;(Ⅱ)求使不等式成立的x的取值范围.‎ 解(Ⅰ)当时,,.‎ ‎. ∵,‎ ‎∴ 解得 或.‎ ‎∴当时,使不等式成立的x的取值范围是.‎ ‎ (Ⅱ)∵,‎ ‎∴ 当m<0时,; 当m=0时,; 当时,; 当m=1时,; 当m>1时,. ‎ ‎2009名校模拟题及其答案 一、选择题 ‎ ‎1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量等于( )A.9 B.‎1 ‎ C.-1 D.-9答案 B ‎2.(2009昆明市期末)在△ABC中,‎ ‎( )A.B C.D.1答案 B ‎3.(2009玉溪市民族中学第四次月考)已知向量反向,则m=( )‎ A.-1 B.-‎2 ‎C.0 D.1答案A ‎4.(2009上海闸北区)已知向量和的夹角为,,且,则 ( )‎ A. B. C. D.答案 C ‎5.(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知、是不共线的,则、、 三点共线的充要条件是:()‎ A.B.C.D.答案 D ‎ ‎6.(辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试)已知向量夹角的取值范围是()‎ A.B. C. D.答案C 二、填空题 ‎ ‎7. (山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知,且,则与的夹角为.答案 ‎ ‎8.(2009云南师大附中)设向量_________答案 ‎ ‎9.(2009冠龙高级中学3月月考)若向量与的夹角为,,则____.答案 ‎ ‎10.(2009上海九校联考)若向量,则向量的夹角等于 ‎11.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题 ‎① 非零向量、满足||=||=|-|,则与+的夹角为30°;‎ ‎②·>0是、的夹角为锐角的充要条件;‎ ‎③ 将函数y=|x-1|的图象按向量=(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为y=|x|;‎ ‎④若()·()=0,则△ABC为等腰三角形 ‎ 以上命题正确的是。(注:把你认为正确的命题的序号都填上)答案 ①③④‎ ‎12.(2009扬州大学附中3月月考)在直角坐标系中,分别是与轴,轴平行的单位向量,若直角三角形中,,,则实数m=.答案 -2或0‎ ‎13.(2009丹阳高级中学一模)已知平面上的向量、满足,,设向量,则的最小值是答案 2‎ 三、解答题 ‎14.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知向量m=(,1),n=(,)。(1)若m•n=1,求的值;(2)记f(x)=m•n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(‎2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围。‎ 解(I)m•n===‎ ‎∵m•n=1 ∴ =‎ ‎ (II)∵(‎2a-c)cosB=bcosC 由正弦定理得 ‎∴∴∵∴,且∴∴‎ ‎∴又∵f(x)=m•n=,∴f(A)=‎ 故函数f(A)的取值范围是(1,)‎ 平移后得到函数的图像,求实数m,n的值。‎ 解(1)‎ 又 ‎(2)平移后为而 ‎17.(2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)已知向量 ‎(1)当时,求的值;(2)求在上的值域.‎ 解(1) ,∴,∴‎ ‎ (5分)‎ ‎(2)‎ ‎∵,∴,∴‎ ‎∴∴函数(10分)‎ ‎18.(青岛市2009年统一质量检测)已知向量,设函数.(Ⅰ)求函数的最大值;(Ⅱ)在锐角三角形中,角、、的对边分别为、、,, 且的面积为,,求的值.‎ 解(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,‎ 因为,所以,‎ ‎,又 ‎19.(黄山2009届一次质量检测)已知△ABC的面积S满足(1)求的取值范围;(2)求函数的最大值 解(1)由题意知.‎ ‎, ‎ ‎ (2)‎ ‎.‎ 图4‎ ‎20.(2009广东江门模拟)如图4,已知点和 单位圆上半部分上的动点.⑴若,求向量;‎ ‎⑵求的最大值.‎ ‎ 解 依题意,,‎ ‎(不含1个或2个端点也对),‎ ‎(写出1个即可)因为,所以 4分,即解得,所以.‎ ‎⑵,‎ ‎------11分 ------12分 当时,取得最大值,.‎ ‎,‎ ‎22.(山东临沂2009年模拟)如图,已知△ABC中,|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。‎ (1) 求关于θ的表达式;求的值域。‎ 解:(1)由正弦定理,得 ‎(2)由,得 ‎∴,即的值域为.‎ ‎(I)解;‎ 得到的单调递增区间为 ‎(II) ‎ ‎25.(安徽省江南十校2009年高三高考冲刺)在中,,记的夹角为.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)求函数的最大值和最小值.‎ 解 (1)由余弦定理知:,又,‎ 所以,又即为的取值范围;‎ ‎(Ⅱ),因为 ‎,所以,因此,.