2020年高考数学一轮复习 专题4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2020年高考数学一轮复习 专题4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第05节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 【山东省2018年普通高校招生（春季）】若由函数的图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得图像沿轴（ ）‎ A. 向右移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 同左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据图像平移“左正右负”以及平移量为确定结果.‎ 详解：因为，所以所得图像沿轴向右平移个单位,‎ 选A.‎ ‎2.【2018届湖北省5月冲刺】已知函数（，）的部分如图所示，将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 15‎ ‎3.【2018届广东省东莞市考前冲刺演练】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先利用三角函数关系式的平移变换，进一步利用正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.‎ 详解：函数的图象向左平移个单位长度，‎ 得到，‎ 由于函数的图象经过点，所以，‎ 所以或，‎ 解得或，‎ 当时，或，由于，所以，故选B.‎ ‎4.【2018届河南省安阳35中核心押题卷一】要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个周期 B. 向右平移个周期 C. 向左平移个周期 D. 向右平移个周期 ‎【答案】D ‎【解析】分析：将两个函数的函数名变为同名，故由诱导公式可得函数，再由，进而可得要得到函数的图像，只需将 15‎ 的图像向右移个单位.再结合的周期为，可得只需将函数的图像向右平移个周期，就可得函数的图像.‎ 详解：由诱导公式可得函数， ，所以要得到函数的图像，只需将的图像向右移个单位.‎ 因为函数的周期为.‎ 所以只需将函数的图像向右平移个周期.‎ 故选D.‎ ‎5.将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g( x) 的图象，则 g( x) 的解析式为( )‎ A. B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎6.【2018届四川省成都市第七中学三诊】将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 15‎ 分析：根据函数的图象变换规律，求得解析式，再利用正弦函数的单调性列不等式可得的单调递增区间.‎ ‎7.【2018届四川省成都市高考模拟试卷（一）】已知函数,函数的最大值是2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于直线对称，则下列判断正确的是( )‎ A. 要得到函数的图象，只需将的图像向左平移个单位 B. 时，函数的最小值是-2‎ C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意， 可求的周期，利用周期公式可求，且的图象关于直线对称，，可得，，又，解得，可得解析式 利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．‎ 详解：由题，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于， ∴函数的周期 ， ‎ 又的图象关于直线对称，可得，，解得 ‎ A.将的图像向左平移个单位，得到 ，故A错；‎ B. 时，，函数的最小值不等于-2，故B错；‎ C. 函数的图象关于直线 即对称，故C错误；‎ 15‎ 故选D．‎ ‎8.【2018届山西省太原市三模】已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图象，可将函数的图像（ ）‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】分析：结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ 详解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，‎ 故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），‎ 故可将函数y=2cosx的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，‎ 故选：A．‎ ‎9．【2018湖北省部分重点中学高三起点】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) 在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点 ‎ A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 ‎【答案】D ‎【解析】由图可知,又,,又，,‎ 15‎ ‎，所以为了得到这个函数的图象，只需将 的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变) 即可. 故选D.‎ ‎10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）‎ ‎（A）的图象关于直线对称 ‎（B）的图象关于点对称 ‎（C）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ‎（D）若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ‎【答案】D ‎【解析】.又.显然，所以.‎ 对（A），的图象的对称轴方程为，故不关于直线对称，错.‎ 对（B），由得，所以的图象的对称中心为，所以不关于点对称，错.‎ 对（C），函数，将它的图象向左平移个单位得，故错.‎ 对（D），由得，结合函数的图象可知，时，方程在上有两个不相等的实数根，故正确. ‎ 二、填空题：本大题共7小题，共36分．‎ ‎11.【2018届重庆市西南大学附中第四次月考】已知的部分图象如图所示，则__________．‎ 15‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据已知条件求出函数的解析式后，再求值．‎ 详解：由题意，，‎ ‎（），∵，∴，‎ ‎，，∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎12.