备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题

专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. ‎ 解决圆锥曲线中的范围、最值问题一般有三种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解；三是通过建立不等式、解不等式求解.‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用几何关系解答圆锥曲线的综合问题，特别是最值（范围）问题的常见解法.‎ ‎1、利用几何关系求最值的一般思路:‎ ‎（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关 ‎（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值.所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上.‎ ‎（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置 ‎（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置.‎ 24‎ ‎2、常见的线段转移：‎ ‎（1）利用对称轴转移线段 ‎（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移.‎ ‎（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化.‎ ‎（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 ‎（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）‎ ‎3、与圆相关的最值问题：‎ ‎（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点 ‎（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小 ‎（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 ‎ 24‎ ‎（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为 解：，则若最小，则只需最小即可，‎ 所以点为过作垂线的垂足时，最小 过作圆的切线，则切线长最短 ‎4、与圆锥曲线相关的最值关系：‎ ‎（1）椭圆：设椭圆方程为 ‎ ‎① 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为 ‎ ‎② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 ‎（2）双曲线：设双曲线方程为 ‎① 焦半径：焦半径的最小值为，无最大值 ‎② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 ‎（3）抛物线：设抛物线方程为 ‎① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 ‎ ‎② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 ‎ ‎【经典例题】‎ 24‎ 例1.已知点在抛物线的准线上，过点作抛物线的切线，若切点在第一象限，是抛物线的焦点，点在直线上，点在圆上，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 例2.【2019届湖南省长沙市长郡中学模拟二】已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性，结合椭圆的定义可得，利用点与直线的距离不小于列不等式求解即可.‎ 详解：‎ 24‎ 可设为椭圆的左焦点，连接，‎ 解得，‎ 椭圆的离心率的取值范围是，故选B.‎ 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.‎ 例3.【2019届四川省成都市第七中学三诊】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B 24‎ ‎【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．‎ 详解：由双曲线方程可得，‎ 双曲线的右顶点为，渐近线方程为，即．‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，‎ 设点M到直线的距离为，到直线的距离为，则，‎ ‎∴．‎ 结合图形可得当三点共线时，最小，且最小值为点F到直线的距离 24‎ ‎．‎ 故选B．‎ 点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：‎ ‎（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；‎ ‎（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．‎ 例4.【2019届安徽省芜湖市5月模拟】已知椭圆 的右焦点为．圆 上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 同理，当点为椭圆的右顶点时，最大，‎ 可得 解得，‎ 离心率，故选B.‎ 24‎ 点睛：本题的关键是能够分析出当取得最大值及最小值时，点的位置，再结合平面几何知识列出方程，联立而后求出的值.‎ 例5.【2019届天津市部分区质量调查（二）】设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．‎ 详解：∵为圆上的点， ‎ ‎∴是 的中点，又是的中点， ‎ 且 ， 又 ‎ 是圆的切线， 又 ‎ 24‎ ‎∴双曲线方程为． 故选D．‎ 例6.【2019届浙江省绍兴市5月调测】点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则与面所成角的正切值的最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎，其中为定值，‎ 则满足题意时，有最大值即可，‎ 设圆的半径为，则，‎ ‎，即：,则，‎ 中，由勾股定理可得，‎ 中，由勾股定理可得，‎ 为的中位线，则,，‎ 则，‎ 综上可得，与面所成角的正切值的最小值是：‎ 24‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 例7.已知点和，是椭圆上一动点，则的最大值为_________‎ ‎【答案】‎ 例8.【2019年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；‎ 24‎ 双曲线N的离心率为__________．‎ ‎【答案】 2‎ 双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为， ‎ 例9.