高考数学复习直线与圆的位置关系

高考数学复习直线与圆的位置关系

‎7.6 直线与圆的位置关系 ‎●知识梳理 直线和圆 ‎1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.‎ ‎①Δ＞0，直线和圆相交.‎ ‎②Δ=0，直线和圆相切.‎ ‎③Δ＜0，直线和圆相离.‎ 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.‎ ‎①d＜R，直线和圆相交.‎ ‎②d=R，直线和圆相切.‎ ‎③d＞R，直线和圆相离.‎ ‎2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.‎ ‎3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.‎ ‎●点击双基 ‎1.设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.‎ ‎∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，‎ ‎∴直线与圆的位置关系是相切或相离.‎ 答案：C ‎2.圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于 A. B. C.1 D.5‎ 解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.‎ 答案：A ‎3.圆x2+y2－4x=0在点P（1，）处的切线方程为 A.x+y－2=0 B.x+y－4=0‎ C.x－y+4=0 D.x－y+2=0‎ 解法一：‎ x2+y2－4x=0‎ y=kx－k+‎ x2－4x+（kx－k+）2=0.‎ 该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=.‎ ‎∴y－=（x－1），即x－y+2=0.‎ 解法二：∵点（1，）在圆x2+y2－4x=0上，‎ ‎∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.‎ 又∵圆心为（2，0），∴·k=－1.‎ 解得k=，∴切线方程为x－y+2=0.‎ 答案：D ‎4.圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.‎ 解析：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），‎ ‎∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.‎ 又已知圆心在直线2x－y－7=0上，‎ 解得x=2，‎ ‎∴联立 ‎ y=－3，‎ ‎2x－y－7=0. ‎ ‎∴圆心为（2，－3），‎ 半径r=|AC|==.‎ ‎∴所求圆C的方程为（x－2）2+（y+3）2=5.‎ 答案：（x－2）2+（y+3）2=5‎ ‎5.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.‎ 解析：利用数形结合.‎ 答案：－1＜k≤1或k=－‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.‎ 剖析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ=－1，问题可解.‎ 解：将x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0.‎ 设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件 y1+y2=4，y1y2=.‎ ‎∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.‎ 而x1=3－2y1，x2=3－2y2，‎ ‎∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2.‎ ‎∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－，3），半径r=.‎ 评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.‎ ‎【例2】 求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.‎ 剖析：根据已知，可通过解方程组 得圆上两点，‎ ‎（x+3）2+y2=13，‎ x2+（y+3）2=37 ‎ 由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；‎ 也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程.‎ 解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，‎ 所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.‎ 展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.‎ 圆心为（－，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7.‎ 故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2= .‎ 评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.‎ 特别提示 ‎ 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.‎ ‎【例3】 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.‎ ‎（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；‎ ‎（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.‎ 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.‎ ‎（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.‎ 得 ‎∵m∈R，∴‎ ‎ 2x+y－7=0， x=3，‎ x+y－4=0， y=1，‎ 即l恒过定点A（3，1）.‎ ‎∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），‎ ‎∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.‎ ‎（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，‎ ‎∴l的方程为2x－y－5=0.‎ 评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？‎ 思考讨论 ‎ 求直线过定点，你还有别的办法吗？‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是 A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］‎ 解析：数形结合法解.‎ 答案：A ‎2.已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形 A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 解析：由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形. ‎ 答案：B ‎3.若圆x2+y2+mx－=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____________.‎ 解析：圆方程配方得（x+）2+y2=，圆心为（－，0）.‎ 由条件知－<0，即m>0.‎ 又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）=，即m2=3，∴m=.‎ 答案：‎ ‎4.直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.‎ 解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.‎ 知圆心为（3，1），r=5.‎ 由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d==.‎ 可得弦长为2，弦长为4.‎ 答案：4‎ ‎5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.‎ 解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.‎ 设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l 距离为圆的半径1，从而可得k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.‎ ‎6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?‎ 分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.‎ 解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.‎ ‎∵P（x0，y0）在圆内，∴r，故直线和圆相离.‎ 培养能力 ‎7.方程ax2+ay2－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.‎ 解：（1）∵a≠0时，方程为［x－］2+（y+）2=，‎ 由于a2－2a+2＞0恒成立，‎ ‎∴a≠0且a∈R时方程表示圆.‎ ‎（2）r2=4·=4［2(－)2+］，‎ ‎∴a=2时，rmin2=2.‎ 此时圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=2.‎ ‎8.（文）求经过点A（－2，－4），且与直线l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圆的方程.‎ 解：设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 ‎3D－E=－36，‎ ‎2D+4E－F=20，‎ ‎8D+6E+F=－100.‎ ‎∴‎ ‎ D=－11，‎ E=3，‎ F=－30.‎ ‎∴圆的方程为x2+y2－11x+3y－30=0.‎ ‎（理）已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）.‎ ‎（1）求线段PQ中点的轨迹方程；‎ ‎（2）设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.‎ 解：（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x－4，2y），代入圆的方程得（x－2）2+y2=1.‎ ‎（2）设R（x，y），由==，‎ 设P（m，n），则有 m=，‎ n=，‎ 代入x2+y2=4中，得 ‎（x－）2+y2=（y≠0）.‎ 探究创新 ‎9.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.‎ 解：设点P的坐标为（x，y），‎ 由题设有=，‎ 即=·，‎ 整理得x2+y2－6x+1=0. ①‎ 因为点N到PM的距离为1，|MN|=2，‎ 所以∠PMN=30°，直线PM的斜率为±.‎ 直线PM的方程为y=±（x+1）. ②‎ 将②代入①整理得x2－4x+1=0.‎ 解得x1=2+，x2=2－.‎ 代入②得点P的坐标为（2+，1+）或（2－，－1+）；（2+，－1－）或（2－，1－）.‎ 直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1.‎ ‎●思悟小结 ‎1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.‎ ‎2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.‎ ‎2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.‎ ‎3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.‎ ‎4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.‎ 拓展题例 ‎【例1】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A ‎（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.‎ 解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（－，－1），半径r=，‎ 条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即 ‎＞.‎ 化简得a2+a+9＞0.‎ 由 ‎ 4－3a2＞0，‎ a2+a+9＞0，‎ 解之得 ‎ －＜a＜，‎ a∈R.‎ ‎∴－＜a＜.‎ 故a的取值范围是（－，）.‎ ‎【例2】 已知⊙O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹.‎ 剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.‎ 解法一：设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径.‎ 当动圆P与⊙O外切时，|PO|=|PA|+2；‎ 当动圆P与⊙O内切时，|PO|=|PA|－2.‎ 综合这两种情况，得||PO|－|PA||=2.‎ 将此关系式坐标化，得 ‎|－|=2.‎ 化简可得（x－2）2－=1.‎ 解法二：由解法一可得动点P满足几何关系 ‎||OP|－|PA||=2，‎ 即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点（2，0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b==，所以轨迹方程为（x－2）2－=1.‎