专题03+线性规划与三角函数小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（理）名师押题高端精品

专题03+线性规划与三角函数小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（理）名师押题高端精品

专题03 线性规划与三角函数（理）‎ 一.线性规划小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的高考试题发现，线性规划8年7考，每年1题，主要考查利用数形结合思想解简单的线性规划问题，是基础题，少数年份考线性规划应用题、斜率型规划问题和规划问题与其他知识的交汇，难度较大.2019年仍将重点考查目标函数为线性的规划问题，也可能考查含参数的线性规划问题、目标函数为斜率型和距离型的规划问题、线性规划应用题及规划与简易逻辑、几何概型的交汇问题，要做好这方面问题的复习和训练．‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2018年 若满足约束条件，则的最大值为_____________．‎ ‎6‎ ‎2017年 ‎（14）设x，y满足约束条件则的最小值为 .‎ ‎2016年 ‎（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.‎ ‎216000‎ ‎2015年 ‎（15）若满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎4‎ ‎2014年 ‎（9）不等式组的解集为D,有下面四个命题：‎ ‎， ，‎ ‎ ，‎ 其中的真命题是（ ）‎ B A． B． C． D．‎ ‎2012年 ‎（14）设，满足约束条件，则的取值范围为 .‎ ‎2011年 ‎(13)若变量，满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎-6‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示，由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，‎ 由，解得，此时，故答案为6.‎ ‎（2017年）【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得，‎ 由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线过点时，取得最小值，所以的最小值为.‎ ‎【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④‎ 绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ ‎（2016年）【解析】设分别生产件产品，则，即，目标函数为，作出可行域如图所示，作出直线，平移直线，当过时，取最大值，由解得，=216000.‎ ‎（2015年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.‎ ‎（2014年）【解析】画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，‎ 取到最小值，，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B．‎ ‎（2012年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：=0，平移直线，有图像知，，过A（1,2）点时=－3，过B(3,0)时，=3，故的取值范围为[－3,3].‎ ‎（2011年）【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A点时，取最小值，解得A(4，－5)， =－6.‎ ‎（三）命题专家押题 ‎ ‎ 题号 试 题 ‎1. ‎ 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2.‎ 设，满足约束条件，则的最小值是__________．‎ ‎3‎ 若满足，则的取值范围为______．‎ ‎4‎ 若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5‎ 已知实数满足，则的最小值是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6‎ 已知，满足约束条件，则的最小值为_________.‎ ‎7‎ 设m为实数，若，则m的最大值是____．‎ ‎8‎ 若，满足不等式组，则成立的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9‎ 某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是____万元.‎ ‎10‎ 若变量，满足约束条件，且最小值为7，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．-2 D．-1‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的的最大值为，故选D.‎ ‎2.【答案】4‎ ‎【解析】画出可行域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，2），代入目标函数得z=2×1+2=4．即目标函数的最小值为4．‎ ‎3.【答案】[1，2]‎ ‎【解析】作出可行域如下图阴影部分所示，令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图，当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大，，，‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】作可行域，如图，则直线过点A(-1,-1)时取最小值-4，过点时取最大值2，因此的最大值是4,选D.‎ ‎5.【答案】C ‎【解析】化简，只需求出的最小值，画出表示的可行域，如图，由可得，即，表示可行域内的点与点连线的斜率，由图可知斜率最小值为，所以最小值为，故选C.‎ ‎6.【答案】‎ ‎【解析】作出可行域如图，的几何意义为点到可行域内点的距离的平方，由图可知，到直线 的距离最小为 ，∴z＝的最小值为 .‎ ‎7.【答案】‎ ‎【解析】设，， 显然点集表示以原点为圆心，5‎ 为半径的圆及圆的内部，点集是二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界交圆于点，边界恒过原点，要求的最大值，故直线必须单调递减，因为，所以当过图中B点时，取得最大，联立方程组，解得，故，即。‎ ‎8.【答案】A ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为表示点与定点连线的斜率，所以成立的点只能在图中的内部（含边界），所以由几何概型得：成立的概率为，由，得，由，得，由，得，由，解得，由，解得，所以，，所以成立的概率为，故选A.‎ ‎9.【答案】30‎ ‎【解析】设该厂生产车皮甲肥料，车皮乙肥料获得的利润为万元，则约束条件为，目标函数为，作出可行域如图所示，作出直线，平移该直线，由图知直线过最优解为，，所以.‎ ‎10..【答案】B ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数z＝ax+3y为y．当a＞0时，由图可知，当直线y过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3＝7，解得a＝2；若过C，则a+6＝7，解得a＝1不合题意．‎ 当a＜0时，由图可知，当直线y过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3＝7，解得a＝2，不合题意；若过B，则4a+15＝7，解得a＝﹣2，不合题意．∴a的值为2，故选B．‎ 二.三角函数小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，‎ ‎8年14考，每年至少1题，多数年份是2小、3小，个别年份4小，主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系、和差倍半公式、图象变换、三角函数的图象与性质、利用正余弦定理解三角形，难度一般为1个基础题、2个中档题、有时也会为压轴题.2019年高考仍将坚持至少1小、难度为1基础1（或2）中档、重点考查三角公式、图象变换、三角函数图象与性质、正余弦定理应用，可能在与其他知识交汇处命题，适度创新.‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2018年 ‎（16）（1（16）已知函数，则的最小值是_____________．‎ ‎2017年 ‎（9）已知曲线，则下面结论正确的是 A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D ‎2016年 ‎(12)已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）‎ ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ B ‎2015年 ‎（2）=( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ D ‎（8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ D ‎(16)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . ‎ ‎，‎ ‎2014年 ‎(6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 C ‎(8)设且则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ C ‎（16)已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．‎ ‎2013年 ‎(15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.‎ ‎2012年 ‎(9)已知＞0，函数=在（，）单调递减，则的取值范围是（ ）‎ ‎.[,] .[,] .(0, ] .(0,2]‎ A ‎2011年 ‎(5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D．‎ B ‎（11）设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则 ‎（A）在（0，）单调递减 (B)在（，）单调递减 ‎ ‎(C) 在（0，）单调递增 (D)在（，）单调递增 A ‎（16）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为__________．‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）【解析】∵，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以.‎ ‎（2017年）【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则 ‎，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.‎ ‎【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.‎ ‎（2016年）【解析】当时，由，，∴，因为，所以，所以=，当时，，因为在不单调，故A错；当时，由，，∴，因为，所以，所以=，当时，，因为在单调，故选B.‎ ‎（2015年）（2）【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎(8)【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.‎ ‎(16)【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得 ‎=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.‎ ‎（2014年）(4)【解析】如图所示，当时，在中，．在中，；当时，在中，，在中，，所以当时，的图象大致为C．‎ ‎(8)【解析】由已知得，，去分母得，，所以，，又因为，‎ ‎，所以，即，选C．‎ ‎（16）【解析】由，且，故，又根据正弦定理，得，化简得，，故 ‎，所以，又，故．‎ ‎（2013年）【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝，令cos α＝，sin α＝，则f(x)＝sin(α＋x)，当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cos θ＝＝＝sin α＝.‎ ‎（2012年）【解析】∵＞0，∈（，），∴∈（，），∵=在（，）单调递减，∴（，）（，），∴≤且≤，解得≤≤，故选A.‎ ‎（2011年）（5）【解析】根据题意可知， ‎ ‎.‎ ‎（11）【解析】∵=，由题意知=且=，解得=2，=，又∵＜，∴=，∴==，当∈（0，）时，∈（0，），故在（0，）单调递减，故选A.‎ ‎（16）【解析】由正弦定理可知， ‎ 则有AB＋2BC ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1. ‎ 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.‎ 已知α为锐角，且tan，则cos（2）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3‎ 在中，角的对边分别为，若．则角的大小为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4‎ ‎（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5‎ 将函数的图象向右平移（）个单位后，其函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6‎ 函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7‎ 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）‎ A．函数的周期为 B．函数的图像关于点对称 C．将函数的图像向右平行移动个单位得到函数的图像 D．函数的图像关于直线对称 ‎8‎ 已知函数对任意的，都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9‎ 在中，内角的对边分别为，已知，且，则的取值范围为____________．‎ ‎10‎ 某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为________米．‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】因为将角的终边按逆时针方向旋转后得到的角为，由三角函数的定义，可得，，所以 ，故选C．‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】∵，故选A ‎3.【答案】A ‎【解析】∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴，故选A．‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】‎ ‎，故选D.‎ ‎5.【答案】C ‎【解析】，其图象向右平移（）个单位长度后，得函数的图象，由该函数图象关于轴对称可得，解得．因为，所以当时，取得最小值，最小值为．故选C．‎ ‎6.【答案】D ‎【解析】由图可知：图象过,，∵图象过，，因为 ，所以，，当时，函数单调递增，化简得，故选D.‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】的最小正周期为，故A选项正确.，故B选项正确. 将函数的图像向右平行移动个单位得到函数，故C选项正确.，故不是的对称轴，即D选项说法错误.故选D.‎ ‎8.【答案】A ‎【解析】 ，其中tanϕ＝，由题意f（x）的最大值为，得（1+a）2＝9，a＞0，∴a＝2，，因为，所以，且f（x）在[0，π]上的值域为，所以，‎ 故选A．‎ ‎9.【答案】‎ ‎【解析】由题意知，由正弦定理可得，故，设，故，由三边关系可得，所以，由余弦定理可得 ，因为，所以，故有，整理得，解得．‎ ‎10.【答案】600‎ ‎【解析】航标A在正东，俯角为30°，由题意得∠APC＝60°，∠PAC＝30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则有∠ACB＝30°，∠CPB＝45°，故有BC＝PC＝600，AC＝＝＝600，所以由余弦定理知AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB＝360000+360000×3﹣2×＝360000，∴AB＝600．‎