‎ ‎【一年原创】 2008和2009原创试题及其解析 一、选择题 ‎1.若向量与的夹角为120° ,且,则有 A ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2.已知向量=(1,2)和=(x,1),若向量+2与2-平行,则实数x等于 (A )‎ A. B.‎1 ‎‎ C. D.2‎ ‎3.在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是(C)‎ A、, B、‎ C、 D、‎ ‎4.设是双曲线上一点,点关于直线的对称点为,点为坐标原点,则(B ).A. B. C.D.‎ ‎5.已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足,则(D )‎ A.1:3 B.3:‎1 ‎C. 1:2D. 2:1‎ A B C O ‎6.如图,在平面直角坐标系中,两个非零向量与轴正半轴的夹角分别为和,向量满足,则与轴正半轴夹角取值范围是( B )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7.已知,,,点在直线上的射影为点,则的最大值为 ( C ) ‎ ‎8.若=a,=b,则∠AOB平分线上的向量为( B )‎ A.B.(),由确定 C.D.‎ 二、填空题 ‎1.已知在平面直角坐标系中,,(其中为原点,实数满足),若N(1,0),则的最小值是________.‎ ‎2.已知直线交于不同的两点A、B,O是坐标原点,的取值范围是。‎ ‎3.设与是两个不共线的向量,且向量与共线,则的值等于 ‎4.‎ ‎5.设点是内一点(不包括边界),且,则的取值范围是(,3).‎ ‎6.已知向量,,若与共线,则=.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量,平面内三点A、B、C满足,。 若A、B、C三点构成直角三角形,则实数m的值为或10.‎ ‎8.设是平面直角坐标系内轴、轴正方向上的单位向量,且,则面积的值等于▲。‎ 三、计算题 ‎1.已知向量.(Ⅰ) 求 f ()的值;(Ⅱ)求时,f (x)的单调递增区间.‎ ‎【解】(Ⅰ) ,‎ ‎(Ⅱ) , 当()时,f(x)单增, ‎ ‎ 即() ∵,‎ ‎∴ 在上的单调递增区间为. ‎ ‎2.已知向量,(1)若求的值;(2)设,求的取值范围.‎ ‎=‎ ‎(Ⅱ)‎ 所以 ‎ ‎4.已知向量,,函数,.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)在中,分别是角的对边,且,,,且,求的值.‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎∴函数的最小周期 ‎(Ⅱ)‎ 是三角形内角 ∴, ∴ 即:‎ ‎∴ 即: 将可得: 解之得:∴∴‎ ‎【考点预测】 2010高考预测 预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题,通常为选择题或填空题出现;而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题,通常为解答题,难度以中档题为主。‎ 复习建议 ‎1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用,紧紧围绕数形结合思想,扬长避短,解决问题;‎ ‎2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点,一般服出现在解答题的前三大题里,在复习中,应加强这种类型试题的训练。‎ ‎【母题特供】每个专题5道最典型试题 ‎ 母题一: 金题引路:‎ 已知:向量(1)若点能构成三角形,求出实数应满足的条件;(2)若为直角三角形,且为直角,求实数的值。‎ 解:(1)要使点能构成三角形,只要三点不共线。‎ 由有:‎ 所以只要即 ‎(2)因为为直角三角形,且为直角 符合题意。‎ 母题二: 金题引路:‎ 已知向量(Ⅰ)当时,求函数的值域;(Ⅱ)若的值.‎ 解:(Ⅰ)由 ‎∵∴的值域为[-1,2]‎ ‎(Ⅱ)∵∴∴‎ ‎∴‎ 母题三: 金题引路:‎ 设函数,其中向量, (1)求函数的最小正周期 ‎(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的取值集合.‎ 解:(Ⅰ)f(x)=×= (2cosx+1,cos2x-sinx+1)×(cosx,-1)=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1 =cosx+sinx =sin(x+) ‎ 令2kp+£x+£2kp+,kÎZ 解得:2kp+£x£2kp+所以,函数f(x)的单调递减区间[2kp+,2kp+],kÎZ ‎(Ⅱ)函数f(x)的最大值是,此时x+=2kp+,即x=2kp+ ‎∴函数f(x)取得最大值时,x的取值集合为{x|x=2kp+,kÎZ}‎ 母题五、金题引路:‎ 如图4,已知点和单位圆上半部分上的动点.‎ 图4‎ ‎⑴若,求向量;‎ ‎⑵求的最大值.‎
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