2018高考全国课标卷文科数学模拟试题三及详解

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2018高考全国课标卷文科数学模拟试题三及详解

‎2018全国课标卷文科数学模拟试题(三)‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(14辽宁文理). 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )‎ A.{x|x≤0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|00,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).‎ 第 6 页 共 6 页 ‎①ab≤1; ②≤; ③ a2+b2≥2; ④a3+b3≥3; ⑤≥2‎ 解析:令a=b=1,排除②④;由2=a+b≥2,命题①正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题③正确;‎ ‎=(a+b)/ab=2/ab≥2,命题⑤正确。答案:.①,③,⑤‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12四川文)已知函数f(x)=cos2-sincos-.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和值域; (2)若f(α)= ,求sin2α的值.‎ 解:(1)由已知,f(x)= cos2-sincos-=(1+cosx)- sinx-=cos(x+) ‎ 所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[-,] ‎ ‎(2)由(1)知,f(α)= cos(α+)= ‎ 所以cos(α+)=. 所以sin2α=-cos(+2α)=-cos2(α+)=1-2cos2(α+)= ‎ 考点定位:本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. ‎ ‎18. (14天津文15)某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)‎ ‎(1)用表中字母列举出所有可能的结果;‎ ‎(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.‎ 解:(1)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y)、(A,Z)、(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、(X,Z )、(Y,Z) 共计15个结果.‎ ‎(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,‎ 则事件M包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y),共计6个结果,‎ 故事件M发生的概率为 =‎ ‎19. (11湖南文19)如图,在圆锥PO中,已知PO=,⊙OD的直径AB=2,点C在AB弧上,且∠CAB=30°,D为AC的中点.‎ ‎(1)证明:AC⊥平面POD;(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.‎ 解:(1)因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD ‎ 又PO⊥底面⊙O,AC底面⊙O 所以AC⊥PO,而OD,PO是平面内的两条相交直线 所以AC⊥平面POD ‎(2)由(1)知,AC⊥平面POD,又AC平面PAC 第 6 页 共 6 页 所以平面POD⊥平面PAC 在平面POD中,过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC 连接CH,则CH是OC在平面上的射影,所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角 在Rt△ODA中,OD=OA.sin30°= 在Rt△POD中,OH== 在Rt△OHC中,sin∠OCH =0H/OC=‎ 故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为 点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用,空间直线与平面所成角的求解,考查了运算推理的能力及空间想象的能力 ‎20.(12湖南文21)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.‎ 解:(1)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2.故圆C的圆心为点(2,0)‎ 从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)其焦距为2c,‎ 由题设知c=2,a=2c=4,b2=12 故椭圆E的方程为:‎ ‎(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜分率分别为k1,k2‎ 则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0);l2:y-y0=k2(x-x0)且k1k2=‎ 由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切,得=,即[(2-x0)2-2]k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0‎ 同理可得[(2-x0)2-2]k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0.‎ 从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的两个实根,于是k1k2==‎ 联立得5x02-8x0-36=0解得x0=-2或x0=18/5‎ 由x0=-2得y0=±3,由x0=18/5得y0=±/5它们满足①式,‎ 故点P的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或(18/5,/5),或(18/5,-/5).‎ ‎21. (14课标1文21)‎ 设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,‎ ‎(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.‎ 第 6 页 共 6 页 解:(1)f′(x)=+(1-a)x-b(x>0),∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,‎ ‎∴f′(1)=a+(1﹣a)×1﹣b=0,解得b=1.‎ ‎ (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)可知:f(x)=alnx+x2-x,‎ ‎∴f′(x)= +(1-a)x-1=(x- )(x-1) ‎ ‎①当a≤时,则≤1,则当x>1时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(1,+∞)单调递增,‎ ‎∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是f(1)< ,即-1<,解得:- -11,‎ 则当x∈(1, )时,f′(x)<0,函数f(x)在(1, )上单调递减;‎ 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.‎ ‎∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是f()<,‎ 而f()=aln ++<,不符合题意,应舍去.‎ ‎③若a>1时,f(1)=-1<,成立.‎ 综上可得:a的取值范围是(--1,-1) ∪(1,+ ∞).‎ 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.‎ ‎22.(10辽宁文理)选修4—1 几何证明选讲 如图,∆ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E ‎(1)证明:∆ABE∽∆ADC (2)若∆ABC的面积S=AD×AE,求∠BAC的大小。‎ 证明:(1)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.‎ 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.‎ ‎(2)因为△ABE∽△ADC,所以AB:AE=AD:AC,即AB·AC=AD·AE.‎ 又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.‎ 则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.‎ ‎23.(13课标1文理23)选修4—4 极坐标与参数方程 已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2‎ 第 6 页 共 6 页 的极坐标方程为=2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(≥0,0≤θ<2π).‎ 解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由C1,C2联立方程组解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.‎ ‎24. 选修4—4 不等式选讲 设函数f(x)=|2x+1|-|x- 4| (1)解不等式f(x)>2 (2)求函数y=f(x)的最小值.‎ ‎(1)解:因为f(x)=|2x+1|-|x- 4|,所以 作出函数f(x)的图象如图所示,它与直线y=2的交点为(-7,2)和,‎ 所以的解集为.‎ ‎(2)由函数的图象可知,当时,函数取得最小值.‎ 第 6 页 共 6 页
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