用平面的法向量解高考立体几何试题

用平面的法向量解高考立体几何试题

用平面的法向量解高考立体几何试题 ‎ ‎ ‎ 张靖松 平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。‎ 一、平面法向量的概念和求法 ‎ 向量与平面垂直 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a。‎ ‎ 平面的法向量 如果a，那么向量a叫做平面的法向量。‎ ‎ 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：‎ ‎ 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或 ‎]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且 ‎，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。有时为了需要，也求法 A B C D x y A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ z 图1‎ 向量上的单位法向量，则。‎ ‎ 例1 在棱长为1的正方体中，‎ 求平面的法向量和单位法向量。‎ ‎ 解：建立空间直角坐标系，如图1，则，‎ ‎。设平面的法向量。‎ 得，。‎ 又面，得，。有，得。‎ ‎，。‎ ‎ 二、平面法向量的三个引理 ‎ 为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以 顺利地解决立体几何问题。‎ ‎ ‎ 引理1 设向量是平面的单位法向量，点B是平面外一定点，点A是内任意一点，则点B到平面的距离。‎ A B O n 图 2‎ ‎ 证明：如图2，过B作BO垂直平面于O，在 平面上任取一点A，则为与的夹 角，设为。‎ ‎ 在中，，‎ 得。‎ ‎ 例2 在例1中，求点到平面的距离。‎ ‎ 解析：由例1的解答知，平面的单位法向量，‎ 又，设点到平面的距离为，则 ‎。‎ ‎ 所以，点到平面的距离为。‎ ‎ 说明：利用引理1求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。‎ 引理2 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角,‎ 向量与的夹角（见图2），则。（证略）‎ 例3 在例1中，求直线与平面所成的角。‎ 图 3‎ 解析：由例1知，，，‎ ‎，即。‎ 引理3 如图3，设向量与分别是二面角 中的两个半平面，的法向量，‎ 则向量与的夹角的大小就是 所求二面角或其补角的大小。（证略）‎ ‎ 例4 在例1中，求二面角的大小。‎ ‎ 解：由例1知，平面的法向量是，平面的法向量是，‎ 设二面角的大小为，则 ‎ ，得。‎ 说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量与的夹角可能等于所求二面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的补角，如若，‎ 则，‎ 于是。‎ 如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，‎ 若方向相反，则互补。‎ ‎ 三、利用法向量解2005年高考立体几何试题 A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ x y z 图4‎ ‎ 例5 （05江西 理）如图4，在长方体 中，AD==1，AB=2，点E在棱AB 上移动。‎ ‎ （Ⅰ）证明：；‎ ‎ （Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面 的距离；‎ ‎ （Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。‎ ‎ 分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。‎ ‎ ‎ 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，‎ ‎，。‎ ‎ （Ⅰ）证明：由，，‎ ‎，有，于是。‎ ‎ （Ⅱ）E是AB的中点，得。‎ ‎，，。‎ ‎ 设平面的法向量为，单位法向量为，‎ 由，解得。‎ ‎ 于是，有。‎ 设点E到平面的距离为，则 ‎。‎ ‎ 所以点E到平面的距离为。‎ ‎ （Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。‎ 又，。‎ ‎ 由，得 ‎，解得，于是。‎ ‎ ‎ 设所求的二面角为，则。‎ ‎ 有，得。‎ 解得，‎ 所以，当AE=时，二面角的大小为。‎ ‎ 例6 A B C D E F x y z P 图 5‎ （05全国卷Ⅱ）如图5，四棱锥中，‎ 底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，‎ E，F分别CD、PB的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：EF平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。‎ 分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面 垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理 论证能力，本题也是一题两法。‎ ‎ （Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=‎ PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(‎2a,0,0),A(0,1,0),B(‎2a,1,0),P(0,0,1), .‎ 得，，。‎ 由，得，即，‎ ‎ 同理，又，‎ ‎ 所以，EF平面PAB。‎ ‎（Ⅱ）解：由，得，即。‎ 得，，。‎ ‎ 有，，。‎ ‎ 设平面AEF的法向量为，‎ ‎ ‎ 由，解得。‎ 于是。‎ ‎ 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。‎ ‎ 则。‎ 得。‎ 所以，AC与平面AEF所成角的大小为。‎ ‎ 说明：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC与平面AEF所成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面的法向量，利用向量间的代数运算，可方便简捷地解决此题。‎ A B C D M P 图 6‎ 利用法向量也可顺利求解2005全国卷Ⅰ第18题：‎ 如图6 已知四棱锥的底面为直角梯 形，AB//DC，，底面ABCD，‎ 且PA=AD=DC=，M是PB的中点。‎ ‎ （Ⅰ）证明：面PAD面PCD；‎ ‎ （Ⅱ）求AC与PB所成的角；‎ ‎ （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。‎ ‎ 解：（略）‎ 说明：本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果 采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。‎ ‎ 以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可 弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。‎ ‎ （摘自《试题与研究》2005/26 高考数学）‎