（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 三角函数图象与性质

（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 三角函数图象与性质

第04节 三角函数图象与性质 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 三角函数的图象和性质 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.‎ ‎2013浙江文3；‎ ‎2015浙江文11，理11； ‎ ‎2016浙江文3，理5；‎ ‎2017浙江18；‎ ‎2018浙江5.‎ ‎1.“五点法”作图；‎ ‎2,.三角函数的性质；‎ ‎3.往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.‎ ‎4.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象；‎ ‎(2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 ‎（1）正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 既无最大值，也无最小值 周期性 19‎ 奇偶性 ‎,奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数．‎ 在上是增函数；在上是减函数．‎ 在上是增函数．‎ 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.‎ 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.‎ 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.‎ ‎（2）（五点法），先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.‎ ‎2．三角函数的定义域与值域 ‎（1）定义域：,的定义域为,的定义域为.‎ ‎（2）值域：,的值域为,的值域为.‎ ‎（3）最值：：当时，；当时，．‎ ‎：当时，；当时，．‎ ‎：既无最大值，也无最小值 ‎3.三角函数的单调性 ‎（1）三角函数的单调区间：‎ 的递增区间是，‎ 19‎ 递减区间是；‎ 的递增区间是，‎ 递减区间是，‎ 的递增区间是，‎ ‎（2）复合函数的单调性 设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 ‎4 .三角函数的对称性 ‎（1）对称轴与对称中心：‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 对称中心为.‎ ‎（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.‎ 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．‎ 19‎ ‎（3）相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．‎ ‎5.三角函数的奇偶性 ‎（1）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 ‎（2）奇偶函数的性质：‎ ‎（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；‎ ‎（3）为偶函数．‎ ‎（4）若奇函数的定义域包含，则．‎ ‎（5）为奇函数，为偶函数，为奇函数.‎ ‎6.三角函数的周期性 ‎（1）周期函数的定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．‎ ‎（2）最小正周期：对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做的最小正周期． ‎ ‎（3）,周期为,周期为.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 ‎【1-1】【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数.‎ 详解：，，由题可知，或，解得,或，故有3个零点.‎ ‎【1-2】【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 19‎ A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【领悟技法】‎ 用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图，则φ=（　　）‎ 19‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.‎ 详解：因为，所以 因为，所以 因为|φ|＜因此，‎ 选B.‎ ‎【变式二】【江西省赣州市2018年5月高考适应性考试】若函数在区间上有两个零点，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点2三角函数的定义域与值域 ‎【 2-1】函数的定义域是________．‎ ‎【答案】‎ 19‎ ‎【解析】(1)由题意得，即，分别由三角函数线得，‎ ‎【2-2】【2018年北京卷文】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期； ‎ ‎（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ），‎ 所以的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 因为，所以.‎ 要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.‎ 所以，即.‎ 所以的最小值为.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．‎ ‎2．三角函数值域的不同求法 ‎(1)利用sin x和cos x的值域直接求；‎ ‎(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；‎ ‎(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；‎ ‎(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．‎ 19‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】函数的定义域是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由⩾0得,∴，k∈Z.‎ 故选D.‎ ‎【变式二】【2017新课标2】函数（）的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】化简三角函数的解析式，则 ，由可得，当时，函数取得最大值1．‎ 考点3三角函数的单调性 ‎【3-1】【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（ ）‎ A. ，Z B. ，Z C. ，Z D. ，Z ‎【答案】A ‎【解析】分析：由，可得关于对称，对任意，可得时，取得最小值，即可求解解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数的单调递减区间.‎ 19‎ 那么，函数，‎ 当时，取得最小值，‎ ‎，，‎ 即函数，‎ 令，‎ 得，‎ 所以，函数的单调递减区间为：‎ ‎，,故选A.‎ 点睛：的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎【3-2】已知函数的最小正周期为，则该函数的单调增区间为( )‎ 19‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于函数的最小正周期为，∴，令，求得，可得函数的增区间为，故选B.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．‎ ‎2. 如何确定函数当时函数的单调性 对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.‎ ‎3.求函数 (或，或)的单调区间的步骤：‎ ‎(1)将化为正．‎ ‎(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ ‎4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）‎ 19‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由五点作图知，解得：，所以，令 ‎，解得，故单调递减区间为 ‎，故选D．‎ ‎【变式二】【2018届河南省南阳市第一中学第十五次考试】已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（ ）‎ A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 ‎【答案】D 19‎ 考点4 三角函数的对称性 ‎【4-1】【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.‎ 详解：由题意可得，所以，因为，所以 ‎【4-2】若函数（）的图象关于点对称，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意可得 又，故 .‎ ‎【领悟技法】‎ 先化成的形式再求解．其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】的对称中心为，所以的对称中心可以表示为，经检验C选项不满足条件，故选C．‎ ‎【变式二】【2018届新疆乌鲁木齐地区5月训练】函数图像的一条对称轴为（ ）‎ 19‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：逆用两角和余弦公式公式进行化简，结合三角函数的对称性建立方程进行求解即可．‎ 详解：y=cosx﹣sinx=（cosx﹣sinx）=cos（x+），‎ 由x+=kπ，得x=﹣+kπ，k∈Z，‎ 即函数的对称轴为x=﹣+kπ，k∈Z，‎ 当k=0时，对称轴为x=﹣，‎ 故选：D．‎ 考点5三角函数的奇偶性 ‎【5-1】函数 是 （ ）‎ A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】为偶函数 本题选择B选项.‎ ‎【5-2】【2018届辽宁省丹东市测试（二）】设，若，则函数 A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由可得，将其代入化简得到，所以函数为偶函数．‎ 19‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.‎ ‎2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：‎ ‎(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；‎ ‎(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；‎ ‎(3)若为奇函数则有.‎ ‎【触类旁通】‎ 下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 19‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为周期的函数有、 、 ，是偶函数的有 、 ，在上是增函数的只有，应选答案B 考点6三角函数的周期性 ‎【6-1】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【6-2】【2017天津，文理】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎【答案】 ‎ 19‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.求三角函数的周期的方法 ‎（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；‎ ‎（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；‎ ‎(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；‎ ‎(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.‎ ‎2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.‎ ‎3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017课标II，文3】函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 19‎ ‎ ‎ ‎【变式二】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：求函数的单调递减区间.‎ 易错分析：解答本题易直接由：，得出错误结论，原因是忽略复合函数的单调性,再一点易忽略这个条件.‎ 正确解析：把函数变为,‎ 由，‎ 得，‎ 即,‎ 19‎ 故函数的单调减区间为.‎ 温馨提醒：(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解答此类问题关键是将三角函数变形为处理．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略复合函数的单调性，直接由：，得出错误结论；二是易忽略对字母的限止,在解答此类问题时，一定要注意对字母的限止.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数的部分图像如图.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式.‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2) 时，，时，.‎ 19‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）从图像可以得到，故，再利用得出的大小.‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，可先计算当时的取值范围，再利用的性质求在相应范围上的最值.‎ 详解：（1）由图像可知，又，故.‎ 周期，又，‎ ‎∴.∴.‎ ‎.‎ ‎（2），‎ ‎∴.‎ 当时，，.‎ 当时，，.‎ 所以，.‎ 19‎