2018高考全国课标卷文科数学模拟试题三及详解
2018全国课标卷文科数学模拟试题（三）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.（14辽宁文理）. 已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)=（ ）
A．{x|x≤0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0
0，b>0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
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①ab≤1； ②≤； ③ a2+b2≥2； ④a3+b3≥3； ⑤≥2
解析:令a=b=1，排除②④；由2=a+b≥2，命题①正确；a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2，命题③正确；
=(a+b)/ab=2/ab≥2，命题⑤正确。答案：.①，③，⑤
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12四川文）已知函数f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域; (2)若f(α)= ,求sin2α的值.
解：(1)由已知,f(x)= cos2-sincos-=(1+cosx)- sinx-=cos(x+)
所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[-,]
(2)由(1)知,f(α)= cos(α+)=
所以cos(α+)=. 所以sin2α=-cos(+2α)=-cos2(α+)=1-2cos2(α+)=
考点定位：本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.
18. （14天津文15）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（1）用表中字母列举出所有可能的结果；
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
解：（1）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z） 共计15个结果．
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，
则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，
故事件M发生的概率为 =
19. (11湖南文19)如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙OD的直径AB=2，点C在AB弧上，且∠CAB=30°，D为AC的中点．
(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．
解：(1)因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O 所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
(2)由(1)知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC
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所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=OA．sin30°= 在Rt△POD中，OH== 在Rt△OHC中，sin∠OCH =0H/OC=
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力
20.（12湖南文21）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.
解：（1）由x2+y2-4x+2=0，得(x-2)2+y2=2.故圆Ｃ的圆心为点(2,0)
从而可设椭圆Ｅ的方程为＋＝1(a>b>0)其焦距为2c，
由题设知c=2,a=2c=4,b2=12 故椭圆Ｅ的方程为：
（2）设点P的坐标为(x0,y0)，l1，l2的斜分率分别为k1，k2
则l1，l2的方程分别为l1：y-y0=k1(x-x0)；l2：y-y0=k2(x-x0)且k1k2=
由l1与圆C：(x-2)2+y2=2相切，得=，即[(2-x0)2-2]k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0
同理可得[(2-x0)2-2]k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0.
从而k1，k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的两个实根，于是k1k2==
联立得5x02-8x0-36=0解得x0=-2或x0=18/5
由x0=-2得y0=±3,由x0=18/5得y0=±/5它们满足①式，
故点Ｐ的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或(18/5，/5)，或(18/5，-/5).
21. （14课标1文21）
设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．
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解：（1）f′（x）=+（1-a）x-b（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+x2-x，
∴f′(x)= +（1-a）x-1=(x- )(x-1)
①当a≤时，则≤1，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是f(1)< ，即-1<，解得:- -11，
则当x∈(1, )时，f′（x）＜0，函数f（x）在(1, )上单调递减；
当x∈(,+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）在(,+∞)上单调递增．
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是f()<，
而f()=aln ++<，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=-1<，成立．
综上可得：a的取值范围是(--1,-1) ∪(1,+ ∞)．
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22.（10辽宁文理）选修4—1 几何证明选讲
如图，∆ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（1）证明：∆ABE∽∆ADC （2）若∆ABC的面积S=AD×AE，求∠BAC的大小。
证明：（1）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.
（2）因为△ABE∽△ADC，所以AB:AE=AD:AC，即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.
则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.
23．(13课标1文理23)选修4—4 极坐标与参数方程
已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2
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的极坐标方程为＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由C1，C2联立方程组解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
24. 选修4—4 不等式选讲
设函数f(x)=|2x+1|-|x- 4| （1）解不等式f(x)>2 （2）求函数y=f(x)的最小值.
（1）解：因为f(x)=|2x+1|-|x- 4|，所以
作出函数f(x)的图象如图所示，它与直线y=2的交点为(-7，2)和，
所以的解集为.
（2）由函数的图象可知，当时，函数取得最小值.
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