【2019届江西省重点中学协作体第二次联考】设是过抛物线焦点的弦，其垂直平分线交轴于点，设，则的值是________ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先画出题中所给的条件的示意图，然后结合抛物线的定义整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：如图所示，设AB中点为E，作准线于点，准线于点，准线于点，‎ 由抛物线的定义可知：，则，‎ 轴，，则：，‎ 据此可知四边形EHFG是平行四边形，则，‎ 从而：.‎ 24‎ 例10.【2019届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）延长交椭圆于点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)3.‎ 24‎ 详解：（1）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：， ‎ 当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即 ‎∴， 即， 又∴ ‎ ‎∴椭圆方程为： ‎ ‎（2）由已知可设直线，‎ ‎ ‎ 令，原式=，当时， ‎ ‎∴.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出，过点作垂直与准线，则，记，则 24‎ ‎，当最小时，由最小值，设，利用定义，即可求解答案．x^kw ‎ 点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及椭圆的定义域标准方程的应用，其中解答中得出当最小时，由最小值，此时直线与抛物线相切于点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎2．【河北省衡水中学2019年高考押题三】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：画出如图所示的示意图，根据点在抛物线上，可得，由椭圆的性质，分别表示出，根据直线被截得的弦长，可得线段之间的关系，从而得到，之后将两式联立，求出的值，代入到相应的式子求得结果.‎ 24‎ 详解：如图所示：‎ 由题意：在抛物线上，则，则，（1）‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆和抛物线的定义和性质的问题，在解题的过程中，首先利用点在抛物线上得到，结合椭圆的性质以及线段之间的关系，得到，联立求得，代入求得结果.‎ ‎3．【2019届河北省衡水中学三轮复习七】已知双曲线，、是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 24‎ 在线段上（不含端点）存在不同的两点，‎ 使得构成以线段为斜边的直角三角形，‎ 所以以为直径的圆与直线有两个交点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ 点睛：求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.‎ ‎4．【2019届江西师大附中三模】已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一动点，过点向以为圆心，为半径的圆作切线，其中切点为，则四边形面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由切线的性质可得S四边形PMFN==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．‎ 详解：如图所示，‎ 24‎ 当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．‎ ‎∴|PM|=2，‎ ‎∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．‎ 故选：A．‎ ‎5．【2019届湖南省湘潭市四模】已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 24‎ 所以 ‎ ‎6.【2019届山东省济南市二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率.‎ 详解：‎ 的周长为 ‎，‎ 24‎ ‎∴‎ 故选：A ‎7．【2019届四川省冲刺演练（一）】已知圆：经过椭圆：的一个焦点，圆与椭圆的公共点为，，点为圆上一动点，则到直线的距离的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎∴或 ‎∴或 ‎∵当时，圆与椭圆无交点 ‎∴‎ 联立，得.‎ ‎∵‎ 24‎ ‎∴，即线段所在的直线方程为 ‎∵圆与椭圆的公共点为，，点为圆上一动点 ‎∴到直线的距离的最大值为 故选A.‎ ‎8．【2019届浙江省教育绿色评价联盟5月测试】已知是双曲线的左，右焦点，是双曲线上一点，且，若△的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 可得，‎ 因为△的内切圆半径为，‎ 所以由三角形的面积公式可得，‎ 化为，即，‎ 两边平方可得 ，‎ 可得，解得，故选C.‎ ‎9.【2019届四川省成都市模拟一】过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，当的周长最大时，的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据椭圆的定义和性质可得右焦点，当且仅当 24‎ 共线时周长最长，再根据两点式求出直线的方程，进而求解面积.‎ 则，所以，‎ 所以此时的面积为.‎ ‎10.【2019届山东省潍坊市三模】设抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，满足，已知为抛物线准线上任一点，当取得最小值时，的外接圆半径为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据抛物线的定义可知，解得，得，作抛物线的焦点，关于抛物线准线的对称点得，连接交抛物线的准线于点，使得取得最小值，此时点的坐标为，在中，分别应用正、余弦定理，即可求解结果.‎ 24‎ 此时点的坐标为，‎ 在中，，‎ 由余弦定理得，则，‎ 由正弦定理得，所以，‎ 即三角形外接圆的半径为.‎ ‎11.【2019届山东省烟台市高三高考适应性练习（一）】已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．‎ 详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．‎ 24‎ ‎∴．‎ 又，‎ 即，解得．‎ ‎12.【2019届山东省威海市二模】抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.‎ 24‎ ‎∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，‎ ‎∴θ≤，‎ 故答案为：‎ 点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值.‎ 24‎