【2018届北京市人大附中二模】将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若最小正周期为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,右移得到,最小正周期为,故.‎ ‎13.【2018届北京市海淀区二模】将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则__________,__________.‎ ‎【答案】 ‎ 15‎ ‎14.【2018届湖南省永州市三模】 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则θ=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 函数的部分图象如图所示，‎ ‎ 则，解得，所以，即，‎ ‎ 当时， ，解得，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以函数向右平移个单位后得到函数的通项，‎ ‎ 即，‎ ‎ 若函数在区间上的值域为，则，所以．‎ 15‎ ‎15.【2018届安徽省芜湖市一模】将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在上单调递减，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】函数图像上所有点向左平移个单位得，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，因为，所以为一个对称中心，即 = ，因为在上单调递减，所以即 ‎ ‎16.【2018届北京市朝阳区3月一模】函数（）的部分图象如图所示，则__________；函数在区间上的零点为_________． ‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎17.设函数，给出以下四个论断：‎ 15‎ ‎①它的图象关于直线 对称； ②它的图象关于点 对称；‎ ‎③它的周期是 ； ④它在区间 上是增函数.‎ 以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.‎ ‎【答案】两个正确的命题为（1）①③②④；（2）②③①④.‎ ‎【解析】（1）的证明如下：由③，的周期为 ，则 ‎ 由①，的图象关于直线 对称，则 ‎ 由于,所以的图象关于点对称，即②成立.‎ 由于 在上为增函数，即④成立.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．一半径为‎4m的水轮(如图),水轮圆心O距离水面‎2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时.‎ 15‎ ‎(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；‎ ‎(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过‎4m.‎ ‎【答案】（1）；（2）在水轮转动的一圈内，有5s的时间点P距水面的高度超过‎4m.‎ ‎【解析】试题分析：(1)建立适当的平面直角坐标系，利用三角函数的定义得到函数关系式；(2)利用三角函数的性质进行求解.‎ 试题解析：（1）建立如图所示的平面直角坐标系．‎ 依题意，如图 易知在内所转过的角为，‎ 故角是以为始边， 为终边的角，‎ 故点的纵坐标为，‎ 故所求函数关系式为； ‎ ‎（2）令 ‎　　　　‎ 15‎ ‎　　　　,　　‎ ‎　　 ‎ ‎∴在水轮转动的一圈内，有5s的时间点P距水面的高度超过‎4m.‎ ‎19.【2018届安徽省合肥市三模】已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数图象的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)利用二倍角的正弦公式、诱导公式以及两角差的正弦公式将函数化为，利用，可解得函数图象的对称轴方程；(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位，可得，因为，∴，利用正弦函数的性质结合正弦函数的图象可得函数的值域.‎ 详解： (Ⅰ) .‎ 令，解得.‎ ‎∴函数图象的对称轴方程为. ‎ ‎(Ⅱ)易知.‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴，‎ 即当时，函数的值域为. ‎ ‎20．【2018届四川省成都市第七中学模拟】已知函数的最大值为1.‎ ‎（1）求函数的周期与单调递增区间；‎ ‎（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.‎ 15‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）最大值，最小值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数周期公式求周期，根据正弦函数单调性列不等式解单调递增区间；（2）先根据图像平移得解析式，再根据正弦函数图像求在区间上的最大值和最小值.‎ 试题解析：（1）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 其周期为 ‎（2）∵将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴当时， ， 取最大值 当时， ， 取最小值.‎ ‎21．【2018届山东省枣庄市第八中学东校区1月月考】已知函数在上具有单调性，且.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，‎ 求在上的最大值和最小值.‎ 15‎ ‎【答案】(1) (2) 时， 时， ‎ ‎【解析】试题分析：先化简（1）由f（x）在上具有单调性，可得，结合f，即可求得值，得到函数解析式，由周期公式求得周期； （2）利用函数的图象平移求得函数的解析式，再由x的范围求得函数在上的最大值和最小值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）,‎ ‎，∵，∴，∴，‎ ‎∴∵，∴，∴在上单调，∴，即，∴， ，∴，又，∴， ，∴.‎ ‎（2）由（1）知，将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位，得到的图象，所以,∵，∴，∴，∴当，即时， ，当，即时， .‎ ‎22.【2018届黑龙江省大庆铁人中学高三期中】已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的周期和最小值；‎ ‎(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），再把所得图像上的所有点向上平移个单位，得到函数g(x)的图像，当时，求g(x)的值域．‎ 15‎ ‎【答案】(1) f(x)的最小正周期为π，最小值为－. (2) ‎ ‎ ‎ ‎(2)由条件可知g(x)＝sin（x－）. ‎ 当时，有x－∈（， ），从而sin（x－）∈‎ 故g(x)在区间上的值域是.‎ 15‎